納米電子學(xué)-納米電子器件輸運(yùn)理論

1、第7章 納米電子器件輸運(yùn)理論7.1 引言7.2 隧穿理論7.2.1 隧穿的波函數(shù)描述方法 7.2.2 隧穿時間7.2.3 隧穿電流7.2.4 量子化電荷隧穿7.1 引言電子器件的性能決定于其中電子的輸運(yùn)特性，而電子輸運(yùn)特性與材料的能帶結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在一個特定的能帶結(jié)構(gòu)中，載流子運(yùn)動可能包括多種復(fù)雜的物理過程。為了計算器件的IV特性，需要建立器件的輸運(yùn)模型。模型應(yīng)當(dāng)包括兩個方面信息。(1)特定器件材料的能帶結(jié)構(gòu)與參數(shù) 能帶結(jié)構(gòu)決定于組成器件的特定材料以及特定的材料界面和結(jié)構(gòu)。例如，在異質(zhì)界面處，能帶會產(chǎn)生偏移和變化(如彎曲)。載流子的輸運(yùn)模型需要盡量精確的載流子有效質(zhì)量等由能帶結(jié)構(gòu)所決定的材料參

2、數(shù)。(2)適當(dāng)形式的輸運(yùn)理論該理論必須能夠模擬器件的主要輸運(yùn)過程。在模型中總是要進(jìn)行簡化、近似和數(shù)值離散化，但是，這些處理不能違反基本的物理規(guī)律和量子力學(xué)原理。可是，在實際上，有些簡化和近似常常危及某一原理。按照第一性原理的觀點，納米器件一般來說是一個開放量子系統(tǒng)，在其中電子起碼可以在某一維方向運(yùn)動。而且是與時間相關(guān)的。同時，輸運(yùn)具有時間不可逆性和耗散性。輸運(yùn)過程中還存在多體作用。器件與周圍的環(huán)境既存在粒子交換也存在能量交換。所以電子器件作為一個物理系統(tǒng)與簡單的孤立量子系統(tǒng)有很大的區(qū)別，后者可以具有守恒的哈密頓量，對薛定諤方程加上適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，相對較容易求解。而適用于這種開放器件系統(tǒng)的易子計

3、算的通用多體形式的量子理論尚沒有建立起來。對于特定器件的某些性質(zhì)的計算可以不用通用的多體理論。實際應(yīng)用中廣泛采用各種近似和簡化的模型口針對主要輸運(yùn)過程的模型，可以使計算簡化。最近，共振隧穿器件（Resonant Tunneing Device，RTD）模擬工作已取得明顯進(jìn)展，模擬結(jié)果在估計RTD的量子效應(yīng)方面和應(yīng)用于器件設(shè)計方面均獲得豐碩的成果。量子器件的全面模擬問題需要用高級的量子輸運(yùn)理論，可能包括相當(dāng)復(fù)雜的多帶有效質(zhì)量理論的形式，它應(yīng)該是建立在密度矩陣基礎(chǔ)上的量子統(tǒng)計理論。本書僅在量子輸運(yùn)的簡化概念性框架下，給出各種簡單納米結(jié)構(gòu)量子輸運(yùn)描述方法。這樣的理論框架可以解釋大多數(shù)納米結(jié)構(gòu)巾的介觀

4、輸運(yùn)現(xiàn)象。如共振隧穿，單電子現(xiàn)象。但是，這些現(xiàn)象的一些細(xì)微特征，如，普適電導(dǎo)漲落電導(dǎo)峰幅值和間距則需要更高級的動力學(xué)理淪，如非平衡格林函數(shù)方法予以計算。人們已發(fā)展了各種不同層次的量子器件輸運(yùn)模型并已取得一定的成功。建立精確的量子器件模型源于一個基本的動機(jī)探索介觀輸運(yùn)規(guī)律并對器件優(yōu)化設(shè)計提供指導(dǎo)。這一點對于構(gòu)思新型器件和促使實用器件的發(fā)展是必不可少的。另外，與納米制造技術(shù)相比，量子輸運(yùn)的理論模擬相對滯后二量子器件的模擬尚沒有達(dá)到像傳統(tǒng)的MOS場效應(yīng)管和雙極晶體管那樣的模擬能力。在這個意義上，在推進(jìn)納米電子學(xué)進(jìn)步的時候，量子器件模型可以作為輸運(yùn)理論模擬能力的檢驗媒介。另一方面，納米器件的量于輸運(yùn)問

5、題，由于器件具有復(fù)雜的材料和結(jié)構(gòu)，其模擬對計算機(jī)模擬工具依賴性很強(qiáng)。所以在研究理論模型的同時，還需要加強(qiáng)計算機(jī)模型和數(shù)值求解方法以及相應(yīng)軟件的研究。7.2.1 隧穿的波函數(shù)描述方法在波動力學(xué)中，概率密度定義為是與時間相關(guān)的薛定諤方程的解。從薛定諤方程出發(fā)可以得到概率密度的連續(xù)性方程概率流密度，或者“流”可以寫做1.單矩形對稱勢壘 如圖7. 1所示，包含一個寬度為W=2a的，嵌人GaAs中的一層AlxGa1-xAs，平面型勢壘結(jié)構(gòu)。只要能帶的非拋物線效應(yīng)可以忽略，就可以采用單一能帶有效質(zhì)量模型系統(tǒng)的波函數(shù)，且可以分為相對于勢壘的平行部分和垂直部分。所需要求解的包絡(luò)函數(shù)方程為圖7.1 單矩形隧穿勢

6、壘其中，z（垂直于勢壘）方向的定態(tài)方程為對于圖7. 1所示結(jié)構(gòu).在每個區(qū)域可以寫出分片連續(xù)的解式中由波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，可得到式中包括了勢壘兩邊的有效質(zhì)量，如果進(jìn)一步假設(shè)兩邊材料的有效質(zhì)量相等，在x=-a處，應(yīng)用邊界條件，可以得到解出系數(shù)之間的關(guān)系在z=a處，可以得到類似的，可以寫成如下矩陣方程由式（7.9）和（7.11）可得式中假設(shè)在勢壘的右邊僅有出射波，沒有入射波，即假設(shè)式(7.12)中，F(xiàn)=0。勢壘左邊的入射波幅為A，射向勢壘的概率流為式中,v是粒子的群速度。對于對稱勢壘的問題，入射波與幅值G相關(guān)的出射(或者稱透射)波具有相同的群速度透射系數(shù)定義為透射與人射流密度的比率由(7.13)式可以

7、得到u 如果2a<<1u 如果2a>>1反射系數(shù)用反射與入射流密度的比定義顯然，透射和反射系數(shù)的和為1，即，R+T=1。以上討論的情況是假設(shè)粒子的能量小于勢壘高度V0。對于能量大于勢壘高度，上面的討論一樣成立，只不過是復(fù)數(shù)。令=-ik，相應(yīng)的透射系數(shù)為振蕩的，式(7.19)成為圖7.2給出不同勢壘高度透射參數(shù)隨能量變化曲線。入射粒子能量低于勢壘，隨著粒子能量與勢壘高度的差增加，透射概率呈指數(shù)衰減;入射粒子能量高于勢壘，當(dāng)能量E增大時，透射系數(shù)振蕩趨于1，正如（7.23)式所預(yù)測的。圖7.2 單對稱勢壘透射系數(shù)隨能量變化2.非對稱單矩形勢壘非對稱勢壘可以認(rèn)為是在勢壘的左邊

8、與右邊之間加上了電壓q-1V1(V1是靜電能)的系統(tǒng)的一個粗略的近似(當(dāng)然，加了電壓以后，勢壘高度V0將降低，為簡單忽略掉這一效應(yīng))。波函數(shù)稍微復(fù)雜一些，為入射粒子能量為E，而由波函數(shù)邊界連續(xù)條件可得同樣假設(shè)勢壘兩邊粒子有相同的有效質(zhì)量。再一次構(gòu)成連接矩陣，相應(yīng)界面矩陣級聯(lián)結(jié)果形成整個勢壘的組合矩陣。復(fù)共扼關(guān)系式仍然正確，矩陣的行列式不再是1，而是比值k1/k0。左到右的透射和反射系數(shù)分別由入射流與透射流之比，入射流與反射流之比得到，比對稱勢壘稍微復(fù)雜一些是由于兩個區(qū)域粒子的群速度不同 如果考慮在同樣勢壘的情況下，相反方向的透射系數(shù)，設(shè)A=0并求從右到左的透射流與入射流的比率能夠從(7.12)

9、式的兩個方程令A(yù)=0解出B作為F的函數(shù)，得到透射系數(shù)與入射波的入射方向無關(guān)！3.散射矩陣用勢壘兩邊出射波系數(shù)B和G，與入射波系數(shù)A和F之間的關(guān)系定義不同的矩陣，而得到式中，S稱為散射矩陣或S矩陣。透射和反射系數(shù)也可以令F=0，而用S矩陣表示出來如果考慮來自右邊而不是來自左邊的人射波，令A(yù)=0，透射和反射系數(shù)為它等于從左邊到右邊的透射系數(shù)。很明顯，S矩陣是勢散射問題自然的表示，因為對角元與反射系數(shù)直接相關(guān)，而非對角元與透射系數(shù)有關(guān)。4.雙矩形勢壘 假設(shè)在圖7.4所示的對稱雙勢壘結(jié)構(gòu)中，連接A、B與G、F， A、B與G、F的傳輸矩陣可以由單勢壘的結(jié)果得到。因為這里的系數(shù)相當(dāng)于一個系統(tǒng)中統(tǒng)一波函數(shù)在

10、不同點的值。系數(shù)之間的差別只是簡單的相位上的差別，對于向右傳播的波有:,b是圖7.4中阱的寬度，k是波在阱區(qū)域內(nèi)的傳播常數(shù)(即波矢)。圖7.4 兩個單勢壘組合成為雙勢壘結(jié)構(gòu)同樣，對于向左傳播的波有利用這兩個關(guān)系可以定義一個傳輸矩陣Mw，它連接兩個勢壘的系數(shù)Ml和MR分別是左、右勢壘的傳輸矩陣。雙勢壘結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)也與組合矩陣元MT11，平方的倒數(shù)相聯(lián)系。由（7.43）式，MT11可簡單寫為共振行為可以通過出現(xiàn)在表示式里的相因子確定。這些相因子在MT11最小時為零，它將給出透射系數(shù)的峰值行為。5.完全對稱矩形雙勢壘對稱雙勢壘的情形下，傳播常數(shù)k在阱中及其左邊和右邊區(qū)域有相同的值。進(jìn)一步假設(shè)，兩個

11、勢壘有相同的寬度(aL=aR=a)、同樣的高度和同樣的衰減常數(shù)這樣可以對出現(xiàn)在式(7.45)中的矩陣ML和MR用對稱單勢壘的公式(7.12)-(7.15)式。單勢壘的矩陣元M11寫為極坐標(biāo)的形式其中，由(7.13)式的M11，可以得到而相位為代人式(7.45)并取平方(應(yīng)用了M12=M21*)得到右邊第一個括號是M矩陣的行列式，對于對稱矩形勢壘，如前所討論的，它等于1。這樣整個透射系數(shù)為式中，T1和R1分別為單對稱勢壘的透射和反射系數(shù)。u 當(dāng)時，總透射系數(shù)最小，對應(yīng)非共振情況，此時有u 當(dāng)余弦函數(shù)為零的時候，產(chǎn)生共振。在對稱勢壘的情形，透射系數(shù)趨于1，即這表明在一個窄的能量范圍，穿透系數(shù)可以達(dá)

12、到1。共振能級可以認(rèn)為是兩個勢壘之間形成的有限深阱中的準(zhǔn)束縛態(tài)能級。當(dāng)入射電子能量與這些準(zhǔn)束縛態(tài)能級之中的一個對準(zhǔn)時，電于的波就發(fā)生明顯的透射。在共振時，電于的波在兩個勢壘之間以相干的方式來回反射。入射波激發(fā)共振能級，直至達(dá)到一個穩(wěn)態(tài)。在該態(tài)入射波與出射波達(dá)到平衡，總的透射概率是1。 為了用以上的結(jié)論說明共振隧穿二極管，圖7.5給出三個不同寬度的對稱GaAs/AlAs雙勢壘透射系數(shù)的計算結(jié)果。圖7.5 GaAs/AlAs雙勢壘結(jié)構(gòu)及透射系數(shù)作為電子能量Ex函數(shù)的計算結(jié)果6.非對稱雙勢壘 非對稱雙勢壘的能帶圖由圖3.6給出?？梢越瓶醋鍪墙o對稱勢壘左右兩邊區(qū)域加上偏置電壓的結(jié)果。現(xiàn)在必須分別考慮

13、組合勢壘的左邊和右邊區(qū)域以及阱區(qū)的波矢，這些波矢分別表示為k，k1和K2。電子在兩個勢壘中衰減常數(shù)不同，但是(7.45)式的結(jié)果仍然正確，因此，該式可以作為尋找解的基本方程。圖7.6 非對稱雙勢壘 在(7.27)式和(7.28)式的基礎(chǔ)上。推導(dǎo)非對稱雙勢壘的傳輸矩陣。引人極坐標(biāo)，與透射系數(shù)相關(guān)的(7.45)式中的矩陣元可以表示為代人(7.45)式得到組合傳輸矩陣元平方應(yīng)用非對稱單勢壘左邊和右邊的透射和反射系數(shù)表示出(7.62)式中的矩陣元對應(yīng)的透射系數(shù)，可以得到組合結(jié)構(gòu)的透射系數(shù)在共振的時候,分母中右邊的項為零。如果透射系數(shù)TL、TR比較小(一般情況如此)，分母中的反射系數(shù)可以展開為總的透射系

14、數(shù)是當(dāng)式(7.63)中的余弦函數(shù)為1時，產(chǎn)生非共振最小透射。 這時分母中右邊的項是主要的，因為透射因子于TL，TR均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于1時，它在1左右。非共振透射系數(shù)由下式給出這一結(jié)果表明對于非共振條件下，阱不起主要作用;也就是說雙勢壘結(jié)構(gòu)的行為就相當(dāng)于兩個獨(dú)立的勢壘。通過像RTD這種結(jié)構(gòu)的隧穿時間與處于阱中局域態(tài)的電子的退化時間相關(guān)。接近共振，可以把出現(xiàn)在(7.50)式和(7.63)式分母中的余弦函數(shù)的平方項圍繞某一個共振能級En展開。在接近共振能級處有Lorentz形式非對稱雙勢壘的透射可以圍繞共振能級En，作類似展開，為7.2.2 隧穿時間對于一個開放系統(tǒng)，薛定諤方程的解可以像一般量子力學(xué)教科書所

15、講的那樣，用從局域散射中心的出射波來構(gòu)造。按一般量子力學(xué)規(guī)定，僅用出射態(tài)表示解是不完全的，因為Hamilton量不是Hermit的。因此，能量本征值是復(fù)數(shù)，復(fù)能量的實部對應(yīng)于阱中準(zhǔn)束縛態(tài)的能量，由共振條件(7.52)式給出的;而虛部對應(yīng)于粒子出現(xiàn)在量子阱中的概率密度的退化,。這樣可以將共振峰寬度的倒數(shù)與電子從阱中逃逸的退化時間相聯(lián)系，也就定性地與隧穿的固有延遲時間相聯(lián)系。共振峰越尖銳.從阱中逃出的退化時間越長。(*)另一個與電子穿越勢壘區(qū)域的時間有更密切關(guān)系的定義是波包的退化時間，被稱為相位時間(phase time)。如果最初有一個Causs波包位于勢壘左邊，透射波包增加一個附加的相位，該相

16、位與復(fù)透射幅值的關(guān)系是是透射幅值，是的相位。 如果波包在動量空問是一個圍繞波矢k、尖銳的函數(shù)，經(jīng)過t時間以后波包的位置由下式給出<x(0)>是初始粒子的平均位置，并且作為漸進(jìn)解展開波包峰的位置。第一項正好是與群速度相聯(lián)系的半經(jīng)典延遲，而第二項表示在隧穿區(qū)域多次反射相聯(lián)系的延遲。對于非共振輸運(yùn)，第二項是比較小，所以與經(jīng)典隧穿軌道相比僅有一個小的延遲。對于共振情況，波包可以在量子阱中來回反射多次，從而產(chǎn)生相當(dāng)大的延遲。7.2.3 隧穿電流1.相干隧穿（coherent tunneling）為了將量子力學(xué)中的幾率流與器件的電流相聯(lián)系，需要引人統(tǒng)計力學(xué)分布函數(shù)，描述與入射和穿過勢壘的透射相

17、聯(lián)系的態(tài)占據(jù)狀況。 在初始的模型中，假設(shè)在勢壘結(jié)構(gòu)的左邊和右邊各有一個接觸盤或接收器，它們基本上處于平衡態(tài)，并且由費(fèi)米能級標(biāo)志的Fermi-Dirac函數(shù)所描述。加有偏置的隧穿勢壘結(jié)構(gòu)如圖7.7所示。所加偏置使得左邊和右邊的費(fèi)米能級相差eV的量值。假設(shè)勢壘兩邊的哈密頓量都可以分為垂直方向(z方向)分量和橫向方向分量，如果選擇勢能的零點在勢壘左邊導(dǎo)帶的最小處，即Ec,l=0，隧穿前后粒子的能量可以寫為圖7.7因為假設(shè)橫向動量在隧穿過程中是守恒的，勢壘左邊和右邊z方向的能量有如下關(guān)系假設(shè)接觸端具有完全吸收的性質(zhì)。這意味著，當(dāng)粒子從一邊注人到達(dá)另一邊的接觸區(qū)域，它的相位是相干的，而過剩能量通過與接觸

18、端費(fèi)米海中其他電子的非彈性碰撞而耗散掉。按照這個圖像，考慮垂直勢壘沿z方向的電流密度，能量E是確定的，其z分量為Ez。在勢壘左邊動量空問圍繞kl一個無限小的體積元dkl內(nèi)，從左邊人射的電流密度可以寫為式中，fl是勢壘左邊電子庫中載流子的分布函數(shù)。D(k)是k空間的態(tài)密度。左邊載流子垂直于勢壘方向的速度為這樣假設(shè)一邊的接觸端中，一定能量E的電子，具有由邊界條件和勢壘所決定的透射概率T(E)，透射過程中保持動量和能量守恒，最終被另一邊的接觸端所吸收，失去對能量和先前態(tài)的記憶。在這樣的圖像下，電流的流動正比于每單位時間沿兩個相反方向通過勢壘的粒子數(shù)目的差。這種隧穿觀點被認(rèn)為是相干隧穿，因為粒子在跨越

19、整個結(jié)構(gòu)而在接觸端中失去能量之前保持了相位的相干性。從左邊到右邊的透射電流密度簡單由( 7.79 )式加上透射系數(shù)作為權(quán)重而得到 式中，T(kz)是理想情況的透射系數(shù)，僅是垂直方向動量和能量的函數(shù)。同樣，從右向左的透射電流為沿電壓降的方向的凈電流是左邊與右邊透射流對所有k值積分的差，即對左邊和右邊的分布函數(shù)作出進(jìn)一步的假設(shè)。最低階的近似是假設(shè)分布函數(shù)是勢壘兩邊電子庫中費(fèi)米能級決定的平衡費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)同樣，橫向波矢的積分轉(zhuǎn)化為對整個能量的積分。假設(shè)能帶為拋物型的，(7.83)式成為采用費(fèi)米-狄拉克分布函數(shù)，對能量積分容易計算，得到這個公式有時被稱為Tsu-Esaki公式，對數(shù)項有時稱做供應(yīng)

20、supply函數(shù)，因為在給定垂直方向能量的情況下，它決定可以利用的載流子的相對權(quán)重。2.非相干或相繼隧穿(Icoherent or sequential tunneling）圖7.10給出說明電子按照這種隧穿機(jī)制通過雙勢壘結(jié)構(gòu)的示意圖。圖中Ic為相干隧穿產(chǎn)生的電流。Is為相繼隧穿產(chǎn)生的電流。圖7.10 RTD結(jié)構(gòu)中非相干隧穿說明 載流子首先隧穿通過第一個勢壘，進(jìn)入量子阱中，并融人阱中的2DEG。接著在那里通過散射過程失去對相位的記憶。相位隨機(jī)化后的載流子經(jīng)過第二個不相干的隧穿過程通過第二個勢壘。這種隧穿過程被稱為相繼隧穿過程或不相干隧穿過程。 載流子通過第一個勢壘時總能量守恒，即Kt,e和Kt

21、,w 表示發(fā)射極和阱中的波矢。如果隧穿過程本身是能量守恒的，橫向動量也是守恒的，產(chǎn)生隧穿的條件為因為波矢的垂直分量kz是實的，當(dāng)Ec>En時.也就是，當(dāng)發(fā)射極的導(dǎo)帶邊高于阱的束縛態(tài)能量時，沒有電子能夠在保持橫向動量守恒的情況下產(chǎn)生隧穿。在低溫下，只有Ec<En而費(fèi)米能級高于束縛態(tài)能級才有電子隧穿?？梢运泶┑碾娪诘漠a(chǎn)生自EF-En的范圍內(nèi)。一旦上式的條件被破壞，電流突然降低，就會產(chǎn)生負(fù)微分電阻現(xiàn)象。 7.2.4 量子化電荷隧穿1.隧穿哈密頓本章前面一部分用散射矩陣描述隧穿。歷史上，建立在轉(zhuǎn)換或者隧穿哈密頓量基礎(chǔ)上的方法也同樣成功地應(yīng)用于隧穿問題。這種技術(shù)曾經(jīng)廣泛用于描述超導(dǎo)隧道結(jié)的輸運(yùn)?，F(xiàn)在這種方法已成為描述包括庫侖阻斷效應(yīng)的小隧道結(jié)輸運(yùn)的基本理論方法。在隧穿哈密頓方法中。隧道勢壘作為對于比較大(包括電極)系統(tǒng)的微擾?？梢酝ㄟ^時間相關(guān)的微擾論計算從左邊到右邊(以及從右邊到左邊)粒子轉(zhuǎn)移速率來描述隧穿電流。因此，僅當(dāng)微擾充分小時，這種描述方法才是正確