R第5章角動(dòng)量(最后一次課)

1、1剛體角動(dòng)量定理剛體角動(dòng)量定理: :ddLMtdL同方向。同方向。M與與對(duì)對(duì)O點(diǎn)剛體受重力矩點(diǎn)剛體受重力矩cMrmgcr陀螺質(zhì)心的位置矢量，與自轉(zhuǎn)軸同向，與陀螺質(zhì)心的位置矢量，與自轉(zhuǎn)軸同向，與L平行，平行，t時(shí)間內(nèi)，時(shí)間內(nèi)，L的變化的變化LMtzrcsinMgm rcLzL sinM L角動(dòng)量角動(dòng)量L把自轉(zhuǎn)軸繞一豎直軸的這種轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為把自轉(zhuǎn)軸繞一豎直軸的這種轉(zhuǎn)動(dòng)，稱為旋進(jìn)旋進(jìn)或或進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)。,LcMrOOO重力矩不改變角動(dòng)量的大小，重力矩不改變角動(dòng)量的大小，只改變角動(dòng)量的方向。只改變角動(dòng)量的方向。LL5.6 剛體的剛體的進(jìn)動(dòng)進(jìn)動(dòng)頂端做一水平圓周運(yùn)動(dòng)，頂端做一水平圓周運(yùn)動(dòng)，ML2RF例例1. .均

2、勻圓柱體，在水平恒力均勻圓柱體，在水平恒力 作用下做純滾動(dòng)，下列說作用下做純滾動(dòng)，下列說法正確的是法正確的是( (A) )摩擦力一定不為零，摩擦力一定不為零，解：設(shè)靜摩擦力的方向如圖示解：設(shè)靜摩擦力的方向如圖示cFfma( (B) )摩擦力一定與摩擦力一定與 同向，同向，( (C) )摩擦力一定與摩擦力一定與 反向，反向， ( (D) )摩擦力的方向無法確定，摩擦力的方向無法確定，( (E) )摩擦力的大小一定等于摩擦力的大小一定等于 。xFFFFfcFxfRJ212camRR2cRma(2 )3F RxfR2Rx 0f 靜摩擦力的方向向后（與設(shè)定的方向一致）靜摩擦力的方向向后（與設(shè)定的方向一

3、致）2Rx 0f 靜摩擦力的方向向前（與設(shè)定的方向相反）靜摩擦力的方向向前（與設(shè)定的方向相反）2Rx 0f 3例例2. .勻質(zhì)圓柱體勻質(zhì)圓柱體m半徑半徑r，從質(zhì)心距地面高為，從質(zhì)心距地面高為h的滑道上靜止的滑道上靜止純滾動(dòng)純滾動(dòng)而下，進(jìn)入半徑而下，進(jìn)入半徑R的圓形滑道，的圓形滑道，問：此圓柱體能在圓形滑道內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)，問：此圓柱體能在圓形滑道內(nèi)完成圓周運(yùn)動(dòng)，h至少多大？至少多大？解：解：2211(2)22cmghmvJmgRrcvr圓柱體在圓柱體在p點(diǎn)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程Rh2rcvR rpcO圓柱體只作滾動(dòng)，故摩擦力不圓柱體只作滾動(dòng)，故摩擦力不作功作功。則圓柱體，彎形、圓形。則圓

4、柱體，彎形、圓形滑道及地球系統(tǒng)機(jī)械能守恒?；兰暗厍蛳到y(tǒng)機(jī)械能守恒。純滾動(dòng)純滾動(dòng)24(2)3cvg hRr2cnvFmgmRr圓柱體能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件是圓柱體能完成圓周運(yùn)動(dòng)的條件是0nF 2()cvg Rr11744hRr4LB例例3. .光滑水平面上質(zhì)量光滑水平面上質(zhì)量M的木塊的木塊靜止于靜止于A點(diǎn)點(diǎn)，木塊一端與原長(zhǎng)，木塊一端與原長(zhǎng) L0，勁度系數(shù)，勁度系數(shù)k 的輕彈簧相連，另一端固定于的輕彈簧相連，另一端固定于O點(diǎn)。點(diǎn)。 M0LAO求：木塊在求：木塊在B點(diǎn)速度點(diǎn)速度 vB 的大小和方向。的大小和方向。質(zhì)量質(zhì)量m的子彈以初速的子彈以初速v0 水平射向水平射向M并嵌在其中。當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到并嵌在

5、其中。當(dāng)木塊運(yùn)動(dòng)到 B點(diǎn)點(diǎn)(OB OA)時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為時(shí)，彈簧的長(zhǎng)度為 L L。 解解: :( (1) )m 和和M相撞，動(dòng)量守恒相撞，動(dòng)量守恒0()AmvmM v( (2) ) AB彈力作功，機(jī)械能守恒彈力作功，機(jī)械能守恒2220111()()()222ABmM vmM vk LL( (3) ) AB，彈力對(duì)，彈力對(duì)O點(diǎn)的力矩為零，對(duì)點(diǎn)的力矩為零，對(duì)O點(diǎn)角動(dòng)量守恒點(diǎn)角動(dòng)量守恒0()()(sin )ABmM v LmMvLm0vBv5解得解得1/2222002()()Bk LLmvvmMmM2/120202200)()(arcsinMmLLkvMmmLvmL6例例4.4.已知：靜止勻質(zhì)桿已知

6、：靜止勻質(zhì)桿M，l，水平光滑軸豎直懸掛，水平光滑軸豎直懸掛，子彈子彈m，以水平，以水平速度速度 射入桿的下端，射入桿的下端，求：桿和子彈開始運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)桿的質(zhì)心速度。求：桿和子彈開始運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)桿的質(zhì)心速度。0v解：解：)31()(220MlmlJJlmvMm01()3mvMm l0322(3)cmvlvMm若子彈擊在距若子彈擊在距O點(diǎn)點(diǎn) 處，質(zhì)心速度？處，質(zhì)心速度？31)32(32220MllmlmvlmMmv)43(60動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒0423cmvlvMm利用動(dòng)量守恒利用動(dòng)量守恒0cmvMvmv子彈擊在桿的不同位置，子彈擊在桿的不同位置，O點(diǎn)的受力情況不同。點(diǎn)的受力情況不同。2clv0vOmMl

7、角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒動(dòng)量是否守恒？動(dòng)量是否守恒？23l23vl0423cmvlvMm7OlM例例5. .小球小球m，v0在水平冰面上滑動(dòng)，撞在細(xì)木棒在水平冰面上滑動(dòng)，撞在細(xì)木棒M，l的一端，的一端，并粘附在木棒上。試求：并粘附在木棒上。試求：解：解：（1）系統(tǒng)質(zhì)心位置）系統(tǒng)質(zhì)心位置 c22()clMMllMmMm動(dòng)量守恒，質(zhì)心平動(dòng)速度動(dòng)量守恒，質(zhì)心平動(dòng)速度 vc0()cmvMm vclmv00()cmvvMmccv（1）忽略摩擦，定量地描述小球附在木棒后，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況。）忽略摩擦，定量地描述小球附在木棒后，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情況。（2）剛發(fā)生碰撞之后，木棒上有一點(diǎn)）剛發(fā)生碰撞之后，木棒上有一點(diǎn) p 是瞬

8、時(shí)靜止的，問是瞬時(shí)靜止的，問該點(diǎn)在何處？該點(diǎn)在何處？棒和球系統(tǒng)：棒和球系統(tǒng)：碰后系統(tǒng)質(zhì)心勻速直線運(yùn)動(dòng)，碰后系統(tǒng)質(zhì)心勻速直線運(yùn)動(dòng)，同時(shí)系統(tǒng)繞質(zhì)心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)系統(tǒng)繞質(zhì)心勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。由角動(dòng)量守恒，系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度由角動(dòng)量守恒，系統(tǒng)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度22201() 122ccclmv lmlMlMl06(4)mvmM l8（2）瞬時(shí)靜止點(diǎn)）瞬時(shí)靜止點(diǎn) p 應(yīng)應(yīng)在質(zhì)心的左側(cè)，在質(zhì)心的左側(cè)，p點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)點(diǎn)繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)瞬時(shí)向下線速度應(yīng)等于質(zhì)心平動(dòng)速度向下線速度應(yīng)等于質(zhì)心平動(dòng)速度 vccpcv(4)6 ()cvlmMpcmMOlMclccvp92R2M1R1M0 解：解：能否用角動(dòng)量守恒？能否用角動(dòng)

9、量守恒？角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理01111 JJtfR 222 JtfR 2211RR 211121RMJ 222221RMJ解得解得02111 MMM0212112)( MMRMR?t 221101 JJJ合外力矩不為合外力矩不為0 0角動(dòng)量不守恒！角動(dòng)量不守恒！6.已知已知：兩兩勻質(zhì)圓盤勻質(zhì)圓盤M1 ，R1， 0，兩輪無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)兩輪無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)求求：兩輪無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)兩輪無相對(duì)滑動(dòng)時(shí)12vv1?2?M2 ，R2靜止靜止。?1 ?2 f- -f系統(tǒng)外力系統(tǒng)外力系統(tǒng)外力系統(tǒng)外力必須知道摩擦系數(shù)必須知道摩擦系數(shù)10力學(xué)總結(jié)力學(xué)總結(jié)力學(xué)研究：力學(xué)研究：三個(gè)守恒定律：三個(gè)守恒定律：運(yùn)動(dòng)學(xué)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系）

10、運(yùn)動(dòng)學(xué)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維）剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維）（特殊質(zhì)點(diǎn)系）（特殊質(zhì)點(diǎn)系）狀態(tài)及其變化狀態(tài)及其變化rddrvt21rrr 22ddddvrattddtd22ddddtt勻變速直線運(yùn)動(dòng)（一維）勻變速直線運(yùn)動(dòng)（一維）a 常量0tvvat2012Srv tat 2202tvvaS勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維）勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維）常量0tt2012tt2202t * *線角關(guān)系線角關(guān)系ddSrvrtar2nar瞬時(shí)性，力在時(shí)間積累，力在空間積累。瞬時(shí)性，力在時(shí)間積累，力在空間積累。動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒，能量守恒。動(dòng)量守恒，角動(dòng)量守恒，能量守恒。11動(dòng)力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系）動(dòng)力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系）

11、剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維）（一維）（特殊質(zhì)點(diǎn)系）（特殊質(zhì)點(diǎn)系）* *運(yùn)動(dòng)定律（瞬時(shí)關(guān)系式）運(yùn)動(dòng)定律（瞬時(shí)關(guān)系式）* * *轉(zhuǎn)動(dòng)定律（定軸）轉(zhuǎn)動(dòng)定律（定軸）力在時(shí)間的積累力在時(shí)間的積累質(zhì)量質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2dJrm動(dòng)量動(dòng)量pmv角動(dòng)量角動(dòng)量LJ力力ddpFtd()dmvt力矩力矩ddLtMrFFma合外cFma合外（質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不變）（質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不變）（質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）（質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)，質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理）MJ動(dòng)量定理動(dòng)量定理21dFtpmvmv 合外21dFtppp 合外（質(zhì)點(diǎn)）（質(zhì)點(diǎn)）（質(zhì)點(diǎn)系）（質(zhì)點(diǎn)系）角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理21dMtLJJ 合外* *動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒0F合外iiimv 恒矢力矩在時(shí)間的積累力矩在時(shí)間的積累空間平移不變性空間平移不變性內(nèi)力內(nèi)力 外力外力* * *角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒0M合外空間旋轉(zhuǎn)不變性空間旋轉(zhuǎn)不變性內(nèi)力矩內(nèi)力矩 外力矩外力矩iiiJ恒矢12動(dòng)力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系）動(dòng)力學(xué)（質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系）剛體剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（一維）（一維）（特殊質(zhì)點(diǎn)系）（特殊質(zhì)點(diǎn)系）共同點(diǎn)共同點(diǎn)（做功與路徑無關(guān)）（做功與路徑無關(guān)）質(zhì)點(diǎn)系功能定理質(zhì)點(diǎn)系功能定理勢(shì)能勢(shì)能保守力作功保守力作功當(dāng)只有保守力作功當(dāng)只有保守力作功* *機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒時(shí)間平移不變性時(shí)間平移不變性孤立體系能量守恒孤立體系能量守恒力在空間的積累力在空間的積累動(dòng)能定理動(dòng)能定理dWFr合外合外功功