高等流體力學 零方程模型

1、第三節(jié) 零方程模型及一方程模型 任一變量的時間平均值定義為； 對變量作平均處理，可得： 對于動量方程，附加項為：對其他變量附加項：紊流粘性系數(shù)與紊流擴散系數(shù)：1零方程模型所謂零方程模型是指不使用微分方程，而是用代數(shù)關系式，把渦粘系數(shù)與時均值聯(lián)系起來的模型。它只用湍流的時均連續(xù)方程(4.12)和Reynolds方程（4.13)組成方程組，把方程組中的Reynolds應力用平均速度場的局部速度梯度米表示。零方程模型方案有多種，最著名的是Prandtl提出的混合長度模型（mixing length model）。Prandtl假定湍動粘度正比于時均速度的梯度和混合長度的乘積。例如，在二維問題中，有：

2、 （4.18）湍流切應力表示成為： (4.19)其中，混合長度由經驗公式或實驗確定?；旌祥L度理論的優(yōu)點是直觀簡單，對于如射流、混合層、擾動和邊界層等帶有薄的剪切層的流動比較有效，但只有在簡單流動中才比較容易給定混合長度，對于復雜流動則很難確定，而且不能用于模擬帶有分離回流的流動，因此，零方程模型在復雜的實際工程中很少使用。4.3.2一方程模型零方程模型實質上是一種局部平衡的概念，忽略了對流和擴散的影響。為了彌補混合長度假定的局限性，人們建議在湍流時均控制方程和Reynolds方程的基礎上，再建立一個湍動能k的輸運方程，而將表示成k的函數(shù)，從而使方程組封閉。這里，湍動能k的輸運方程表示為： (4

3、.20)上式從左至右，方程中各項依次為瞬態(tài)項、對流項、擴散項、產生項、耗散項。由Kolmogorov-Prandtl 表達式，有： (4.21)其中，為經驗常數(shù)，多數(shù)文獻建議：1，0.09，而的取值在不同的文獻中結果不同，從0.08到0.38不等。但這個問題在后面要介紹的雙方程模型中不存在。l為湍流脈動的長度比尺，依據經驗公式或實驗而定。以上兩式聯(lián)合構成一方程模型。一方程模型考慮到湍流的對流輸運和擴散輸運，因而比零方程模型更為合理。但是，一方程模型中如何確定長度比尺l仍是不易決定的問題，因此很少在實際工程計算中應用。4.4標準兩方程模型標準模型是典型的兩方程模型，是在4.3節(jié)介紹的一方程模型的

4、基礎上，新引入一個關于湍流耗散率的方程后形成的。該模型是目前使用最廣泛的湍流模型。本節(jié)介紹標準模型的定義及其相應的控制方程組，下一節(jié)介紹改進的模型。4.4.1標準兩方程模型的定義標準模型（standard model）由Launder和Spalding于1972年提出。在模型中，k為湍動能（turbulent kinetic energy），其定義為,即： 表示湍動耗散率（turbulent dissipation rate），定義為： （4.22）湍動粘度則表示成k和的函數(shù)，即： （4.23）其中，為經驗常數(shù)。在標準模型中，和是兩個基本的未知量，與之相對應的輸運方程為： (4.24)(4.2

5、5)其中，是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項，是由于浮力引起的湍動能k的產生項，代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻，、和為經驗常數(shù)，和分別是與湍動能k和耗散率對應當Prandtl數(shù)，和是用戶根據計算工況定義的源項。4.4.2標準模型的有關計算公式首先，Gk是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項，由下式計算: (4.26)是由于浮力引起的湍動能k的產生項，對于不可壓流體，0。對于可壓流體，有： (4.27)其中是湍動Prandtl數(shù)，在該模型中可取0.85，是重力加速度在第i方向的分量，是熱膨脹系數(shù)，可結合可壓流體的狀態(tài)方程求出，其定義為： (4.28)代表可壓湍流中脈動擴張的貢獻，對于不可壓

6、流體，。對于可壓流體，有： (4.29)其中，是湍動Mach數(shù)，；a是聲速，。在標準模型中，根據Launder等推薦值及后來的實驗驗證，模型常數(shù)、的取值為：1.44，1.92，0.09，1.0，1.3 (4.30)對于可壓流體的流動計算中與浮力相關的系數(shù)，當主流方向與重力方向平行時，有1，當主流方向與重力方向垂直時，有0。根據以上分析，當流動為不可壓，且不考慮用戶自定義的源項時, =0，0, 0，0.，這時，標準模型變?yōu)椋?(4.31) (4.32)這種簡化后的形式，出現(xiàn)在多篇文獻中，這可使我們更便于分析不同湍流模型的特點，后續(xù)要介紹的改進的模型也將采用這種簡化形式。方程(4.31)及(4.3

7、2)中的Gt，按式(4.26)計算，其展開式為:(4.33)4.4.3標準模型的控制方程組采用標準模型求解流動及傳熱問題時，控制方程包括連續(xù)性方程、運動方程、能量方程、方程、方程與式（4.23）。若不考慮熱交換的單純流場計算問題，則不需要包含能量方程。若考慮傳質或有化學變化的情況，則應再加入組分方程。這些方程仍可以表示成如下通用形式：(4.35)使用散度符號，上式記為： (4.36)為了方便查閱，下表給出了在三維直角坐標系下，與通用形式（4.35）所對應的模型的控制方程。與式（4.35）對應的模型的控制方程方程擴散系數(shù)源項S連續(xù)性方程100X向運動方程y向運動方程z向運動方程湍動能方程耗散率方

8、程能量方程TS按實際問題而定4.4.4標準模型方程的解法及適用性在將各類變量的控制方程都寫成式（4.35）所示的統(tǒng)一形式后，控制方程的離散化及求解方法可以求得統(tǒng)一，這為發(fā)展大型通用計算程序提供了條件。以式（4.35）為出發(fā)點所編制的程序可以適用于各種變量，不同變量間的區(qū)別僅在于廣義擴散系數(shù)、廣義源項及初值、邊界條件這三方面。實際上，目前世界上研究計算流體動力學的主要機構所編制程序多是針對式（4.35）寫出的。對于標準模型的適用性，有如下幾點需要注意：（1）模型中的有關系數(shù)，如式（4.30）中的值，主要是根據一些特殊條件下的試驗結果而確定的，在不同的文獻討論不同的問題時，這些值可能有所不同，但總

9、體來講，本節(jié)所給出的結果在近年發(fā)表的文獻中是比較一致的。除了式（4.30）中給出的5個常數(shù)外，對于能量方程中的系數(shù)，有文獻建議取為0.91.0。雖然這組系數(shù)有較廣的適用性，但也不能對其可靠性估計過高，需要在數(shù)值計算中針對特定的問題，參考相關文獻研究尋找更合理的取值。（2）這里所給出的模型，是針對湍流發(fā)展非常充分的湍流流動來建立的，也就是說，它是一種針對高Re數(shù)的湍流計算模型，而當Re數(shù)比較低時，例如，在近壁區(qū)域流動，湍流發(fā)展并不充分，湍流的脈動影響可能不如分子粘性影響大，在更貼近壁面的底層內，流動可能出于層流狀態(tài)。因此，對Re數(shù)比較低的流動使用上面建立的模型進行計算，就會出現(xiàn)問題。這時，必須采

10、用特殊的處理方式，以解決近壁區(qū)內流動的計算及低Re數(shù)時的流動計算問題。常用的解決方法有兩種，一種是采用壁面函數(shù)法，另一種是采用低Re數(shù)的模型。（3）標準模型比零方程模型和一方程模型有了很大進步，在科學研究及工程實際問題中得到了最為廣泛的檢驗和成功應用，但用于強旋流、繞彎曲壁面流動或彎曲流線流動時，會產生一定的失真。原因是在標準模型中，對于雷諾應力的各個分量，假定了湍動粘度是相同的，即假定是各向同性的標量。但在彎曲流線的情況下，湍流是各向異性的，應該是各向異性的張量。為了彌補標準模型的缺陷，許多研究者提出了對標準模型的修正方案，目前，有兩種應用比較廣泛的改進方案，即RNG模型和Realizabl

11、e模型。4.7 Reynolds應力方程模型（RSM）上面所介紹的各種兩方程模型都采用各向同性的湍動粘度來計算湍流應力，這些模型難于考慮旋轉流動及流線曲率變化的影響。為了克服這些弱點，有人提出直接對Reynolds方程中的湍流脈動應力直接建立微分方程并進行求解。這種方法統(tǒng)稱為雷諾應力模型(Reynolds Stress equation Model，RSM)。建立Reynolds應力的方式有兩種：一是Reynolds應力方程模型，二是代數(shù)應力方程模型。本節(jié)介紹第一種模型。4.7.1 Reynolds應力輸運方程所謂Reynolds應力輸運方程，實質上是關于的輸運方程。根據時均化法則，只要分別的

12、到了和的輸運方程，就自然得到關于的輸運方程。為此，可以從瞬時速度變量的N-S方程出發(fā)，按下面兩個步驟來生成關于的輸運方程。第一步，建立關于的輸運方程。過程是：將乘以的N-S方程，將乘以的N-S方程，再將兩方程相加，得到的方程，對此方程作Reynolds時均、分解、即得到的輸運方程。注意，這里的和均指瞬時速度，非時均速度。第二步，建立的輸運方程。將乘以的Reynolds時均方程，將乘以的Reynolds時均方程，再將兩方程相加，即得到的輸運方程。將上面兩步得到的兩個輸運方程相減后，得到的輸運方程，即Reynolds應力輸運方程。經量綱分析、整理后的Reynolds應力方程可寫成： (4.63)方

13、程中的第一項為瞬態(tài)項，其他各項依次為：對流項：湍動擴散項：分子粘性擴散項：剪應力產生項：浮力產生項：壓力應變項 ：粘性耗散項：系統(tǒng)旋轉產生項上式各項中，、和均只包含二階關聯(lián)項，不必進行處理?？墒?，、和包含有未知關聯(lián)項，必須和前面構造方程的過程一樣，構造其合理的表達式,即給出各項的模型，才能得到真正有意義的Reynolds應力方程。下面將逐項給出相應的計算公式。下面對方程（4.63）中各主要項的計算公式作如下說明。1. 湍動擴散項的計算可通過Daly和Harlow所給出的廣義梯度擴散模型來計算： (4.64)有學者認為，該式有可能導致數(shù)值上的不穩(wěn)定，因此，推薦用下式： (4.65)式中，是湍動粘

14、度，按標準模型中的式（4.23）計算。系數(shù)，注意該值在Realizable模型中為1.0。2. 浮力產生項的計算因浮力所導致的產生項由下式計算： (4.66)其中，T是溫度，是能量的湍動prandtl參數(shù)，在該模型中可取0.85，是重力加速度在i方向上的分量，是熱膨脹系數(shù)，由式（3.27）計算。對理想氣體有： (4.67)如果流體是不可壓的，則0。3. 壓力應變項的計算壓力應變項的存在是Reynolds應力模型與模型的最大區(qū)別之處，由張量的縮并原理和連續(xù)方程可知，。因此，僅在湍流各分量間存在，當時，它表示減小剪切應力，使湍流趨向于各向同性；當時，它表示使湍動能在各應力分量間重新分配，對總量無影

15、響。可見，此項并不產生脈動能量，僅起到再分配的作用。因此，在有的文獻中稱此項為再分配項。壓力應變項的模擬十分重要，目前有多個版本用于計算。這里，給出相對普遍的形式： (4.68)其中，是慢的壓力應變項，是快的壓力應變項，是壁面反射項。按下式進行計算： (4.69)這里，1.8。按下式計算： (4.70)其中，0.60，的定義見式（4.63），。壁面反射項的作用是對近壁面處的正應力進行再分配。它具有使垂直于壁面的應力變弱，而使平行于壁面的應力變強的趨勢。由下式計算： (4.71)式中，是壁面單位法向矢量的分量，d是研究的位置到固體壁面的距離，其中0.09，是Karman常數(shù)，。4. 粘性耗散項的

16、計算耗散項表示分子粘性對Reynolds應力產生的耗散。在建立耗散項的計算公式時，認為大尺度渦承擔動能輸運，小尺度渦承擔粘性耗散，因此小尺度渦團可看成是各向同性的。即認為局部各向同性的。依照該假定，耗散項最終可以寫成： (4.30)將式（4.65）、（4.67）、（4.68）（4.72）代入方程（4.63），得到封閉的Reynolds應力輸運方程： （4.73）為節(jié)省篇幅，上式中引用的項并沒有完全打開。我們注意到，上式是FLUENT等多數(shù)CFD軟件所使用的廣義Reynolds應力輸運方程，它體現(xiàn)了各種因素對湍流流動的影響，包括浮力，系統(tǒng)旋轉和固體壁面的反射等。若不考慮浮力的作用（即）及旋轉的影

17、響(即)，同時在壓力應變項中不考慮壁面反射（即），這樣，Reynolds應力輸運方程可寫成如下比較簡單的形式： (4.74)如果將RSM只用于沒有系統(tǒng)轉動的不可壓流動，則可以選擇這種比較簡單的Reynolds應力輸運方程。4.7.2 RSM的控制方程組及其解法在上述得到Reynolds應力輸運方程中，包含有湍動能和耗散率，為此，在使用RSM時，需要補充和的方程。RSM中的方程和方程如下： (4.75)(4.76)式中，是剪應力產生項，根據式（4.63）計算。是浮力產生項，按式（4.66）或（4.67）計算，對于不可壓流體，0。而是湍動粘度，按下式計算： (4.77)、為常數(shù)，取值分別為：1.4

18、4、1.92、0.09、0.82、1.0。是與局部流動方向相關的一個數(shù)，按標準模型的方法確定。這樣，由時均連續(xù)性方程（4.12）、雷諾方程（4.13）、Reynolds應力輸運方程（4.73）、方程（4.75）和方程（4.76），共12個方程構成了封閉的三維湍流流動問題的基本控制方程組?？赏ㄟ^SIMPLE等算法求解。此外，對于上面的控制方程組，需要作如下兩點說明。（1）如果需要對能量或組分等進行計算，需要建立其它針對標量型變量（如溫度、組分濃度）的脈動量的控制方程。每個這樣的方程實際對應3個偏微分模型方程，每個偏微分模型方程對應計算方程（4.14）中的一個湍動標量，即得到湍流標量輸運方程。這樣，將新得到的關于的3個輸運方程，與時均形式的標量方程（4.14）一起加入到上述基本控制組中，形成總共有16個輸運方程的方程組，求解變量除上述12個外，還包括時均量