初三數(shù)學(xué)圓知識點復(fù)習(xí)專題經(jīng)典

1、名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點圓章節(jié)學(xué)問點復(fù)習(xí)一、圓的概念集合形式的概念：1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；（補(bǔ)充 ） 2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條

2、平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線；二、點與圓的位置關(guān)系ad1 、點在圓內(nèi)dr點 c 在圓內(nèi)；rob2 、點在圓上dr點 b 在圓上；3 、點在圓外dr點 a 在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1 、直線與圓相離dr無交點 ；2 、直線與圓相切dr有一個交點；3 、直線與圓相交dr有兩個交點；dcrdd=rrd四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1）無交點drr；外切（圖2）有一個交點drr；名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點相交（圖3）有兩個交點rrdrr；內(nèi)切（圖4） 內(nèi)含（圖5）有一個交點無交點d dr rr ；r ；dddrrrrrr圖 1圖 2圖3ddrrrr圖4圖 5五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平

3、分弦且平分弦所對的??；推論 1：（1 ）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；（ 2 ）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（ 3 ）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共 4 個定理，簡稱2 推 3 定理：此定理中共5 個結(jié)論中，只要知道其中2 個即可推出其它3 個結(jié)論，即： ab 是直徑 abcd cede弧 bc弧 bd弧 ac弧aad中任意 2 個條件推出其他3 個結(jié)論；oe推論 2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等；cdcdbob即：在 o 中， ab cda弧ac弧 bd例題 1、 基本概念1下面四個命題中正確的一個是（）a

4、平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑b 平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點c弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心d在一個圓內(nèi)平分一條弧和它所對弦的直線必過這個圓的圓心 2以下命題中，正確選項（）a 過弦的中點的直線平分弦所對的弧b 過弦的中點的直線必過圓心c弦所對的兩條弧的中點連線垂直平分弦，且過圓心d弦的垂線平分弦所對的弧例題 2、垂徑定理1、 在直徑為52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如下列圖， 假如油的最大深度為 16cm，那么油面寬度ab 是 cm.2、在直徑為52cm 的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，假如油面寬度是48cm，那么油 的最大深度為 cm.3、如圖，已知在o

5、 中，弦 abcd ，且 abcd ，垂足為 h ， oeab 于 e ， ofcd 于 f .（ 1）求證：四邊形oehf 是正方形 .（ 2）如 ch3 ， dh9 ，求圓心 o 到弦 ab 和 cd 的距離 .4、已知： abc 內(nèi)接于 o， ab=ac ，半徑 ob=5cm ，圓心 o 到 bc 的距離為 3cm，求 ab 的長5、如圖， f 是以 o 為圓心， bc 為直徑的半圓上任意一點，a 是的中點， ad bc 于 d ，求證： ad=f1bf.2ae例題 3、度數(shù)問題1、已知：在o 中，弦 abbdoc12cm ， o 點到 ab 的距離等于ab 的一半，求：aob的度數(shù)和圓

6、的半徑.2、已知： o 的半徑 oa例題 4、相交問題1，弦 ab、ac 的長分別是2 、3 .求bac 的度數(shù)；如圖，已知o 的直徑 ab 和弦 cd 相交于點e， ae=6cm ， eb=2cm ， bed=30 °，求 cd 的長 .ceabod例題 5、平行問題在直徑為50cm 的 o 中，弦 ab=40cm ，弦 cd=48cm ，且 ab cd ，求： ab 與 cd 之間的距離 .例題 6、同心圓問題名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點如圖，在兩個同心圓中，大圓的弦ab ，交小圓于c、d 兩點，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為a ,b .求證： adbda 2b 2 .例題 7、平行與相像已知：

7、 如圖， ab 是 o 的直徑， cd 是弦， aecd 于e ，bfcd 于 f .求證：ecfd .六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等；此定理也稱1推 3 定理，即上述四個結(jié)論中，e只要知道其中的1 個相等，就可以推出其它的3 個結(jié)論，f o即：aobdoe ； abde ；dac ocof ；弧 ba弧 bdb七、圓周角定理c1 、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半；即：aob 和acb 是弧 ab 所對的圓心角和圓周角boaaob2acb2 、圓周角定理的推論：dc推論1 ：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等

8、圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在 o 中，c 、d 都是所對的圓周角 cd推論2 ：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧b oac是半圓，所對的弦是直徑；bao即：在 o 中， ab 是直徑或c90名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點c90ab 是直徑推論3 ：如三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是c直角三角形；即：在 abc 中，ocoaobabc 是直角三角形或baoc 90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理；【例 1】用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，依據(jù)圖形3-3-19所表示的情形，四個工件哪一個確定是半圓

9、環(huán)形？【例 2】如圖，已知o中， ab為直徑， ab=10cm，弦 ac=6cm， acb的平分線交 o 于 d，求 bc、 ad和 bd的長【例 3】如下列圖，已知ab為 o的直徑， ac為弦， odbc，交 ac于 d， bc=4cm（ 1）求證： ac od；（ 2）求 od的長；（ 3）如 2sina 1=0，求 o的直徑【例 4】四邊形abcd中， ab dc， bc=b， ab=ac=ad=，a 如圖，求bd的長【例 5】如圖 1， ab是半 o的直徑，過a、b 兩點作半 o 的弦，當(dāng)兩弦交點恰好落在半o 上 c 點時，就有 ac· ac bc· bc=ab22

10、（ 1）如圖 2，如兩弦交于點p 在半 o內(nèi)，就 ap· ac bp· bd=ab是否成立？請說明理由2（ 2）如圖 3，如兩弦 ac、bd的延長線交于p 點，就 ab=參照（ 1）填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對角；即：在 o 中，dc四邊形 abcd 是內(nèi)接四邊形cbad daec180bd180bae例 1、如圖 7-107 ， o中，兩弦abcd， m是 ab的中點，過m點作弦 de求證： e， m， o， c四點共圓九、切線的性質(zhì)與判定定理（ 1 ）切線的判定定理

11、：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不行即： mnoa 且 mn 過半徑 oa 外端mn 是 o 的切線o（ 2 ）性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論 1 ：過圓心垂直于切線的直線必過切點；推論 2 ：過切點垂直于切線的直線必過圓心；man名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點以上三個定理及推論也稱二推肯定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最終一個；十、切線長定理切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角；即： pa 、 pb 是的兩條切線bpapboppo平分bpaa利用切線

12、性質(zhì)運(yùn)算線段的長度例 1： 如圖，已知： ab是 o的直徑， p 為延長線上的一點，pc切 o于 c，cdab于 d，又 pc=4， o的半徑為 3求： od的長利用切線性質(zhì)運(yùn)算角的度數(shù)例 2： 如圖，已知： ab 是 o的直徑， cd切 o于 c，ae cd于 e， bc的延長線與ae的延長線交于f，且 af=bf求： a 的度數(shù)利用切線性質(zhì)證明角相等例 3： 如圖，已知： ab 為 o的直徑，過a 作弦 ac、ad，并延長與過b 的切線交于m、n求證： mcn= mdn名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點利用切線性質(zhì)證線段相等例 4： 如圖，已知： ab 是 o直徑， co ab， cd切 o于 d， ad

13、交 co于 e求證： cd=ce利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例 5： 如圖，已知：abc中， ab=ac，以 ab 為直徑作 o，交 bc于 d， de切 o于 d，交 ac于 e求證： de ac十一、圓冪定理dbo（ 1 ）相交弦定理 ：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等；pa即：在 o 中，弦 ab 、 cd 相交于點p ，cpa pbpcpd（ 2 ）推論：假如弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成比例中項；即：在 o 中，直徑 abcd ，cboea d的兩條線段的ce 2aebe名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點（ 3 ） 切割線定理 ：從圓外一點引圓的切線和割線，切線與圓交點的兩條線段

14、長的比例中項；p即：在 o 中， pa 是切線，pb 是割線a線長是這點到割deocb pa2pcpb（ 4 ）割線定理 ：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖） ；即：在 o 中， pb 、 pe 是割線pc pbpd pe例1. 如圖 1，正方形abcd的邊長為 1，以 bc為直徑；在正方形內(nèi)作半圓o，過 a 作半圓切線，切點為f，交 cd于 e，求 de： ae的值；例2. o中的兩條弦ab 與 cd相交于 e，如 ae 6cm， be2cm， cd7cm，那么 ce cm；圖2例3. 如圖 3， p 是o 外一點， pc切o 于點 c， pa

15、b是o 的割線，交o 于 a、b 兩點，假如pa： pb 1： 4， pc 12cm，o的半徑為 10cm，就圓心o到 ab的距離是 cm；圖3例4. 如圖 4，ab為o 的直徑，過b 點作o 的切線 bc， oc交o 于點 e，ae的延長線交bc于點 d，（1）求證：；（ 2）如 ab bc 2厘米，求ce、cd的長；圖4名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點例5. 如圖 5，pa、pc切o 于 a、c， pdb為割線；求證： ad·bccd·ab圖5例6. 如圖 6，在直角三角形abc中， a90°，以ab邊為直徑作 o，交斜邊bc于點 d，過 d點作o 的切線交 ac于 e；圖

16、6求證： bc 2oe；十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦；a如圖：o1o2 垂直平分ab ；o1o2即：o1 、 o2 相交于 a 、 b 兩點bo1o2 垂直平分ab十三、圓的公切線兩圓公切線長的運(yùn)算公式：abco1o2（ 1 ）公切線長：rto o c 中， abcoo oco；2222121122（ 2 ）外公切線長：co2 是半徑之差；內(nèi)公切線長：co2 是半徑之和；十四、 圓內(nèi)正多邊形的運(yùn)算c（ 1 ）正三角形ob在 o 中 abc 是正三角形，有關(guān)運(yùn)算在rtbod 中進(jìn)行：a dod :bd : ob1 :3 : 2；（ 2 ）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)運(yùn)算在rtoae 中進(jìn)行，oe : ae : oabco1:1:2 ：aed名師總結(jié)優(yōu)秀學(xué)問點（ 3 ）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)運(yùn)算在rt