福州銅盤(pán)中學(xué)初高中銜接數(shù)學(xué)校本學(xué)案

1、福州銅盤(pán)中學(xué)初高中銜接數(shù)學(xué)校本學(xué)案目錄 第01課時(shí) 乘法公式、因式分解.2第02課時(shí) 絕對(duì)值.5第03課時(shí) 分式、根式.7第04課時(shí)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系11第05課時(shí) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 15第06課時(shí) 二次函數(shù)的解析式 .22初高中銜接內(nèi)容（1）-乘法公式、因式分解一、引入新課1、乘法公式我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：平方差公式 ；完全平方公式 我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：立方和公式 ；立方差公式 ；三數(shù)和平方公式 ；兩數(shù)和完全立方公式 ；兩數(shù)差完全立方公式 2、因式分解分組分解法求根法十字相乘法二、例題精講例1：計(jì)算：、例2：、已知，求代數(shù)式的值。 例3：因式

2、分解：、例4：因式分解：、*例5 因式分解：（雙十字相乘法）、3關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c(a0)的因式分解（求根法）若關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是、，則二次三項(xiàng)式就可分解為.例6把下列關(guān)于x的二次多項(xiàng)式分解因式：（1）； （2）解： （1）令=0，則解得， = =（2）令=0，則解得， =三、練習(xí)作業(yè)1、填空：、( )；、 ；2、若是一個(gè)完全平方式，則等于 （ ）（A） （B） （C） （D）3、不論，為何實(shí)數(shù)，的值 （ ）（A）總是正數(shù) （B）總是負(fù)數(shù)（C）可以是零 （D）可以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)4、 (1)、在中，已知三邊滿(mǎn)足，試判斷該三角形的形狀。 (2)、已知，求的值。(3)、已

3、知，求的值。5、因式分解：、初高中銜接內(nèi)容(2) 絕對(duì)值一、引入新課初中學(xué)習(xí)了數(shù)的絕對(duì)值，例如：。POa|a|PaO|a|對(duì)于任意數(shù)，其絕對(duì)值呢？為此，我們先研究絕對(duì)值的幾何意義。絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。由圖可知：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是，所以；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是0，所以；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離就是，所以；絕對(duì)值的代數(shù)意義：絕對(duì)值等于本身的數(shù)是_；絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的數(shù)是_。即：兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離。絕對(duì)值的性質(zhì)：、二、例題精講例1：、，求。、，求的取值范圍。例2：化簡(jiǎn)下列函數(shù)，并分別畫(huà)出它們的圖象：、例3

4、：化簡(jiǎn)：、|x5|2x13| （x5）三、課堂練習(xí)1、填空：、若，則=_；若，則=_。、如果，且，則_；若，則_。2、已知數(shù)軸上的三點(diǎn)分別表示有理數(shù)，那么表示( )A、兩點(diǎn)的距離B、兩點(diǎn)的距離C、兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和D、兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離之和3、下列敘述正確的是 （ ）A、若，則 B、若，則C、若，則 D、若，則4、化簡(jiǎn)：、初高中銜接內(nèi)容(3) 分式、根式1分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱(chēng)為分式當(dāng)M0時(shí)，分式具有下列性質(zhì)：；。上述性質(zhì)被稱(chēng)為分式的基本性質(zhì)。2繁分式：像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式。例1：、代數(shù)式有意義，則需要滿(mǎn)足的條件是_。、化簡(jiǎn)：(3)、若，求的

5、值。一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱(chēng)為無(wú)理式. 例如 ，等是無(wú)理式，而，等是有理式。3、分母（子）有理化把分母（子）中的根號(hào)化去，叫做分母（子）有理化為了進(jìn)行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與，與，與，等等 一般地，與，與，與互為有理化因式。分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘

6、法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算；二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式。例2：把下列各式分母有理化：、例3：化簡(jiǎn)計(jì)算：、例4：試比較下列各組數(shù)的大?。骸?、 4、二次根式的意義： 例5：將下列式子化為最簡(jiǎn)二次根式：1 ； 、； 、例6：化簡(jiǎn)：（1）； （2）。課堂練習(xí)1填空題：對(duì)任意的正整數(shù)n， ()；2選擇題：若，則（ ）（A） （B） （C） （D）3、正數(shù)滿(mǎn)足，求的值。2 計(jì)算。4、化簡(jiǎn)：、初高中銜接內(nèi)容(4) 一元二次方程1根的判別式一元二次方程的根的情況可以由來(lái)判定，我們把叫做一

7、元二次方程的根的判別式，通常用符號(hào)“”來(lái)表示。對(duì)于一元二次方程，有、當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；、當(dāng)0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；、當(dāng)0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。例1：判定下列關(guān)于的方程的根的情況（其中為常數(shù)），若方程有實(shí)數(shù)根，寫(xiě)出方程的實(shí)數(shù)根。1 、x23x30； (2)、x2ax(a1)0； 例2：取何值時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，并求出方程的這兩個(gè)根。2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：如果的兩根分別是，那么，。特別地，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，若是其兩根，由韋達(dá)定理可知，即，所以，方程可化為 ，由于是一元二次方程的兩根，所以，也是一元二次方程的兩根。以?xún)蓚€(gè)數(shù)為根的一元二次方程（二次項(xiàng)

8、系數(shù)為1）是。例3：已知方程的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值。例4：求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根為。 例5：設(shè)是方程的兩個(gè)根，求下列各式的值：1 、 例6：、若關(guān)于的方程的一根大于零、另一根小于零，求實(shí)數(shù)的取值范圍。、若關(guān)于的方程的一根大于1、另一根小于1，求實(shí)數(shù)的取值范圍。課堂練習(xí) 1、選擇題：方程的根的情況是 （ ）A、有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D、沒(méi)有實(shí)數(shù)根若關(guān)于x的方程mx2 (2m1)xm0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍（ ）A、m B、m C、m，且m0 D、m，且m02、填空：、若方程x23x10的兩根分別是x1和x2，則 。2

9、 以3和1為根的一元二次方程是 。3、已知，當(dāng)k取何值時(shí)，方程kx2axb0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？4、選擇題：、已知關(guān)于x的方程x2kx20的一個(gè)根是1，則它的另一個(gè)根是（ ）（A）3 （B）3 （C）2 （D）2、下列四個(gè)說(shuō)法：方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程x22x70的兩根之和為2，兩根之積為7；方程3 x270的兩根之和為0，兩根之積為；方程3 x22x0的兩根之和為2，兩根之積為0其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)是（ ） （A）1個(gè) （B）2個(gè) （C）3個(gè) （D）4個(gè)、關(guān)于x的一元二次方程ax25xa2a0的一個(gè)根是0，則a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）1 （D）0，或1

10、5、填空：、方程kx24x10的兩根之和為2，則k 、方程2x2x40的兩根為、，則22 、已知關(guān)于x的方程x2ax3a0的一個(gè)根是2，則它的另一個(gè)根是 6、求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程x27x10各根的相反數(shù)。初高中銜接內(nèi)容(5)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 問(wèn)題1 函數(shù)yax2與yx2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？為了研究這一問(wèn)題，我們可以先畫(huà)出y2x2，yx2，y2x2的圖象，通過(guò)這些函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系，推導(dǎo)出函數(shù)yax2與yx2的圖象之間所存在的關(guān)系先畫(huà)出函數(shù)yx2，y2x2的圖象先列表：x-3-2-10123x294101492x2188202818yx2y2x2圖

11、2.2-1xOy從表中不難看出，要得到2x2的值，只要把相應(yīng)的x2的值擴(kuò)大兩倍就可以了再描點(diǎn)、連線(xiàn)，就分別得到了函數(shù)yx2，y2x2的圖象（如圖21所示），從圖21我們可以得到這兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y2x2的圖象可以由函數(shù)yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍得到同學(xué)們也可以用類(lèi)似于上面的方法畫(huà)出函數(shù)yx2，y2x2的圖象，并研究這兩個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)yx2的圖象之間的關(guān)系通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：圖2.2-2xyO1y2x2y2(x1)2y2(x1)21二次函數(shù)yax2(a0)的圖象可以由yx2的圖象各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的a倍得到在二次函數(shù)yax2(a0)中，二次項(xiàng)系數(shù)a決

12、定了圖象的開(kāi)口方向和在同一個(gè)坐標(biāo)系中的開(kāi)口的大小問(wèn)題2 函數(shù)ya(xh)2k與yax2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？同樣地，我們可以利用幾個(gè)特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來(lái)研究它們之間的關(guān)系同學(xué)們可以作出函數(shù)y2(x1)21與y2x2的圖象（如圖22所示），從函數(shù)的同學(xué)我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y2x2的圖象向左平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，就可以得到函數(shù)y2(x1)21的圖象這兩個(gè)函數(shù)圖象之間具有“形狀相同，位置不同”的特點(diǎn)類(lèi)似地，還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)y3x2，y3(x1)21的圖象，研究它們圖象之間的相互關(guān)系通過(guò)上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：二次函數(shù)ya(xh)2k(a0)中，a決定了二次函數(shù)圖象

13、的開(kāi)口大小及方向；h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“h正左移，h負(fù)右移”；k決定了二次函數(shù)圖象的上下平移，而且“k正上移，k負(fù)下移”由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象的方法：由于yax2bxca(x2)ca(x2)c ，所以，yax2bxc(a0)的圖象可以看作是將函數(shù)yax2的圖象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)yax2bxc(a0)具有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開(kāi)口向上；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最小值y（2）當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)yax2bxc圖象開(kāi)口向

14、下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y隨著x的增大而減小；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取最大值y 上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過(guò)圖223和圖224直觀地表示出來(lái)因此，在今后解決二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決問(wèn)題xOyx1A(1,4)D(0,1)BC圖2.25例1 求二次函數(shù)y3x26x1圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大值（或最小值），并指出當(dāng)x取何值時(shí)，y隨x的增大而增大（或減?。?？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象解：y3x26x13(x1)24，函數(shù)圖象的開(kāi)口向下；對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x1；頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，4)；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y取最大值y4；當(dāng)x1時(shí)，y隨

15、著x的增大而增大；當(dāng)x1時(shí)，y隨著x的增大而減??；采用描點(diǎn)法畫(huà)圖，選頂點(diǎn)A(1，4)，與x軸交于點(diǎn)B和C，與y軸的交點(diǎn)為D(0，1)，過(guò)這五點(diǎn)畫(huà)出圖象（如圖25所示）說(shuō)明：從這個(gè)例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫(huà)函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點(diǎn)，減少了選點(diǎn)的盲目性，使畫(huà)圖更簡(jiǎn)便、圖象更精確例2 某種產(chǎn)品的成本是120元/件，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的售價(jià)x（元）與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量y（件）之間關(guān)系如下表所示：X/元130150165Y/件705035若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，那么，要使每天所獲得最大的利潤(rùn)，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每天的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少？分析：由于每天的利潤(rùn)日銷(xiāo)售量y

16、15;(銷(xiāo)售價(jià)x120)，日銷(xiāo)售量y又是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤(rùn)最大值，首先需要求出每天的利潤(rùn)與銷(xiāo)售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤(rùn)的最大值解：由于y是x的一次函數(shù)，于是，設(shè)ykx（B）將x130，y70；x150，y50代入方程，有 解得 k1，b200 yx200設(shè)每天的利潤(rùn)為z（元），則z(x+200)(x120)x2320x24000 (x160)21600，當(dāng)x160時(shí)，z取最大值1600答：當(dāng)售價(jià)為160元/件時(shí)，每天的利潤(rùn)最大，為1600元例3 把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像

17、，求b，c的值解法一：yx2bxc(x+)2，把它的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到的圖像，也就是函數(shù)yx2的圖像，所以， 解得b8，c14解法二：把二次函數(shù)yx2bxc的圖像向上平移2個(gè)單位，再向左平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2的圖像，等價(jià)于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)yx2bxc的圖像由于把二次函數(shù)yx2的圖像向下平移2個(gè)單位，再向右平移4個(gè)單位，得到函數(shù)y(x4)22的圖像，即為yx28x14的圖像，函數(shù)yx28x14與函數(shù)yx2bxc表示同一個(gè)函數(shù)，b8，c14說(shuō)明：本例的兩種解法都是利用二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，所以，同學(xué)們

18、要牢固掌握二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律這兩種解法反映了兩種不同的思維方法：解法一，是直接利用條件進(jìn)行正向的思維來(lái)解決的，其運(yùn)算量相對(duì)較大；而解法二，則是利用逆向思維，將原來(lái)的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成與之等價(jià)的問(wèn)題來(lái)解，具有計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)今后，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以根據(jù)題目的具體情況，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)解決問(wèn)題例4 已知函數(shù)yx2，2xa，其中a2，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值 分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個(gè)變化的范圍，需要對(duì)a的取值進(jìn)行討論解：（1）當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)yx2的圖象僅僅對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)(2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時(shí)x2；（2）當(dāng)2a0時(shí)，由

19、圖226可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最小值ya2；（3）當(dāng)0a2時(shí)，由圖2 26可知，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取最大值y4；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0；（4）當(dāng)a2時(shí)，由圖226可知，當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)取最大值ya2；當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)取最小值y0xyO2axyO2aa24圖2.26xyOa224a22xyOaa24說(shuō)明：在本例中，利用了分類(lèi)討論的方法，對(duì)a的所有可能情形進(jìn)行討論此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實(shí)數(shù)，而是取部分實(shí)數(shù)來(lái)研究，在解決這一類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常需要借助于函數(shù)圖象來(lái)直觀地解決問(wèn)題練習(xí)1填空題（1）二次函數(shù)y2x2mxn圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2)，則m

20、，n （2）已知二次函數(shù)yx2+(m2)x2m，當(dāng)m 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m 時(shí)，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m 時(shí)，函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（3）函數(shù)y3(x2)25的圖象的開(kāi)口向 ，對(duì)稱(chēng)軸為 ，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ；當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)取最 值y ；當(dāng)x滿(mǎn)足 時(shí)，y隨著x的增大而減小2求下列拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、最大（?。┲导皔隨x的變化情況，并畫(huà)出其圖象（1）yx22x3； （2）y16 xx24已知函數(shù)yx22x3，當(dāng)自變量x在下列取值范圍內(nèi)時(shí)，分別求函數(shù)的最大值或最小值，并求當(dāng)函數(shù)取最大（?。┲禃r(shí)所對(duì)應(yīng)的自變量x的值：（1）x2；（2）x2；（3）2x1；（4）0x3一、基礎(chǔ)題：1、

21、函數(shù)的頂點(diǎn)是 （ ）A、(1,0)B、(1,0)C、(,0) D、(,0) 2、若，則函數(shù)的圖形的頂點(diǎn)在 （ ）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限3、拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在軸上，則值為 （ ）A、0B、1C、2D、44、求二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸方程。二、提高題：5、求把二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)下列變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：、向上平移3個(gè)單位，向左平移2個(gè)單位；、關(guān)于直線(xiàn)。6、求二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)，并指出當(dāng)取何值時(shí)，隨的增大而增大（或減?。?？并畫(huà)出該函數(shù)的圖象。初高中銜接(6) 二次函數(shù)的解析式1一般式：yax2bxc(a0)；2頂點(diǎn)式：ya(xh)2k

22、 (a0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是(h，k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來(lái)表示為了研究另一種表示方式，我們先來(lái)研究二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2bxc0 并且方程的解就是拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（縱坐標(biāo)為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程的解的個(gè)數(shù)又與方程的根的判別式b24ac有關(guān)，由此可知，拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式b24ac存在下列關(guān)系：（1）當(dāng)0時(shí)，拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸有

23、兩個(gè)交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則0也成立（2）當(dāng)0時(shí)，拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)）；反過(guò)來(lái)，若拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，則0也成立（3）當(dāng)0時(shí)，拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，若拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則0也成立于是，若拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A(x1，0)，B(x2，0)，則x1，x2是方程ax2bxc0的兩根，所以x1x2，x1x2，即 (x1x2)， x1x2所以，yax2bxca() = ax2(x1x2)xx1x2 a(xx1) (xx2

24、) 由上面的推導(dǎo)過(guò)程可以得到下面結(jié)論：若拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)與x軸交于A(x1，0)，B(x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為ya(xx1) (xx2) (a0)這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：3交點(diǎn)式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中x1，x2是二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來(lái)解題 例1 已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線(xiàn)yx1上，并且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），求二次函數(shù)的解析式分析：在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件最大值、頂點(diǎn)位置，從

25、而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)來(lái)求解出系數(shù)a解：二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2又頂點(diǎn)在直線(xiàn)yx1上，所以，2x1，x1頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，1），解得a2二次函數(shù)的解析式為，即y2x28x7說(shuō)明：在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問(wèn)題因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題例2 已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式分析一：由于題目所給的條

26、件中，二次函數(shù)的圖象所過(guò)的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式解法一：二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(1，0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya (x3) (x1) (a0)，展開(kāi)，得 yax22ax3a， 頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離2，|4a|2，即a所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為y，或y分析二：由于二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(1，0)，所以，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1，又由頂點(diǎn)到x軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來(lái)解，然后再利用圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式解法二：二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(3，0)，(1，0)，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x1又頂點(diǎn)到x軸的距離為2，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或2于