高等數(shù)學(xué)：2-5 函數(shù)的微分

1、1微分的定義微分的定義微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則微分公式與運(yùn)算法則小結(jié)小結(jié) 作業(yè)作業(yè)第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用2導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)微分微分導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起表示函數(shù)在一點(diǎn)處由自變量所引起的函數(shù)變化的快慢程度的函數(shù)變化的快慢程度.是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化是函數(shù)在一點(diǎn)處由于自變量微小變化所引起的改變量的近似值所引起的改變量的近似值.有著密切的聯(lián)系有著密切的聯(lián)系.3正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xx

2、x 變到變到設(shè)邊長(zhǎng)由設(shè)邊長(zhǎng)由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;的主要部分的主要部分且為且為 A x )1()2(x x 2)( x 1.問(wèn)題的引出問(wèn)題的引出實(shí)例實(shí)例x 線性函數(shù)線性函數(shù)(linear function)xx 0 xx 0一、微分的定義一、微分的定義的線性的線性(一次一次)函數(shù)函數(shù),x 當(dāng)當(dāng),的次要部分的次要部分且為且為 A 很小時(shí)可忽略很小時(shí)可忽略.2,0 xxAx 很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)母唠A無(wú)窮小的高階無(wú)窮小,4再如再如,03時(shí)時(shí)處的改變量為處的改變量為在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxy 3030)(xxxy .)()(3332

3、020 xxxxx )1()2(,很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x y ),()2(xox 的高階無(wú)窮小的高階無(wú)窮小是是既容易計(jì)算又是較好的近似值既容易計(jì)算又是較好的近似值. y 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量.320 xx 5定義定義,)(在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfy 2. 微分的定義微分的定義,00在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及xxx )()(00 xfxxfy如果如果),(無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立xA 0)(xxfy在點(diǎn)在點(diǎn) 則稱函數(shù)則稱函數(shù)xA 0dxxy 相相應(yīng)應(yīng)于于自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn)0)(xxfy .d0 xAyxx 即即可微可微(differentiabl

4、e),A為微分系數(shù)為微分系數(shù)),(d0 xf或或記作記作微分微分(differential),并稱并稱為函數(shù)為函數(shù)的的增量增量 x ()Axox 6由定義知由定義知: :;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的增增量量 xdy ;)()2(高階無(wú)窮小高階無(wú)窮小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小與與時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)ydyA dyy xAxo )(1).0(1x;)(,)4(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA ).(,)5(線線性性主主部部很很小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)dyyx ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )7可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理定理證證

5、 (1) 必要性必要性,)(0可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)xxf),( xoxAy .A ,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)即即函函數(shù)數(shù)xxf3. 可微的充分必要條件可微的充分必要條件)(xf函函數(shù)數(shù).)(d0 xxfy 即有即有).(0 xfA 且且,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x),(0 xfA 且且 滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？滿足什么條件的函數(shù)是可微的呢？ 微分的系數(shù)微分的系數(shù)A如何確定呢如何確定呢? 微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢微分與導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系呢?下面的定理回答了這些問(wèn)題下面的定理回答了這些問(wèn)題. xyxxoA )(0lim x 0lim x8(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy ,)(0 xfxy即即,)

6、(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf),(lim00 xfxyx ),()(0 xoxxf ,)(0可可微微在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf.可微可微可導(dǎo)可導(dǎo).)(d0 xxfy 從而從而.)(0Axf 且且其微分一定是其微分一定是可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)0)(xxf定理定理)(xf函函數(shù)數(shù)即有即有,0處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)x),(0 xfA 且且.)(d0 xxfy (0,0)x 9有關(guān)有關(guān)和和與與xx xx 的的增增量量通通常常把把自自變變量量)2(xxfyd)(d )(ddxfxy 導(dǎo)數(shù)稱為微商導(dǎo)數(shù)稱為微商),(ddxfy或或 稱為函數(shù)稱為函數(shù)的微分的微分, 記作記作.)(dxxfy 即即稱為自變量的

7、稱為自變量的微分微分,記作記作,dx.dxx 即即注注,)()1(的微分的微分在任意點(diǎn)在任意點(diǎn)函數(shù)函數(shù)xxfy 10例例解解,d)2(,d)1(,23 xyyxy求求23xy 02. 02d)3( xxy .24. 0 02. 02202. 023d)3( xxxxxxy 3(1) d()yxdx23x dx222(2) d3xxyxdx12dxdxx23 dx12 11幾何意義幾何意義y 當(dāng)當(dāng),很小時(shí)很小時(shí)當(dāng)當(dāng) x ( (如圖如圖) )ydxxfyd)(d0 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義P107對(duì)應(yīng)的增量對(duì)應(yīng)的增量,.MNMP可近似代替曲線段可近似代替曲線段切線段切線段增量時(shí)增量時(shí);

8、是曲線的縱坐標(biāo)是曲線的縱坐標(biāo),的附近的附近在點(diǎn)在點(diǎn)M就是就是切線切線縱坐標(biāo)縱坐標(biāo)x tanPQ yd xyO)(xfy T0 xM xx 0N PQy yd)( xo x 12xxfyd)(d 求法求法1. 基本微分公式基本微分公式(P105)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221 三、微分公式與運(yùn)算法則三、微分公式與運(yùn)算法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分乘以自變量的微分.13xxxxxxxxxxxxxxxxaxx

9、xeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d2222 2. 運(yùn)算法則運(yùn)算法則2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu ),),(),(Rxvvxuu 14例例解解.d),ln(2yexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .d21d22xexxeyxx 例例解解.d,cos31yxeyx求求設(shè)設(shè) )(dcosd31xexy,3)(3131xxee xxexexyxxd)sin(d)3(cosd3131 .d)sincos3(31xxxex .

10、sin)(cosxx )(cosd31xex vuuvuvdd)(d 15;d)(d,)1(xxfyx 是自變量時(shí)是自變量時(shí)若若的可微的可微即另一變量即另一變量是中間變量時(shí)是中間變量時(shí)若若tx,)2(),()(xfxfy 有導(dǎo)數(shù)有導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ydxd.d)(dxxfy 結(jié)論結(jié)論)(xfy 微分形式的不變性微分形式的不變性xxfyd)(d 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法復(fù)合函數(shù)的微分法此結(jié)論用于求復(fù)合此結(jié)論用于求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),有時(shí)有時(shí)能簡(jiǎn)化運(yùn)算能簡(jiǎn)化運(yùn)算.無(wú)論無(wú)論x 是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量, 函數(shù)函數(shù)的微分形式總是的微分形式總是則則函數(shù)函數(shù)),(tx )(xf )(t

11、 td16例例.d,2yeybxax求求設(shè)設(shè) 解解 法一法一 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 xeybxaxd)(d22bxaxe 法二法二 用微分形式不變性用微分形式不變性,uey ueyud)(d ueud2bxaxe 2bxaxe .2bxaxu 在計(jì)算中也可以不寫中間變量在計(jì)算中也可以不寫中間變量,直接利用直接利用微分形式不變性微分形式不變性.d)(2bxax xbxad)2( xbxad)2( 17例例)2arctan(dxx例例解解.d,lnyxy求求設(shè)設(shè) )(lndx xxxdln1 x1ln d)(ln xx2arctan )2(arctandx xxd2arctan)2

12、(d)2(112xxx xxxxd)2(122arctan2 xd x18例例解解在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號(hào)中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立使等式成立.dd()cost t dd(sin)cos,tt t ttdcos .dcos)sin1(dttCt );sin1(dt )(sind1t 19例例解解.d122yxyyx求求設(shè)設(shè) yx d20)(d22 xyyx.d22d22xxyxyxyy xxyd2 xy d2yxyd20 20四、函數(shù)的局部線性化四、函數(shù)的局部線性化000()()()( ).xyf xfxxxyf x 很很小小時(shí)時(shí)，可可用用切切線線段段近近似似

13、代代替替曲曲線線段段由幾何意義，由幾何意義，.)()()(00 xxfxfxf 即用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù)即用線性函數(shù)近似代替非線性函數(shù)21;)(. 10附近的近似值附近的近似值在點(diǎn)在點(diǎn)求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf .)()()(000 xxfxfxxf )(很小時(shí)很小時(shí)x 220360cos0 故故例例.0360cos0的的近近似似值值計(jì)計(jì)算算 解解,cos)(xxf 設(shè)設(shè))( ,sin)(為為弧弧度度xxxf ,30 x令令.,)()(00要很小要很小要容易算要容易算與與xxfxf 360 x)3603cos( xxfxfxxf )()()(0003603

14、sin3cos 3602321 .4924. 0 )3603cos(0360cos0 36030)(cos xxxx 30cos xx23常用的幾個(gè)一次近似式常用的幾個(gè)一次近似式)|(|很小時(shí)很小時(shí)x20.( )f xx 求求在在點(diǎn)點(diǎn)附附近近的的近近似似值值.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf , 00 x令令. xx );(sin)2(為弧度為弧度xxx );(tan)3(為弧度為弧度xxx ;1)4(xex .)1ln()5(xx 1(1) 11;nxxn24常用近似公式常用近似公式)(很小時(shí)很小時(shí)x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin

15、)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 為弧度為弧度為弧度為弧度證明證明,1)()1(nxxf 設(shè)設(shè)只證只證,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 25例例.計(jì)計(jì)算算下下列列各各數(shù)數(shù)的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e35 .99830015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 0 e.97. 0 xex 103. 01 (1)35 . 11000 (2)(很小時(shí)很小時(shí)x)10005 . 11(1000 31(1) 11;nxxn26五、高階微分五、高階微分( ):(

16、 )yf xdyfx dx2()( )( )( )( )()d dyd fx dxd fxdxfx dx dxdxfxxdx 與 無(wú)關(guān)2222()()(d yfx dd dydxxydxd二階微分: 記作記作1( )nnnnd yd dyfdxn階微分: ( )nnnd yfdx高階微分高階微分27高階微分沒(méi)有微分形式不變性( )( )( ),( )yf uuxdyf u dudux dx 22( )( )( ) ()( )( )d yd f u dud f uduf u d duffu duf u d uudux 都跟 有關(guān)20d u一般：22( )d yfu du28六、微分的實(shí)際意義六、

17、微分的實(shí)際意義時(shí)間的微分時(shí)間的微分速度速度路程的微分路程的微分 dttvds)()1()()2(2dxxdxrdV厚度厚度的微分的微分高度高度截面積截面積體積的微分體積的微分 時(shí)間的微分時(shí)間的微分功率功率功的微分功的微分 dttpdW)()3(29面積的微分面積的微分dxxfdS)()4( 弧長(zhǎng)的微分弧長(zhǎng)的微分22)()()5(dydxds 22( )( )( )( )( )xx tdsv tx ty tyy tdt20222()()dtdsdxdydsdxdydtdtdt或30微分概念微分概念 微分的基本思想微分的基本思想微分的幾何意義微分的幾何意義微分公式與運(yùn)算法則微分公式與運(yùn)算法則六、小結(jié)六、小結(jié)導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系可微可微可導(dǎo)