空間直線的一般方程

1、xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空間直線的一般方程空間直線的一般方程L一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程 注：表示同一直線的一般方程不唯一。注：表示同一直線的一般方程不唯一。第八節(jié)第八節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程確定空間直線的條件確定空間直線的條件 由兩個平面確定一條直線；由兩個平面確定一條直線； 由空間的兩點(diǎn)確定一條直線；由空間的兩點(diǎn)確定一條直線； 由空間的一點(diǎn)和一個方向來確定一條直線。由空間的一點(diǎn)和一個方向來確定一條直線

2、。xyzo方向向量的定義：方向向量的定義：sL,),(0000LzyxM 設(shè)設(shè)定定點(diǎn)點(diǎn)0M M ,),(LzyxM sMM0/,pnms ,0000zzyyxxMM 二、空間直線的參數(shù)方程與對稱式方程二、空間直線的參數(shù)方程與對稱式方程 如果一非零向量如果一非零向量 平行于平行于一條已知直線一條已知直線L L，向量，向量 稱為稱為直線直線L L的的方向向量方向向量ss,000pnmtzzyyxx 則則整理發(fā)布整理發(fā)布直線的對稱式方程直線的對稱式方程pzznyymxx000 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向向量的余弦稱為直線的方向余弦方向余

3、弦.直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程消去參數(shù)消去參數(shù)t，有，有注：注：1. 表示同一直線的對稱方程不唯一；表示同一直線的對稱方程不唯一； 2. 對稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程對稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程 ; 4. 任一條直線均可表示為對稱式方程任一條直線均可表示為對稱式方程.),(),(222111zyxNzyxM直直線線過過直直線線的的兩兩點(diǎn)點(diǎn)式式方方程程：設(shè)設(shè) 121212,zzyyxxs 則則121121121zzzzyyyyxxxx 直直線線方方程程為為：pzznyyxx0000. 3 .,000pzznyyxx理解為理解為:例例1 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直

4、線.043201 zyxzyx解解在直線上任取一點(diǎn)在直線上任取一點(diǎn)),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)),2, 0 , 1( 因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 對稱式方程對稱式方程,321041 zyx參數(shù)方程參數(shù)方程.3241 tztytx例例 2 2 一一直直線線過過點(diǎn)點(diǎn))4 , 3, 2( A，且且和和y軸軸垂垂直直相相交交，求求其其方方程程.解解因因?yàn)闉橹敝本€線和和y軸軸垂垂直直相相交交, 所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為),0, 3, 0( B取取BAs ,4, 0, 2

5、 所求直線方程所求直線方程.440322 zyx定義定義直線直線:1L,111111pzznyymxx 直線直線:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（銳角）（銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角兩直線的位置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直線直線:1L直線直線:2L,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 021 ss,21ss

6、 例如，例如，.21LL 即即例例 4 4 一一直直線線 L 過過點(diǎn)點(diǎn)(-3,2,5)，且且和和直直線線 15234zyxzx平平行行，求求其其方方程程. 解解 所求直線方程所求直線方程.153243 zyx1 , 3 , 451240121 kjinns方法方法2:設(shè)設(shè),pnms 13405204,21pnmpnmpmnsns 1 , 3 , 4 s取取例例5 5 一直線過點(diǎn)一直線過點(diǎn)M0(2,1,3)， 且與直線， 且與直線L: 12131 zyx垂垂直相交，求其方程直相交，求其方程. 取取4 , 1, 210 MkMs所求直線方程所求直線方程.431122 zyx解解設(shè)所求直線為設(shè)所求直

7、線為l , 先求兩直線的交點(diǎn)。先求兩直線的交點(diǎn)。LlM1M0過點(diǎn)過點(diǎn)M0做平面垂直于直線做平面垂直于直線L：3x+2y-z=5代代入入平平面面方方程程的的參參數(shù)數(shù)方方程程： tztytxL2131所以交點(diǎn)為所以交點(diǎn)為 M1(2/7, 13/7, -3/7)定義定義直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角 ,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx,pnms ,CBAn 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 0.2 222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與

8、平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm .cos 2 cossin2 例例 6 6 設(shè)直線設(shè)直線:L21121 zyx，平面，平面: 32 zyx，求直線與平面的夾角，求直線與平面的夾角. 解解,2, 1, 1 n,2, 1, 2 s222222|sinpnmCBACpBnAm 96|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角稱稱為為平平面面束束。全全部部平平面面組組成成的的平平面面族族定定義義：通通過過一一條條直直線線的的 0022221111DzCyBxADzCyBxAL：0)()(

9、2222211111 DzCyBxADzCyBxAL 束束為為的的全全部部平平面面組組成成的的平平面面則則過過直直線線不同時為零。不同時為零。，21 0)()(22221111 DzCyBxADzCyBxAL 的的面面束束為為則則過過直直線線五、平面束五、平面束例例7 7解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其其法法向向量量.8, 4, 1 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量由題設(shè)知由

10、題設(shè)知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx例例8 8解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都都相相交交的的直直線線且且與與兩兩直直線線求求過過點(diǎn)點(diǎn) 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為 1243:,12:21tztytxLtztytxL的的交交點(diǎn)點(diǎn)分分別別為為與與設(shè)設(shè)所所求求直直線線21, LLL).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線與與BAM).(00為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)故故 BMAM 即有即有,00對對應(yīng)應(yīng)坐坐標(biāo)標(biāo)成成比比例例于于是是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt, 0, 021 tt解之得解之得