全稱量詞與存在量詞

1、全稱量詞與存在量詞編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解全稱量詞、存在量詞和全稱命題、特稱命題的概念；2能準(zhǔn)確地使用全稱量詞和存在量詞符號“” “”來表述相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容；3掌握判斷全稱命題和特稱命題的真假的基本原則和方法；4.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定.【要點梳理】要點一、全稱量詞與全稱命題全稱量詞全稱量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱為全稱量詞.常見全稱量詞：“所有的”、“任意一個”、“每一個”、“一切”、“任給”等 . 通常用符號“”表示，讀作“對任意”.全稱命題全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.一般形式：“對M中任意一個x ，有p( x)成立”，記作

2、：xM， p(x)（其中M為給定的集合，p( x)是關(guān)于x 的語句）.要點詮釋： 有些全稱命題在文字?jǐn)⑹錾峡赡軙÷粤巳Q量詞，例如：（ 1）“末位是的整數(shù)， 可以被 5 整除”；（ 2）“線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”（3）“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)” ；都是全稱命題.0；要點二、存在量詞與特稱命題存在量詞定義：表示個別或一部分的含義的量詞稱為存在量詞.常見存在量詞：“有一個”，“存在一個”, “至少有一個”通常用符號“”表示，讀作“存在”.特稱命題特稱命題：含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.，“有的” , “有些”等.一般形式：“存在M中一個元素x0 ，有p( x0 ) 成立

3、”，記作：x0M ， p( x0 ) （其中M為給定的集合，p( x)是關(guān)于x 的語句）.要點詮釋： （ 1 ）一個特稱命題中也可以包含多個變量，例如：存在R,R使sin()sinsin.（ 2）有些特稱命題也可能省略了存在量詞.（ 3）同一個全稱命題或特稱命題，可以有不同的表述要點三、含有量詞的命題的否定對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題 p ：xM ， p( x)p 的否定p ：x0M ，p( x0 ) ；從一般形式來看，全稱命題“對M中任意一個x，有 p（ x）成立”，它的否定并不是簡單地對結(jié)論部分p(x) 進行否定，還需對全稱量詞進行否定，使之成為存在量詞，也即“任意 xM , p

4、( x) ”的否定為“x0M ，p( x0 ) ”.對含有一個量詞的特稱命題的否定特稱命題 p ：x0M ， p(x0 )p 的否定p ：xM ，p( x) ；從一般形式來看，特稱命題“x0M ， p( x0 ) ”，它的否定并不是簡單地對結(jié)論部分p( x0 ) 進行否定， 還需對存在量詞進行否定，使之成為全稱量詞，也即“x0M ， p( x0 ) ”的否定為“xM ，p( x) ”.要點詮釋：(1) 全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題；(2) 命題的否定與命題的否命題是不同的.（ 3）正面詞： 等于、 大于、小于、是、都是、至少一個、至多一個、小于等于否定詞：不等于、不大于、

5、不小于、不是、不都是、一個也沒有、至少兩個、大于等于 .要點四、全稱命題和特稱命題的真假判斷要判定全稱命題“xM ， p( x) ”是真命題，必須對集合M中的每一個元素x，證明 p( x) 成立；要判定全稱命題“xM ， p( x) ”是假命題，只需在集合M中找到一個元素 x0，使得 p( x0 ) 不成立，即舉一反例即可.要判定特稱命題“x0M ， p( x0 )”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得p(x0 ) 成立即可；要判定特稱命題“x0M ， p(x0 )”是假命題，必須證明在集合M中，使p( x) 成立得元素不存在.【典型例題】類型一：量詞與全稱命題、特稱命題【高清課堂：

6、 全稱量詞與存在量詞395491 例 1】例 1. 判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題.（ 1） x R， x2+11；（ 2）所有素數(shù)都是奇數(shù)；（ 3）存在兩個相交平面垂直于同一條直線；（ 4）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù) .【解析】（ 1）有全稱量詞 “任意 ”，是全稱命題；（ 2）有全稱量詞“所有”，是全稱命題；（ 3）有存在量詞 “存在 ”，是特稱命題；（ 4）有存在量詞 “有些 ”；是特稱命題?！究偨Y(jié)升華】 通過量詞來確定命題是全稱命題還是特稱命題.判斷一個命題是否含有全稱量詞和存在量詞，關(guān)鍵是看命題中是否有“所有”，“任意”， “任何”， “存在”， “有的”，“至少有”等詞語，或隱含有

7、這些詞語的意思.舉一反三：【變式】下列命題中全稱命題的個數(shù)為()平行四邊形的對角線互相平分梯形有兩邊平行存在一個菱形，它的四條邊不相等A 0B 1C 2D 3【答案】C【解析】是全稱命題，是特稱命題類型二：判斷全稱命題、特稱命題的真假例 2.判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假（ 1）對數(shù)函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；（ 2）至少有一個整數(shù)，它既能被2 整除，又能被5 整除；.（ 3）x x | x是無理數(shù) ， x2 是無理數(shù)；（ 4）x0 x | xZ ， log 2 x00 .【解析】（ 1）全稱命題，真命題 .（ 2）特稱命題，真命題 .（ 3）全稱命題，假命題，例如x03 ，但 x0

8、23 是有理數(shù) .（ 4）特稱命題，真命題.【總結(jié)升華】（ 1）要判斷一個全稱命題是真命題，必須對限定的集合M中的每一個元素x ，驗證 p( x)成立；要判斷全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個xx0 ，使 p(x0 ) 不成立即可；（ 2）要判斷一個特稱命題的真假， 依據(jù)：只要在限定集合 M中，至少能找到一個 x x0 ，使 p(x0 ) 成立，則這個特稱命題就是真命題，否則就是假命題.舉一反三：【變式1】下列全稱命題中真命題的個數(shù)為（）末位是0 的整數(shù)，可以被2 整除；角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；正四面體中相鄰兩側(cè)面的夾角相等.A1B2C3D0【答案】 C【高清課堂：全稱

9、量詞與存在量詞395491 例 2】【變式 2】判斷下列命題的真假.（ 1） p：xR， x220 ；（ 2） p：xN ， x41 .【答案】（ 1）命題為真；（ 2）命題為假；類型三：含有一個量詞的全稱命題與特稱命題的否定例 3.寫出下列命題的否定并判斷真假（ 1） p：所有末位數(shù)字是 0 或 5 的整數(shù)都能被 5 整除；（ 2） p：每一個非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；（ 3） p：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于180 ；（ 4） p：有的四邊形沒有外接圓；（ 5） p：某些梯形的對角線互相平分 .【解析】（ 1）存在未位數(shù)字是0 或 5 的整數(shù)但它不能被5 整除，假命題；（ 2）存在一個非負(fù)數(shù)

10、的平方它不是正數(shù)，真命題；（ 3）任何一個三角形它的內(nèi)角和都不大于180°，真命題；（ 4）所有的四邊形都有外接圓，假命題；（ 5）任一梯形的對角線都不互相平分，真命題【總結(jié)升華】 命題的否定要與否命題區(qū)別開來，全稱命題的否定是特稱命題，而特稱命題的否定是全稱命題.舉一反三：【變式1】 (2015浙江 )命題“nN * , f (n)N *且 f (n)n 的否定形式是（）A.nN * , f (n)N * 且 f (n)nB.nN * , f (n)N * 或 f (n) nC.n0N * , f (n0 ) N * 且 f ( n0 )n0D.n0N * , f (n0 ) N

11、* 或 f (n0 ) n0【答案】 D.【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知選D.【變式 2】命題x0 R ，x0210 的否定是 _ _.【答案】xR ， x210【變式 3】寫出下列命題的否定，并判斷真假.（ 1）x R, x24x4 0；（ 2）所有的正方形都是矩形；（3） x0R, x02x01 0 ；（ 4）至少有一個實數(shù) x0，使得 x022 0 .【答案】（ 1）p ：x0R, x024x 040 （假命題）；（ 2）p ：至少存在一個正方形不是矩形（真命題）；（ 3）p ：xR, x2x10 （真命題）；（ 4）p ：xR, x220 （真命題） .類型四：含有量詞的命

12、題的應(yīng)用例 4 已知 p :|1x 1 | 2 ， q : x22x 1 m20 ( m 0) ，若p 是q 的必要不3充分條件，求實數(shù)m的取值范圍 .【解析】p :|1 x1 |22x 1 121x 132x 1023233x-(1-m)x-(1+m) 0q:x -2x+1-m 0又 m>0不等式的解為 1-m x 1+mp 是q 的必要而不充分條件”的等價命題即逆否命題為“p 是 q 的充分不必要條件”不等式 |1x1 |2 的解集是 x2-2x+1-m 2 0(m>0) 的解集的子集 .31m2m391m10m, m9實數(shù) m的取值范圍是9,【總結(jié)升華】 本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強調(diào)了知識點的靈活性，使用的技巧與方法是利用等價命題先進行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進而使問題解決.舉一反三：【變式 1】已知 p： x 2 或 y 3； q： x+y 5，判斷 p 是 q 的什么條件 .【答案】p :