2022年其他不等式的解法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載課題：其他不等式的解法教學(xué)目標(biāo)： 1、把握簡(jiǎn)潔的分式不等式、肯定值不等式的解法；2、能對(duì)簡(jiǎn)潔的肯定值不等式給出幾何說明，并結(jié)合圖形解決簡(jiǎn)潔的肯定值不等式；3、介紹簡(jiǎn)潔的高次不等式的解法；4、體會(huì)化歸、等價(jià)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)重點(diǎn)：簡(jiǎn)潔的分式不等式、肯定值不等式的解法.教學(xué)難點(diǎn)：不等式的同解變形.教學(xué)過程：一、分式不等式的解法1、引入某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運(yùn)行中的自動(dòng)扶梯上樓（樓梯和自動(dòng)扶梯長(zhǎng)度相同） ，假如甲的上樓速度是乙的2 倍，他倆同時(shí)上樓，且甲比乙早到樓上， 問甲的速度至少是自動(dòng)扶梯運(yùn)行速度的幾倍；設(shè)樓梯的長(zhǎng)度為 s,甲的速度為 v,自動(dòng)扶梯的運(yùn)

2、行速度為v0 ,于是甲上樓所需時(shí)間為svs，乙上樓所需時(shí)間為v.v 0 + 2由題意，得 s2v<s. v 0 + v整理的 1v2<2 v 0 + v .由于此處速度為正值，因此上式可化為2v0+v<2v ，即 v>2v 0；所以，甲的速度應(yīng)大于自動(dòng)扶梯運(yùn)行速度的2 倍.2、分式不等式的解法例 1 解不等式： x + 13 x - 2>2.解：（化分式不等式為一元一次不等式組）x + 13 x - 2>2x - 1 < 0x + 13 x - 2 -2>0x - 1 > 0- 5 x - 1 3 x - 2>0x < 1x -

3、 13 x - 2 <0x > 13 x - 2 > 0 或3 x - 2 < 02 或x > 32x <323 <x<1 或 x 存在所以，原不等式的解集為232,1 ，即解集為 3,1；另解：（利用兩數(shù)的商與積同號(hào)ab>0ab>0,a b<0ab<0 化為一元二次不等式）x + 13 x - 2>2x + 13 x - 2 -2>02- 5 x - 1 3 x - 2>0x - 13 x - 2 <03x2x 1<03 <x<1 ，所以，原不等式的解集為23,1.由例 1 我們

4、可以得到分式不等式的求解通法：（ 1）不要輕易去分母，可以移項(xiàng)通分，使得不等號(hào)的右邊為零.（ 2）利用兩數(shù)的商與積同號(hào)，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類：（ 1） f x g x （ 2） f x g x 說明 >0<0fxgx>0<0 ；f x g x 0 0 0（ 0）g x 0解不等式中的每一步往往要求“等價(jià) ”，即同解變形，否就所得的解集或“增”或“漏”由.于不等式的解集常為無限集，所以很難像解無理方程那樣，對(duì)解進(jìn)行檢驗(yàn)，因此同解變形就顯得尤為重要；例：解不等式x123 x2x1解：由3x2x12 得3x220 ，即5 x503x2由于兩個(gè)數(shù)的

5、商與積同號(hào)，所以（-5x+5 ） 3x-2<0即 5x-13x-2<02x13所以原不等式的解集為 2 ,13一般地，解形如 axbk 的分式不等式的一般解法是：先移項(xiàng)通分，轉(zhuǎn)化為解形如cxda' xb'cxd0 的分式不等式，然后再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為解一元二次不等式；例、解不等式 x 2x + 8+ 2 x + 3<2.解：由 x 2x + 8+ 2 x + 3<2.得x820x 22x3整理得2x 2x 23x202x3由于一元二次方程x 22x30 的根的判別式=-8<0 ，因此對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，分母 x22x3 的值都大于零；于是原不等式與不等式2

6、x 23x20 的解集相同；解不等式2x 23x20 ，得 x2或x1 ，2所以原不等式的解集為, 2 1 , ；2例、當(dāng) m 為何值時(shí)，關(guān)于 x 的方程 mx-1=3x+2 的解是正數(shù)？ m 為何值時(shí)，方程的解是負(fù)數(shù)？解：原方程可以化為（m-3） x=m+6假如 m=3,原方程無解假如 m3,那么原方程的解是xm6m3（ 1）方程的解是正數(shù)，即m60m3解集為 ,63,m6（ 2）方程的解是負(fù)數(shù)，即0m3解集為（ -6， 3）當(dāng) m,63, 時(shí)，原方程的解是正數(shù)； 當(dāng) m（ -6， 3）時(shí)，原方程的解是負(fù)數(shù)；練習(xí) p402.31二、含肯定值的不等式的解法1、復(fù)習(xí)肯定值概念的幾何意義.|x|=

7、x x00 x0xx0它表示實(shí)數(shù) x 在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；因此，求不等式xa, a0 的解集就是求在數(shù)軸上到原點(diǎn)的距離小于a 的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù) x 的集合；2、設(shè) a,b r+，且 a<b，求以下不等式的解集.（ 1） |x|>a.（ 2） |x|<b.（ 3） a<|x|<b.（ 4） |fx|<gx 5|fx|>gx我們可以獲得含肯定值的不等式的如下重要結(jié)論：設(shè) 0<a<b，就（ 1） |x|>ax<-a 或 x>a.（ 2） |x|<b-b<x<b.（ 3） a<|x|<b-

8、b<x<-a 或 a<x<b.上述結(jié)論的幾何意義是比較明顯的.說明 以上結(jié)論對(duì)于 a,b r 均成立，即（ 1） x|x|>a,a r=x|x<-a或 x>a,x r（ 2） x|x|<b,b r=x|-b<x<b,br三、例題應(yīng)用例 1、解不等式 |2x-3|<5解： -5<2x-3<5-2<2x<8-1<x<4原不等式的解集是（ -1， 4）例2、解不等式 | x23 x |>4解： x23x4 或 x23 x4x23x40 或x23x40.（ x-4 ） x+1>0 或324

9、491670x>4 或 x<-1 或不等式無解原不等式的解集是,14,小結(jié)：1、形如 |fx|<aa>0 的解法，先轉(zhuǎn)化為-a<fx<a, 然后求他們的解集2、形如 |fx|>aa>0 的解法，先轉(zhuǎn)化為fx>a 或 fx<-a, 然后求他們的解集的并集；例 3、解不等式13| 2 x解：原不等式可化為3 | 2x3 |132x302x31 or 2x31即332x30解得 x54，或x33或 x>3322原不等式的解集是,5 4 ,3 3 ,3322例4、解不等式 |2x-1|-x<|x+3|+1分析： 要去掉第一個(gè)肯定值

10、的符號(hào)需爭(zhēng)論x< 1 與 x21兩種情形； 要去掉其次個(gè)肯定2值的符號(hào)需爭(zhēng)論x<-3與 x3 兩種情形；這樣，要同時(shí)去掉兩個(gè)肯定值的符號(hào)，需分x3,3x1 , x1 這三種情形加以爭(zhēng)論；22解：當(dāng) x<-3 時(shí)， 1-2x-x<-x-3+1x> 3 這與 x<-3 沖突，原不等式無解2當(dāng)3x1時(shí),1-2x-x<x+3+123x>-43-41<x<21當(dāng) x時(shí)， 2x-1-x<x+3+12即-1<4.當(dāng) x1時(shí)，原不等式成立23原不等式的解集是x|x>-4例5、解不等式 |x+1|>|x-3|解： |x+1|,|

11、x-3|均非負(fù)，兩邊平方，得 x12 x32x22x1x26x98x>8x>1原不等式的解集是x|x>1小結(jié) ;如|fx|<|gx| 或|fx|>gx| 的解法，可先轉(zhuǎn)化為f 2 xg 2 x或 f2 xg 2 x，然后求它們的解集；練習(xí) p42（ 1） |x1 + x|>x 1 + x.-1<x<0（ 2） |x2-3x|>4.x<1 或 x>4（ 3） x25|x|+6>0.x<-3 或2<x<2 或 x>3|（ 4） 2 x - 3x + 2|>1.x<-2 或2<x<

12、 1或 x>53（ 5） |x2|>2x+1 數(shù)形結(jié)合 x< 13（ 6） |3x1|<x+2 數(shù)形結(jié)合 - 12<x< 3 2（ 7） |x+1|+|x-2|>5. （分類爭(zhēng)論） （ x<-2 或 x>3 ）（ 8） |x+3|-|2x1|<x2+1x<- 27或 x>2四、高次不等式2例 1、解不等式 x3x20解法一：x 22x3x23x20x1或x2x22x301x31x1或 2x3x2或 x23x202 x301x2x1或x31x1或2x3解法二：（列表法）原不等式可化為 x1x2 x3 x10 列表x+1, 1

13、-（-1， 1）+（ 1， 2）+（ 2， 3）+3,+x-1-+x-2-+x-3-+x-1x-2x-3+-+-+x+1留意：按根的由小到大排列解三：（標(biāo)根法）作數(shù)軸；標(biāo)根；畫曲線，定解-2-101234小結(jié)：在某一區(qū)間內(nèi)，一個(gè)式子是大于0（仍是小于 0）取決于這個(gè)式子的各因式在此區(qū)間內(nèi)的符號(hào)；而區(qū)間的分界線就是各因式的根；上述的列表法和標(biāo)根法，幾乎可以使用在全部的高次不等式，其中最值得舉薦的是“標(biāo)根法”例 2、解不等式 x 33x22 x6解：原不等式化為 x3 x2 x20原不等式的解為x2或 3x2例 3、解不等式 x 24 x5 x 2x20解：x2x20 恒成立原不等式等價(jià)于x 24

14、x50 即-1< x<5例 4、解不等式 x2 2 x1 3 x1 x20解：原不等式等價(jià)于 x1 x1 x20 且 x2, x1原不等式的解為 x |1x2或 2x1或x2如原題目改為 x2 2 x1 3 x1 x20 呢？例 5、解不等式 x5 x2 x1 x480解：原不等式等價(jià)于 x 2x20 x2x2800即： x2x 222 x 2x1200 x2x12 x 2x100 x4x3 x141 x2141 02 4x1412或141x32例 6、解不等式16x1x1解：原不等式等價(jià)于 x5 x30x1原不等式的解為：3x1或x52x 22kxk例 7、k 為何值時(shí)，下式恒成

15、立：124x6x3解：原不等式可化為：22x64x 22k x3k 06x3而 4x26x30原不等式等價(jià)于2x 262k x3k 0由 62k 2423k 0 得 1< k<3例 8、解以下不等式 :2（ 1） xx 23x27x12 0；（ 2） xx 3x 1x 2 0x 23x2x1 x2解：（ 1） 2 00x7 x12x3 x4+_+_1_-_2_3_-_+_4_xx,12,3 4,（ 2） xx 3 x 1 x 2 0x1,02,3綜合應(yīng)用：1、 已知集合 a x x 23x20 ， b x mx24 xm10, mr ；如 ab，且 a b=a；求 m的取值范疇；解： a x x 23x20 = x x2或x1 ，a b又 ab b， ba ,b或b x2xa ； b x21x1 不合題意，舍去；又 b x mx24 xm10, mr ，b 等價(jià)于對(duì)一切xr , mx 24xm10 恒成立；m0164m m10m1172如 m=0, 就-4x-1>0 ，不合題意m 的取值范疇是 , 117 22 、設(shè)集合 a x x23, xr ， b x x 2px