必考解答題——中檔鞏固練1

1、必考解答題中檔鞏固練(一)立體幾何1如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AB2BC2，PAB是正三角形，且平面ABCD平面PCD.(1)若O是CD的中點(diǎn)，證明：BOPA；(2)求二面角BPAD的余弦值(1)證明平面PCD平面ABCD，平面PCD平面ABCDCD，AD平面ABCD，而四邊形ABCD是矩形，ADCD，AD平面PCD.又PD平面PCD，ADPD，同理BCPC.直角ADP和直角BCP中，ADBC，PAPB，PCPD.取AB的中點(diǎn)Q，連接OP，OQ，則OC，OP，OQ兩兩垂直以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)C，OP，OQ為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B2BC2，A(1,0,1)，B(1,0,1

2、)又PAB是正三角形，PCD是等腰三角形，OP，P(0，0)從而，(1,0，1)，(1，1)，·1×(1)0×()(1)×10.所以，BOPA.(2)解由(1)，(1，1)，(2,0,0)設(shè)平面BPA的法向量為n1(x1，y1，z1)，由取y11，解得所以平面BPA的一個(gè)法向量為n1(0,1，)又(1，1)，(0,0,1)，設(shè)平面DPA的法向量為n2(x2，y2，z2)，由取y21，解得所以平面DPA的一個(gè)法向量為n2(，1,0)cos<n1，n2>.因?yàn)榉ㄏ蛄縩1和n2均指向二面角BPAD外，所以二面角BPAD的平面角與角<n1，n2

3、>互補(bǔ)，故二面角BPAD的余弦值為.2如圖，幾何體ABCDB1C1D1中，四邊形ABCD為菱形，BAD60°，ABa，平面B1C1D1平面ABCD，BB1，CC1，DD1都垂直于平面ABCD，且BB1a，E為CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)(1)求證：DB1E為等腰直角三角形；(2)求二面角B1DEF的余弦值(1)證明連接BD，交AC于O，四邊形ABCD為菱形，BAD60°，BDa，BB1，CC1都垂直于平面ABCD，BB1CC1，又平面B1C1D1平面ABCD，BCB1C1，四邊形BCC1B1為平行四邊形，則B1C1BCa.BB1，CC1，DD1都垂直于平面ABCD，則

4、DB1a，DE，B1E，DE2B1E23a2DB，DB1E為等腰直角三角形(2)解取DB1的中點(diǎn)H，O，H分別為DB，DB1的中點(diǎn)，OHBB1，以O(shè)A，OB，OH分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則D，E，B1，F(xiàn)，1(0，a，a)，.設(shè)平面DB1E的法向量為n1(x1，y1，z1)，則n1·10，n1·0，即ay1az10且ax1y1az10，令z11，則n1(0，1)，設(shè)平面DFE的法向量為n2(x2，y2，z2)，則n2·0，n2·0，即ax2ay20且ax2y2az20，令x21，則n2，則cos<n1，n2>，則二面角B1DEF的余弦值

5、為.3在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為矩形，且ABPABC(a0)(1)當(dāng)a1時(shí)，證明：BDPC；(2)若BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQQD，求此時(shí)二面角APDQ的余弦值(1)證明連接AC，當(dāng)a1時(shí)，底面ABCD為正方形，BDAC.又PA平面ABCD，BDPA，又ACPAA，BD平面PAC，又PC平面PAC，BDPC.(2)解AB、AD、AP兩兩垂直，分別以它們所在直線(xiàn)為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖所示，不妨設(shè)AB1，則B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，P(0,0,1)，設(shè)BQm(0ma)，則Q(1，m,0)，(1，m，1)，(

6、1，am,0)要使PQQD，只要·1m(am)0，1m(am)2，解得a2.由此可知a2時(shí)，BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQQD，當(dāng)且僅當(dāng)mam，即m時(shí)，BC邊上有且只有一個(gè)點(diǎn)Q，使得PQQD，由此可知a2，(1,1,0)，(0，2,1)設(shè)平面PQD的法向量p(x，y,1)則，即，解得p，p為平面PQD的一個(gè)法向量取平面PAD的一個(gè)法向量q(1,0,0)，由圖可知，<p，q>的大小與二面角APDQ的大小相等，cos<p，q>，二面角APDQ的余弦值為.4如圖1，在RtABC中，C90°，BC3，AC6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DEBC，DE2，將A

7、DE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如圖2.(1)求證：A1C平面BCDE；(2)試在線(xiàn)段A1D上確定一點(diǎn)M，使得CM與平面A1BE所成的角為45°.(1)證明折起前BCAC，DEBC，DEAC.折起后，仍有DEA1D，DECD，DE平面A1DC，DEA1C.又A1CCD，DECDD，A1C平面BCDE.(2)解如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz，則C(0,0,0)，A1(0,0,2)，D(0,2,0)，B(3,0,0)，E(2,2,0)(3,0，2)，(1,2,0)設(shè)平面A1BE的法向量為n(x，y，z)，則由n·n·0，得令x2，則y1，z，n(2,1，)依題意設(shè)t，又(0，2,2)，(0，2t,2t)，(0,2,0)(