2022年7第七章習(xí)題及答案

1、習(xí)題 7 1.一工廠利用三種原料能生產(chǎn)五種產(chǎn)品，其有關(guān)數(shù)據(jù)如下表：每萬件產(chǎn)品所用原料數(shù)（kg）產(chǎn)品現(xiàn)在原料數(shù)（kg）a b c d e 原料甲乙丙1 1 1 2 0 2 1 1 2 0 3 2 1 2 2 10 24 21 每萬件產(chǎn)品利潤（萬元）8 20 10 20 21 (1)求最優(yōu)生產(chǎn)計劃. (2)對目標(biāo)函數(shù)系數(shù)c1、c4分別作靈敏度分析. (3)對約束條件的常數(shù)項(xiàng)b1、b2分別作靈敏度分析. (4)如果引進(jìn)新產(chǎn)品f，已知生產(chǎn)f1 萬件要用原材料甲、乙、丙分別為1、2、1 公斤，問f 的利潤多少時才有利于投產(chǎn)？如果每萬件f 可得到利潤12 萬元，問f 是否有利于投產(chǎn)？(5)如果新增加煤耗不

2、允許超過10 噸的限制，而生產(chǎn)每萬件a、b、c、d、e 產(chǎn)品分別需要煤3、2、1、2、1 噸，問原最優(yōu)方案是否需要改變？如果改變，應(yīng)如何改變？解：設(shè)用54321,xxxxx分別表示計劃生產(chǎn)產(chǎn)品a、b、c、d、e 的單位數(shù)量（萬件）模型為：54321212010208maxxxxxxf0,2122222423102.543215432154315321xxxxxxxxxxxxxxxxxxts標(biāo)準(zhǔn)形：54321212010208minxxxxxff0,2122222423102.876543218543217543165321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts(1)基),(876

3、aaab對應(yīng)的初始單純形表. 1x2x3x4x5x6x7x8xf8 20 10 20 21 0 0 0 0 6x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1 0 1 3 2 0 1 0 24 8x1 2 2 2 2 0 0 1 21 換基迭代1x2x3x4x5x6x7x8x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -f-2 0 0 20 11 -10

4、 0 0 -100 2x1/2 1 1/2 0 1/2 1/2 0 0 5 7x1 0 1 3 2 0 1 0 24 8x0 0 1 2 1 -1 0 1 11 繼續(xù)1x2x3x4x5x6x7x8xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 1/2 所以tx)10,21,0,0 ,0(,220f即 d 生產(chǎn) 1/2 萬件， e 生產(chǎn) 10 萬件，獲得最大利潤220 萬元 . (2)對 c1作靈敏度分析記811cc則186321101

5、123220 xxxxxxf（由最優(yōu)基對應(yīng)）任以),(475aaab為最優(yōu)基1x2x3x4x5x6x7x8xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 1/2 若要原最優(yōu)解不變，應(yīng)滿足條件：03，3則1x的價值系數(shù)1101c時，最優(yōu)解最優(yōu)值不變. 對 c4作同樣的靈敏度分析任以),(475aaab為最優(yōu)基1x2x3x4x5x6x7x8xf2-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10-2-220-25x1 2 1 0 1 1 0 0

6、 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 1/2 若要原最優(yōu)解不變，應(yīng)1202100102023，所以2104c，最優(yōu)值變?yōu)?220. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -(3) 對 b1作靈敏度分析設(shè)111110bbbb最優(yōu)基202312001),(475aaab，則

7、新的基解bbbbxb11所以111212510bbbxb令0bx得到2125-1b，即2212151b時，最優(yōu)基不變。對 b4作靈敏度分析可以得到25-2b，即2431b時，最優(yōu)基不變。(4) 設(shè)生產(chǎn)新產(chǎn)品f9x萬件，每單位的利潤為9c萬元9954321212010208minxcxxxxxff0,21222224223102.9876543218954321795431695321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts原最優(yōu)解tx)0,25,0 ,10,21,0 ,0,0(是該問題的一個可行解。任取),(475aaab為基，91000212010208112222112

8、31111212101231100120021ccabcb=1110010011239c所以119c時， b 不是最優(yōu)基，9x可取非 0 值，從而安排生產(chǎn)f 有利。129c精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -2123112121123111919abp檢驗(yàn)數(shù)為：10002120102081cabcb1x2x3x4x5x6x7x8x9xf-3

9、-2 -11 0 0 -1 0 -10 1 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 1 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 3/2 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 -1/2 1/2 變?yōu)?x2x3x4x5x6x7x8x9xf310343310 0 3532-9 0 352205x3238350 1 31321 0 3257x3132320 0 3232-1 1 354x3134311 0 32310 0 34tx3500032534000即每萬件f 可得利潤12 萬元時，應(yīng)生產(chǎn)d 為34萬件， e 為325萬件， f 為35萬件。(5) 新增

10、約束條件1022354321xxxxx標(biāo)準(zhǔn)形54321212010208minxxxxxff0,10223)1(2122222423102.919543218543217543165321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxts將（ 1）添入原最優(yōu)基),(475aaab對應(yīng)的單純形表精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -1x2x3x

11、4x5x6x7x8x9xf-3 -2 -11 0 0 -1 0 -10 0 -220 5x1 2 1 0 1 1 0 0 0 10 7x1/2 -1 -1 0 0 1 1 -3/2 0 5/2 4x-1/2 -1 0 1 0 -1 0 1/2 0 1/2 9x3 2 1 2 1 0 0 0 1 10 ),(9475*aaaab為對偶可行基對偶單純形法1x2x3x4x5x6x7x8x9xf-33 -22 -11 0 0 -11 0 0 -10 -210 5x1 2 1 0 1 1 0 0 0 10 7x-4 -4 -1 0 0 -1/2 1 0 -3/2 4 4x1 0 0 1 0 -1/2 0

12、 0 1/2 0 8x-3 -2 0 0 0 -1 0 1 -1 1 所以最優(yōu)解tx0140100000，即改變?yōu)橹簧a(chǎn)e 為 10 萬件。3.求解下列線性規(guī)劃問題的對偶問題：（2）432132minxxxxf（3）43214323minxxxxf0,332432142.2131432421xxxxxxxxxxts無約束324143214324321,0, 0247325433432.xxxxxxxxxxxxxxxts解(1)對偶問題：32132maxyyyg0, 0,3441331222.32121322131yyyyyyyyyyyts無約束精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - -

13、 - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -(2)對偶問題：321253maxyyyg, ,0,04444373322232.32132132132131無約束yyyyyyyyyyyyyyts3.判斷下列說法是否正確，為什么？（1）如果線性規(guī)劃的原問題存在可行解，則其對偶問題也一定存在可行解. （2）如果線性規(guī)劃的對偶問題無可行解，則其原問題也一定無可行解. （3）如果線性規(guī)劃的原問題和對偶問題都具

14、有可行解，則其原問題和對偶問題一定具有有限最優(yōu)解 . （4）已知線性規(guī)劃問題0,maxxbaxcxf，若 x 是它的一個基解，y 是其對偶問題的基解，則恒有ybcx. 解：1.。如原問題是無界解，則對偶問題無可行解。p167 th3。2.。 （1）的逆否命題。3.。 p167 thm44.。原問題對偶問題若yx,為可行解cxfmaxybgmin則有byxayxc0.xbaxts0.ycyats但若yx,為基解，則不一定6.已知線性規(guī)劃問題,23min21xxf0,3142342.21212121xxxxxxxxts精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

15、- - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -（1）寫出它的對偶問題；（2）應(yīng)用對偶理論證明原問題和對偶問題都存在最優(yōu)解. 解：對偶問題3213144maxyyyg0,22233.321321321yyyyyyyyyts（1）原問題顯然有可行解tx21,0對偶問題可行解ty1,0,0則由 thm4 （p167）得原問題和對偶問題都有最優(yōu)解8.某文具用品廠用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習(xí)本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100 人，每月

16、白坯紙供應(yīng)量為3 萬公斤。已知工人的勞動生產(chǎn)率為：每人每月可生產(chǎn)原稿紙30 捆，或生產(chǎn)日記本30 打，或練習(xí)本30 箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙310公斤，每打日記本用白坯紙340公斤，每箱練習(xí)本用白坯紙380公斤。 又知每生產(chǎn)一捆原稿紙可獲利潤2 元，生產(chǎn)一打日記本獲利3 元，生產(chǎn)一箱練習(xí)本獲利1 元，試確定：（ 1）現(xiàn)有生產(chǎn)條件下獲利最大的方案；（ 2）如白坯紙的供應(yīng)數(shù)量不變，當(dāng)工人數(shù)不足時可招收臨時工，臨時工工資支出為每人每月40 元，則該工廠要不要招收臨時工，招收多少臨時工合適？解：設(shè)每月生產(chǎn)原稿紙1x捆，日記本2x打，練習(xí)本3x箱標(biāo)準(zhǔn)形32132minxxxf0,3000

17、0538034031030004.51321321xxxxxxxxxxts以54aab為基的初始單純形表0 2 3 1 0 0 3000 1 1 1 1 0 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -30000 3103403800 1 變?yōu)?9000 -1 0 -2 -3 0 3000 -10000 1 1 1 1 0 -10 0 3403401

18、 對偶單純形法-8000 0 0 310351012000 1000 0 1 373110111 0 3434101所以最優(yōu)解為tx020001000，最優(yōu)值8000f，最優(yōu)基)(12aab原問題的對偶問題的最優(yōu)解101,35y對偶問題2130000100minyyg0, ,138030133403012310301.21212121yyyyyyyyts其最優(yōu)解為101,50y，則臨時工的影子價格為50 元/月市場價 40 元/月所以應(yīng)招收臨時工。對 b1作靈敏度分析11bb10200040100010402000100001011010140200010001bbxb精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 9 頁 - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f -