電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題解

1、電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題題解例1 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為:F 1 52Jc ar 10rA/m求： 通過半徑r=1mm的球面的電流值。 在r=1mm的球面上電荷密度的增加率。 在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率。 I = ： Jc d s = 0° 10r1.5 r2 si nr dr d |r = 1 mm=40兀 r0.5 r =1mm = 3.97A 因?yàn)槎A2(r210f 5r 25r d rcP由電流連續(xù)性方程，得到：可Jc:t r =1mm- -1.58<108A/m3r = 1mm在r=1mm的球內(nèi)總電荷的增加率dt=-3.97A例2在無源的自由空間中，

2、已知磁場(chǎng)強(qiáng)度H -ay 2.63 10*cos(3 109t -10z)A/m求位移電流密度J；。解：由于Jc =0，麥克斯韋第一方程成為Jday：:yHyaz:z0一 3H=a/ 匕一ax 2.63 104sin3 1(ft-10Z)A/m2 點(diǎn)z例3在無源的區(qū)域中，已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度已二ay10，si n(6.28 109 20.9 z) v/m求空間任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度解:由麥克斯韋第二方程axayazVxE-ctdxdz0Ey0一 -：Ey二ax；z=十20.9 10 cos(6.28 109t-20.9z)將上式對(duì)時(shí)間t積分，若不考慮靜態(tài)場(chǎng)，則有Bdt=ax 20.9

3、 10cos(6.28 109t-20.9z):tdt 二一ax3.33 10 J1 s in (6.28 109t -20.9z)T例4已知自由空間中，電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為E = ax cos(wt - : z);求磁場(chǎng)強(qiáng)度的H表達(dá)式。F解： ' E B 第二方程ct且在自由空間中=亠“B;:H.:td d p* q叮 E'VFH - -ay isin(wt - z) d t卩0一 p=ay cos(wt - ： z)t無關(guān)的恒% w上式積分的常數(shù)項(xiàng)對(duì)時(shí)間是恒定的量， 在時(shí)變場(chǎng)中一般取這種與定分量為0例5有一個(gè)廣播電臺(tái)在某處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.2%cos2.1(3 108t-x

4、) azA/m媒介為空氣,求該處的位移電流密度解：在該處無傳導(dǎo)電流衛(wèi)：t打v X B在直角坐標(biāo)系中：Bz= 0.2% cos2.1(3x10t-x)axayazb-V B 二.dxdzBxByBz-U-0JdBy：Bx：By汨z:y:z)ax仁:x)ay (:y)az0.2% sin 2.1(3 10$ t - x)(-2.1x)例6同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體外半徑a=1mm外導(dǎo)體內(nèi)半徑b=4mm內(nèi)外導(dǎo)體之間是空 氣介質(zhì)，且電場(chǎng)強(qiáng)度為100 8 - Ecos(1081 az) arV/mr用麥克斯韋方程求a。求磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 求內(nèi)導(dǎo)體表面電荷密度 %。 求長(zhǎng)度0<z< 1 m中總的位移電流解

5、：一B -八 EctarAra：'-AazrzAzarAra :r Ar-(az；z1 Ara :az)sin (104 - ： z) - 0100asin(1(0t - ： z)10" cos (1081 - az)在內(nèi)外中間的空氣中,ft：t將B代入，則:1 100 2*108r1 100：2108= 1016= 1016sin(10t _ ： z) ar100 ；010836 :10010108sin(108r ： z)ar法拉/米% =4 二 10H /m10“8cos (10 t 在內(nèi)外導(dǎo)體之間作園柱形高斯面，有0EdS= dV= ；dsvs:0Erd dz二 s

6、ad dz12 二1 2 二?s0 00 Er rd dz= 0.s ad dz31 10cos8(10z) ar3；0 105cos (108Id：t：t100.-010-sin(10t- ： z) ar ds1010sin (10 t -a z)，r d z r12 二 1010sin(108tlnsn2 o101(108t z)d dz-6二 1O10 ；0310 1 8+1)sinsin (10 t )366cos (1081 一 z) 0 = 6 兀漢 1O10 E0cos1081 -cos(1081 一)33例7、在兩導(dǎo)體平板(z=0和z=d )之間的空氣中傳輸?shù)碾姶挪?，其電?chǎng)強(qiáng)度

7、矢量E =e EcSin( z)cos(-k x)y 0 dx /其中kx為常數(shù)。試求:(1) 磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H。(2) 兩導(dǎo)體表面上的面電流密度 Js由麥克斯韋方程可得:解:(1)對(duì)上式積分后得:E 兀E kxB =e ' cos( z) sin( t-k x) e 0sin(匚 z)cos( t-k x)x d . dx z , dx即:EokxCOs(d z) sin(kxx)ex(2)導(dǎo)體表面上的電流存在于兩導(dǎo)體板相向的一面，故在z = 0表面上，法線n二ez，面電流密度zFey = sin('t-kxX)在z =d表面上，法線n = ez，面電流密度：Ez"e

8、y=dsin(kxX)例&一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為 a,外導(dǎo)體半徑為b,長(zhǎng)度為L(zhǎng),同軸線兩 端用理想導(dǎo)體板短路。已知在 ar乞b、0乞z遼L區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)為：E =eAsinkz， H =角 coskz(1) 確定A、B之間的關(guān)系。(2) 確定k。(3) 求r=a及r =b面上的 匚、Js解：由題意可知，電磁場(chǎng)在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)(1) A、B之間的關(guān)系。因?yàn)镋=乞竿 coskz = - j： -H所以A -j JB k(2)因?yàn)?#39;、H"rH Jz=er¥sinkzE所以A = _L_ B _ j ；(3)因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體構(gòu)成的同軸線，所以邊

9、界條件為:n H 二 Js ， n D 二 J在r =a的導(dǎo)體面上，法線n=er，所以J sa?sar=e 旦 coskz - z rA .r / sin kzrr二e B coskz z aA .r sin kza在r二b的導(dǎo)體面上,J sbsb 二 n DBu = e 口 coskz r- z r r 巾 A sinkz rBr k = -ecoskzr- z b7A sinkz_b例9、電磁波在真空中傳播，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：(V /m)4 - j20 二 z E(t) = (e - je )10 ex y試求:(1)工作頻率f。(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式。(3)坡印廷矢量

10、的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。解：由題意可得:k=20109所以工作頻率f =3 109 Hz(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為:H ez E 二丄(ey jex) 100-4j20：z(A/m)其中波阻抗0 =120二門。(2)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。電磁波的瞬時(shí)值為:E(t) =ReEe舊=(ex jey)1。4cosWt2Mz)(V/m)H (t) =ReHejKt=古(e + je )10一4 cos® t 20吃)(A/m)0 y x所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值:St) = E(t戶 H(t) = 10-8coS©t 20z) (e -jey (ey + jej = 0

11、W/m20y y同理可得坡印廷矢量的時(shí)間平均值:SavRegE H =0 W/m2例10、已知空氣中一均勻平面電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為:H十&屮6叨歸丁3z)試求:(1)波長(zhǎng)、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角。(2)常數(shù)A。(3)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量。解:(1)波長(zhǎng)、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角分別為:=-0.4 m k4ex 3ezk f ；kx kz (4二)2(3二)2 二 5二，k=0'8ex 0.6ez，g"6e J (4x 3z)=53(2)cHy cH十 W=4：jA-12“j=0(3) 電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量0H q = 0 (-ex3 ey2 6 e

12、z4) < j (4x 3z) (0.8ex 0.6ez)= ”0(評(píng)ex+5ey 護(hù)e”jS + 3z)V/m例11、假設(shè)真空中一均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為：EP2eyJ護(hù)"曲V /m試求:(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅、波矢量和波長(zhǎng)。(2)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式解：依題意知，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅:E° = e0x E；y = 3、. 3 V / mk=k2+ky+k271所以波矢量k = kek，其中ek4ex從而(1)=4mk電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為:E(t) =ReEe0 =3(e -邁e )cos冏t £(2x +V2 y V3z)x y6

13、(V/m)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為:H(t)二丄電 E(t)(6$3ey 3.2ez)cos t-6(2x 2y-、3z)(A/m>例12、已知在無源的自由空間中，磁場(chǎng)為H 二 ey 2 c o s (: 1x5) si n 96 - -1zO t( A/m利用麥克斯韋方程求相應(yīng)的電場(chǎng)E及常數(shù)：。解：將H表示為復(fù)數(shù)形式：H (x, z)二-eyi2cos(15二 由時(shí)諧形式的麥克斯韋第二方程可得：1E(x,z)H 二廠I" 0Hx)ez(1)ex ： 2 cos(15 二 x) ezi30 二 sin(15x) e_i zH (x, z)二丄i E e0"0z：:E

14、x :Ezeyi2"2;l0手2 十(15江)2)cos(15兀 x)e比較(1 式何(2式，有2-2(15二)2) =J 0 ；o=(6 二109)2二 400 二所以 二,40-22- 41.56( rad / m)所以，相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為：E(x,z,t) - -=496 cos(15 二 x) sin(6 二 109t - 41.56 z) =565.5sin(15: x) cos(6 二 109t - 41.56 z)V / m例13、同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑a =1mm ,外導(dǎo)體內(nèi)半徑b =4mm ,內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣介質(zhì)，并 且電場(chǎng)強(qiáng)度為100 8 / 、E 二 e cos10

15、 8t - 0.5 z （ V/m）r（1）求磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式；（2）求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；（3）計(jì)算0z乞1m中的位移電流id。解：將E表示為復(fù)數(shù)形式：E(r,z)二 e I0%®則由時(shí)諧形式的麥克斯韋方程可得:H ( x, z)- .i 0.5 z /e ( A / m )0.398二 e r而磁場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式為H(r,z,t)旦cos(1(ft -0.5z)(A/m)(2 )內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度H = = &397.9cos(108t - 0.5z)(A/m)E -*582(3)Jd 八0= U - sin(108t-0.5z)(A/m2)ct18兀 r所以，在0

16、- z -1中的位移電流id 二；dLd；二:Jd_er2二 rdz 二-0.55sin(108t-0.25)(A)s例14、已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場(chǎng)的振幅E。=800（V/m），方向?yàn)樨?，如果波沿著z方向傳播，波長(zhǎng)為0.61m,求：（1）電磁波的頻率f ; （2）電磁波的周期T; （3）如果將場(chǎng)量表示為Acos（t_kz），其k值為多少？ （ 4）磁場(chǎng)的振幅H0二解：在空氣中，電磁波的速度為C -1- 310 8（m / s）Ji00本征阻抗 0 =120理= 377所以/3 x 108(1)電磁波頻率 f=c4.92 1 08Hz=492MHz/扎 0.61(2)1 8電磁波周

17、期 T0.203 10 s=2.03ns(3)k = 2 二 /，二 10.3( rad / m)(4)E 0800=2.12( A/m)H 00377例15、在自由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為E = ex10-4ei( n ey10xy4 i (t 一20 二 z e2求：（1）平面波的傳播方向；（2）電磁波的頻率；（3）波的極化方式;)(V /m)(4)磁場(chǎng)強(qiáng)度H ； (5)電10 /120 :磁波流過沿傳播方向單位面積的平均功率。解：（1）從電場(chǎng)方程可知，傳播方向?yàn)閑z(2)從電場(chǎng)方程可知，k=20二所以-二20 :2 :109"10(Hz)3GHz(1)艮電場(chǎng)可表示

18、為E = G iey )1t)eH 20z是左旋圓極化波(2)由H-ezE可得0ey2.6510 _t-2 0z)e，(t_ 2z0)（5 ）平均功率Sav1 D r/ 彳彳 C 4i 20 =z 丄 * 彳 c 4 (20 Hz 申)、=£ Re( ex 10 _ e _+ ey 10 _ e2 )i(20 -z 屯)(_ex2.6510 Je _2ey 2.65 1O”ei20：z)=eZ 2.6510 J1 (W/m2)即 Pav =2.6510 J1 (W/m2)1詁斗*例16、電磁波磁場(chǎng)振幅為A/m，在自由空間沿ez方向傳播，當(dāng)t=0,z=0時(shí)，H在e方向,3兀相位常數(shù)-=

19、30rad/m。（ 1）寫出H和E的表達(dá)式；（2）求頻率和波長(zhǎng)。解：（1）在自由空間中， ° =120二= 377 “而-_J 0 - 30( rad )109(radJ J0于是得磁場(chǎng)H(z,t)-二丄cos(93:1t030 )電場(chǎng)(2)CO9二 1.4310 ( Hz )2 :例17、在=1、；r若已知平面波的頻率F TJI=4、：； -0的媒質(zhì)中，有一均勻平面波，其電場(chǎng)強(qiáng)度E = Ems in （t-kz，），3f -150MHz，任意點(diǎn)的平均功率密度為 0.265W/m2。試求：（1）電磁波的波數(shù)、相速、波長(zhǎng)、波阻抗；（2） t=0,z=0時(shí)的電場(chǎng)E（0,0）'等于

20、多少？ （ 3）經(jīng)過t = 0.1»s 后, 電場(chǎng)E（0,0）值傳到什么位置？波數(shù)"=2二仁：7=2二血 106 為 2吃（rad/m）1 1 8相速 Vp1.5 10( m/s)J屮2趴軋波長(zhǎng)波阻抗已"二；、% =60二(門)(2)均勻平面波的平均坡印廷矢量S平均=eZ 丄匸聞=go.265>dO“ (W/nm )2 AJ卩得Em =10 漢 10 (V/m)當(dāng) t = 0 , z = 0 時(shí)E =|Em|sin 擰=10X100.866 =8.66X10 (V/m) t = 0.1 Js 后E=10'sin&ftkz4I3丿2I6_Z応：_3=10 sin15010110 一2=3次6610得sini30 2二z8.66 10I 3 丿z =15 (m)例18、空氣中某一均勻平面波的波長(zhǎng)為12cm,當(dāng)該平面波進(jìn)入某無損耗媒質(zhì)中傳播時(shí)，其波44長(zhǎng)減小為8cm，且已知在媒質(zhì)中的E和H的振幅分別為50V/m和0.1A/