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文檔簡介
1、2012年12月23日南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系1第第3章章 一元函數(shù)積分學及其應用一元函數(shù)積分學及其應用第第1節(jié)節(jié) 定積分的概念,存在條件與性質定積分的概念,存在條件與性質第第2節(jié)節(jié) 微積分基本公式與基本定理微積分基本公式與基本定理第第3節(jié)節(jié) 兩種基本積分法兩種基本積分法第第4節(jié)節(jié) 定積分的應用定積分的應用第第5節(jié)節(jié) 反常積分反常積分第第6節(jié)節(jié) 幾類簡單的微分方程幾類簡單的微分方程2第第1 1節(jié)節(jié) 定積分的概念,存在條件與性質定積分的概念,存在條件與性質1.1 1.1 定積分問題舉例定積分問題舉例1.2 1.2 定積分定義定積分定義1.3 1.3 定積分存在條件定積分存在條件1.4 1
2、.4 定積分的性質定積分的性質2012年12月19日南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系31.3 1.3 定積分存在條件定積分存在條件1.1 , a b(可積的必要條件)(可積的必要條件) 區(qū)間上的可積函數(shù)一區(qū)間上的可積函數(shù)一定理定理定有界.定有界.注意注意 有界函數(shù)未必一定可積。有界函數(shù)未必一定可積。例如:例如:Dirichlet函數(shù)函數(shù)401:.,naxxxb稱為稱為 f 關于分割關于分割 的的DarbouxDarboux大和大和, ,1( )niiiSMx 稱為稱為 f 關于分割關于分割 的的Darboux小和小和,1( )niiismx 1inf( )|, ,1, 2,;iiimf xxx
3、xin , ,fa b設在上有界設在上有界對任意分割對任意分割定義定義1(1, 2,),iiiiiMminfxx 稱稱為為在在上上的的.振幅振幅其中其中1sup( )|, ,1, 2,;iiiMf xxxxin 1( , ):nkkkSfx 積分和積分和5大和的幾何意義大和的幾何意義:曲邊梯形曲邊梯形“外接外接”矩矩形形小和的幾何意義小和的幾何意義:曲邊梯形曲邊梯形“內接內接”矩矩形形面積之和面積之和.面積之和面積之和.xyOab( )yf xxyO( )yf xab6( )( , )( )sSS (1)(1)相應相應于于 的所有的積分和與達布和滿足的所有的積分和與達布和滿足不等式不等式下,達
4、布和下,達布和 ( )s( )Sk( , )S(2)(2)在固定的分法在固定的分法 是常數(shù),是常數(shù),此時由于此時由于 的選取的任意性,的選取的任意性, 積分和積分和 卻是變化的,卻是變化的,注意:7觀察下列演示過程,注意當分割加細時,觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系8觀察下列演示過程,注意當分割加細時,觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系9觀察下列演示過程,注意當分割加細時,觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系1
5、0觀察下列演示過程,注意當分割加細時,觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系11觀察下列演示過程,注意當分割加細時,觀察下列演示過程,注意當分割加細時,矩形面積和與曲邊梯形面積的關系矩形面積和與曲邊梯形面積的關系121nkkkx 0, 0, ( ),d 01lim0nkkdkx 在區(qū)間在區(qū)間 ( )f x, a b定理定理1.2 函數(shù)函數(shù) 上可積的充上可積的充分必要條件為分必要條件為 01lim0nkkdkx 定理定理1.2(可積的充要條件)(可積的充要條件)( )f x, a b 0lim 0 dSs有界函數(shù)有界函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上
6、可積上可積11( )( )()nnkkkkkkkSsMmxx 13由大和與小和的幾何意義知道,定由大和與小和的幾何意義知道,定幾何意義 幾何意義 理1.2理1.2的一系列小矩形面積之和可以達到任意小, 只要的一系列小矩形面積之和可以達到任意小, 只要 , a b 對的分割足夠地細.對的分割足夠地細.( )yf x的幾何意義為: 下圖中包圍曲線的幾何意義為: 下圖中包圍曲線Oxabyiix ( )yf x1411.nniiiiixxba 每個每個abi ,從而,從而第一種方法第一種方法: :.1 niiix 證明可積性問題時證明可積性問題時, ,通常有三種方法可使通常有三種方法可使1,niiM
7、若若有有界界 即即對對任任意意分分割割第二種方法第二種方法: :11.nniiiiixdMM ,dM 則則當當時時1,niiM 第三種方法:前兩種的綜合!第三種方法:前兩種的綜合!= 取取15,iix 在在中中iix 而而在在中中,,)(2abi ,)(2mMxi ,iiiiiixxx若若第三種方法第三種方法: : , ,Mmfa b其中是在上的振幅 從而其中是在上的振幅 從而,1,2, .iMm in 于是于是 iiiiiixxx )()(2)()(2mMmMabab . 16( ),f xC a b( ),f xa b定理定理1.3 如果函數(shù)如果函數(shù) 則則 證證 根據(jù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質
8、,根據(jù)在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質, ( )f x, a b0 必在必在上一致連續(xù),即上一致連續(xù),即 0 , , x xa b xx ,只要,只要 ,有,有()()f xf xba 的任意分法的任意分法 , a b( )d 1( ),kkf xC xx1,kkxx ()kkmf()kkMf對于對于,只要,只要 ,注意,注意使得使得,從而有,從而有 kkkkkbMmaff 1,2,kn11nnkkkkkxxba 所以所以17單調,則單調,則 ( )f x, a b( ),f xa b定理定理1.5 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 f af b ,f xf af bC a b證證 不妨設不妨設 單調增加
9、。若單調增加。若 ,則,則從而由定理從而由定理1.3, ( ),;f xa b( )f x18單調,則單調,則 ( )f x, a b( ),f xa b定理定理1.5 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 0 ( )( )f bf a 取取 f af b 若若 ( )d 有有111 ()() ( )( )nnkkkkkkxf xf xf bf a證證則對任意分割則對任意分割1()(),1,2, ,iiif xf xin 于是于是 111()()( )( ).nniiiiif xf xf bf a 19定理定理1.4 如果函數(shù)如果函數(shù) f x在區(qū)間在區(qū)間 , a b上有界上有界 并且除去有限個間斷點外處處連續(xù)并且除去有限個間斷點外處處連續(xù) ( ),f xa b則則200, 取滿足取滿足0().2()baMm 只有一個間斷點只有一個間斷點, ,且為且為 b. .證證 不妨設不妨設 , fa b在上在上., ,fbb界 設在上的
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