福州銅盤中學初高中銜接數(shù)學校本學案

1、福州銅盤中學初高中銜接數(shù)學校本學案目錄 第01課時 乘法公式、因式分解.2第02課時 絕對值.5第03課時 分式、根式.7第04課時一元二次方程根與系數(shù)的關系11第05課時 二次函數(shù)的圖象與性質 15第06課時 二次函數(shù)的解析式 .22初高中銜接內容（1）-乘法公式、因式分解一、引入新課1、乘法公式我們在初中已經學習過了下列一些乘法公式：平方差公式 ；完全平方公式 我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：立方和公式 ；立方差公式 ；三數(shù)和平方公式 ；兩數(shù)和完全立方公式 ；兩數(shù)差完全立方公式 2、因式分解分組分解法求根法十字相乘法二、例題精講例1：計算：、例2：、已知，求代數(shù)式的值。 例3：因式

2、分解：、例4：因式分解：、*例5 因式分解：（雙十字相乘法）、3關于x的二次三項式ax2+bx+c(a0)的因式分解（求根法）若關于x的方程的兩個實數(shù)根是、，則二次三項式就可分解為.例6把下列關于x的二次多項式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =三、練習作業(yè)1、填空：、( )；、 ；2、若是一個完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）3、不論，為何實數(shù)，的值 （ ）（A）總是正數(shù) （B）總是負數(shù)（C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負數(shù)4、 (1)、在中，已知三邊滿足，試判斷該三角形的形狀。 (2)、已知，求的值。(3)、已

3、知，求的值。5、因式分解：、初高中銜接內容(2) 絕對值一、引入新課初中學習了數(shù)的絕對值，例如：。POa|a|PaO|a|對于任意數(shù)，其絕對值呢？為此，我們先研究絕對值的幾何意義。絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離。由圖可知：當時，點到原點的距離就是，所以；當時，點到原點的距離就是0，所以；當時，點到原點的距離就是，所以；絕對值的代數(shù)意義：絕對值等于本身的數(shù)是_；絕對值等于它的相反數(shù)的數(shù)是_。即：兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離。絕對值的性質：、二、例題精講例1：、，求。、，求的取值范圍。例2：化簡下列函數(shù)，并分別畫出它們的圖象：、例3

4、：化簡：、|x5|2x13| （x5）三、課堂練習1、填空：、若，則=_；若，則=_。、如果，且，則_；若，則_。2、已知數(shù)軸上的三點分別表示有理數(shù)，那么表示( )A、兩點的距離B、兩點的距離C、兩點到原點的距離之和D、兩點到原點的距離之和3、下列敘述正確的是 （ ）A、若，則 B、若，則C、若，則 D、若，則4、化簡：、初高中銜接內容(3) 分式、根式1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式當M0時，分式具有下列性質：；。上述性質被稱為分式的基本性質。2繁分式：像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1：、代數(shù)式有意義，則需要滿足的條件是_。、化簡：(3)、若，求的

5、值。一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理式. 例如 ，等是無理式，而，等是有理式。3、分母（子）有理化把分母（子）中的根號化去，叫做分母（子）有理化為了進行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘

6、法進行，運算中要運用公式；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式。例2：把下列各式分母有理化：、例3：化簡計算：、例4：試比較下列各組數(shù)的大?。?、 、 4、二次根式的意義： 例5：將下列式子化為最簡二次根式：1 ； 、； 、例6：化簡：（1）； （2）。課堂練習1填空題：對任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則（ ）（A） （B） （C） （D）3、正數(shù)滿足，求的值。2 計算。4、化簡：、初高中銜接內容(4) 一元二次方程1根的判別式一元二次方程的根的情況可以由來判定，我們把叫做一

7、元二次方程的根的判別式，通常用符號“”來表示。對于一元二次方程，有、當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；、當0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；、當0時，方程沒有實數(shù)根。例1：判定下列關于的方程的根的情況（其中為常數(shù)），若方程有實數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根。1 、x23x30； (2)、x2ax(a1)0； 例2：取何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根，并求出方程的這兩個根。2根與系數(shù)的關系（韋達定理）：如果的兩根分別是，那么，。特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程，若是其兩根，由韋達定理可知，即，所以，方程可化為 ，由于是一元二次方程的兩根，所以，也是一元二次方程的兩根。以兩個數(shù)為根的一元二次方程（二次項

8、系數(shù)為1）是。例3：已知方程的一個根是2，求它的另一個根及k的值。例4：求一個一元二次方程，使它的兩根為。 例5：設是方程的兩個根，求下列各式的值：1 、 例6：、若關于的方程的一根大于零、另一根小于零，求實數(shù)的取值范圍。、若關于的方程的一根大于1、另一根小于1，求實數(shù)的取值范圍。課堂練習 1、選擇題：方程的根的情況是 （ ）A、有一個實數(shù)根 B、有兩個不相等的實數(shù)根C、有兩個相等的實數(shù)根 D、沒有實數(shù)根若關于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍（ ）A、m B、m C、m，且m0 D、m，且m02、填空：、若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 。2

9、 以3和1為根的一元二次方程是 。3、已知，當k取何值時，方程kx2axb0有兩個不相等的實數(shù)根？4、選擇題：、已知關于x的方程x2kx20的一個根是1，則它的另一個根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2、下列四個說法：方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說法的個數(shù)是（ ） （A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個、關于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1

10、5、填空：、方程kx24x10的兩根之和為2，則k 、方程2x2x40的兩根為、，則22 、已知關于x的方程x2ax3a0的一個根是2，則它的另一個根是 6、求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)。初高中銜接內容(5)二次函數(shù)的圖象與性質 問題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關系？為了研究這一問題，我們可以先畫出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關系，推導出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關系先畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x-3-2-10123x294101492x2188202818yx2y2x2圖

11、2.2-1xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應的x2的值擴大兩倍就可以了再描點、連線，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個函數(shù)圖象之間的關系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼膬杀兜玫酵瑢W們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關系通過上面的研究，我們可以得到以下結論：圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腶倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項系數(shù)a決

12、定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開口的大小問題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關系？同樣地，我們可以利用幾個特殊的函數(shù)圖象之間的關系來研究它們之間的關系同學們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個單位，再向上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點類似地，還可以通過畫函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關系通過上面的研究，我們可以得到以下結論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象

13、的開口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負下移”由上面的結論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質：（1）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向上；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而減?。划攛時，y隨著x的增大而增大；當x時，函數(shù)取最小值y（2）當a0時，函數(shù)yax2bxc圖象開口向

14、下；頂點坐標為，對稱軸為直線x；當x時，y隨著x的增大而增大；當x時，y隨著x的增大而減小；當x時，函數(shù)取最大值y 上述二次函數(shù)的性質可以分別通過圖223和圖224直觀地表示出來因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結合的思想方法來解決問題xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值（或最小值），并指出當x取何值時，y隨x的增大而增大（或減?。坎嫵鲈摵瘮?shù)的圖象解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線x1；頂點坐標為(1，4)；當x1時，函數(shù)y取最大值y4；當x1時，y隨

15、著x的增大而增大；當x1時，y隨著x的增大而減小；采用描點法畫圖，選頂點A(1，4)，與x軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象（如圖25所示）說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更精確例2 某種產品的成本是120元/件，試銷階段每件產品的售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間關系如下表所示：X/元130150165Y/件705035若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？分析：由于每天的利潤日銷售量y

16、15;(銷售價x120)，日銷售量y又是銷售價x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價x之間的函數(shù)關系，然后，再由它們之間的函數(shù)關系求出每天利潤的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設ykx（B）將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設每天的利潤為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當x160時，z取最大值1600答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像

17、，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個單位，再向右平移4個單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個函數(shù)，b8，c14說明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來解決問題，所以，同學們

18、要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進行正向的思維來解決的，其運算量相對較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來的問題等價轉化成與之等價的問題來解，具有計算量小的優(yōu)點今后，我們在解題時，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進行討論解：（1）當a2時，函數(shù)yx2的圖象僅僅對應著一個點(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時x2；（2）當2a0時，由

19、圖226可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當xa時，函數(shù)取最小值ya2；（3）當0a2時，由圖2 26可知，當x2時，函數(shù)取最大值y4；當x0時，函數(shù)取最小值y0；（4）當a2時，由圖226可知，當xa時，函數(shù)取最大值ya2；當x0時，函數(shù)取最小值y0xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題練習1填空題（1）二次函數(shù)y2x2mxn圖象的頂點坐標為(1，2)，則m

20、，n （2）已知二次函數(shù)yx2+(m2)x2m，當m 時，函數(shù)圖象的頂點在y軸上；當m 時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當m 時，函數(shù)圖象經過原點（3）函數(shù)y3(x2)25的圖象的開口向 ，對稱軸為 ，頂點坐標為 ；當x 時，函數(shù)取最 值y ；當x滿足 時，y隨著x的增大而減小2求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大（小）值及y隨x的變化情況，并畫出其圖象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函數(shù)yx22x3，當自變量x在下列取值范圍內時，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大（小）值時所對應的自變量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3一、基礎題：1、

21、函數(shù)的頂點是 （ ）A、(1,0)B、(1,0)C、(,0) D、(,0) 2、若，則函數(shù)的圖形的頂點在 （ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、拋物線的頂點在軸上，則值為 （ ）A、0B、1C、2D、44、求二次函數(shù)的圖像的頂點坐標和對稱軸方程。二、提高題：5、求把二次函數(shù)的圖象經過下列變換后得到的圖象所對應的函數(shù)解析式：、向上平移3個單位，向左平移2個單位；、關于直線。6、求二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標，并指出當取何值時，隨的增大而增大（或減小）？并畫出該函數(shù)的圖象。初高中銜接(6) 二次函數(shù)的解析式1一般式：yax2bxc(a0)；2頂點式：ya(xh)2k

22、 (a0)，其中頂點坐標是(h，k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點個數(shù)當拋物線yax2bxc(a0)與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點的橫坐標（縱坐標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與方程的解的個數(shù)有關，而方程的解的個數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關，由此可知，拋物線yax2bxc(a0)與x軸交點個數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關系：（1）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有

23、兩個交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點，則0也成立（2）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點（拋物線的頂點）；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有一個交點，則0也成立（3）當0時，拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點；反過來，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸沒有交點，則0也成立于是，若拋物線yax2bxc(a0)與x軸有兩個交點A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2

24、) 由上面的推導過程可以得到下面結論：若拋物線yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點，則其函數(shù)關系式可以表示為ya(xx1) (xx2) (a0)這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線yx1上，并且圖象經過點（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點位置，從

25、而可以將二次函數(shù)設成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，頂點的縱坐標為2又頂點在直線yx1上，所以，2x1，x1頂點坐標是（1，2）設該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經過點（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題例2 已知二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，且頂點到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達式分析一：由于題目所給的條

26、件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設成交點式解法一：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，可設二次函數(shù)為ya (x3) (x1) (a0)，展開，得 yax22ax3a， 頂點的縱坐標為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線x1，又由頂點到x軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設成頂點式來解，然后再利用圖象過點(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式解法二：二次函數(shù)的圖象過點(3，0)，(1，0)，對稱軸為直線x1又頂點到x軸的距離為2，頂點的縱坐標為2，或2于