2015屆高考數(shù)學（四川專用理科）必考題型過關(guān)練：第41練（含答案）

1、第41練隨機變量及其分布列題型一離散型隨機變量的期望例12014年男足世界杯在巴西舉行，為了爭奪最后一個小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國家隊要進行比賽，根據(jù)規(guī)則：每支隊伍比賽兩場，共賽三場，每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局，獲得第一名的隊伍將奪得這個參賽名額已知乙隊勝丙隊的概率為，甲隊獲得第一名的概率為，乙隊獲得第一名的概率為.(1)求甲隊分別戰(zhàn)勝乙隊和丙隊的概率P1，P2；(2)設在該次比賽中，甲隊得分為，求的分布列和數(shù)學期望破題切入點(1)利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，結(jié)合甲隊獲得第一名與乙隊獲得第一名的條件列出方程，從而求出P1，P2；(2)先根據(jù)比賽得分的規(guī)則確定甲隊得分

2、的可能取值，然后利用相互獨立事件的概率計算公式分別求解對應的概率值，列出分布列求其期望解(1)根據(jù)題意，甲隊獲得第一名，則甲隊勝乙隊且甲隊勝丙隊，所以甲隊獲第一名的概率為P1×P2.乙隊獲得第一名，則乙隊勝甲隊且乙隊勝丙隊，所以乙隊獲第一名的概率為(1P1)×.解，得P1，代入，得P2，所以甲隊戰(zhàn)勝乙隊的概率為，甲隊戰(zhàn)勝丙隊的概率為.(2)可能取的值為0,3,6，當0時，甲隊兩場比賽皆輸，其概率為P(0)(1)×(1)；當3時，甲隊兩場只勝一場，其概率為P(3)×(1)×(1)；當6時，甲隊兩場皆勝，其概率為P(6)×.所以的分布列為

3、036- 1 - / 14P所以E()0×3×6×.題型二相互獨立事件的概率例2紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員A、B、C進行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6、0.5、0.5.假設各盤比賽結(jié)果相互獨立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望E()破題切入點設“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則第(1)問就是求事件DEDFEFDEF的概率，根據(jù)互斥事件的概率加法公式和相互獨立事件的概率乘法公式進行計算第(2)問中的可取0,1,2,3，分別對應事件

4、 ， FED ，DEDFEF，DEF，求出其概率就得到了的分布列，然后按照數(shù)學期望的計算公式求數(shù)學期望解(1)設“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因為P(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對立事件的概率公式，知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.6×0.5×0.50.6×0.5×0.50.4&

5、#215;0.5×0.50.6×0.5×0.50.55.(2)由題意，知的可能取值為0,1,2,3.因此P(0)P( )0.4×0.5×0.50.1，P(1)P( F)P(E)P(D )0.4×0.5×0.50.4×0.5×0.50.6×0.5×0.50.35，P(3)P(DEF)0.6×0.5×0.50.15.由對立事件的概率公式，得P(2)1P(0)P(1)P(3)0.4.所以的分布列為0123P0.10.350.40.15因此E()0×0.11

6、15;0.352×0.43×0.151.6.題型三二項分布問題例3(2013·山東)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對方得1分求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望破題切入點理解相互獨立事件、二項分布的概念，掌握離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算解(1)記“甲隊以30勝利”為事件A1，“甲隊以31勝利”為事件A2，

7、“甲隊以32勝利”為事件A3，由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨立，故P(A1)()3，P(A2)C()2(1)×，P(A3)C()2(1)2×.所以甲隊以30勝利、31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設“乙隊以32勝利”為事件A4，由題意，知各局比賽結(jié)果相互獨立，所以P(A4)C(1)2()2×(1).由題意，知隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性，得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)，故X的分布列為X0123P所以E(X)0×

8、;1×2×3×.總結(jié)提高(1)離散型隨機變量的期望的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的期望可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率間的對應(2)兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件的發(fā)生與否沒有關(guān)系，在一些問題中我們可以根據(jù)問題的實際意義來判斷兩個事件是否相互獨立(3)對于能夠判斷為服從二項分布的隨機變量，可直接代入公式1從個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取

9、一個，其個位數(shù)為0的概率是()A. B. C. D.答案D解析個位數(shù)與十位數(shù)之和為奇數(shù)，則個位數(shù)與十位數(shù)中必有一個奇數(shù)一個偶數(shù)，所以可以分兩類(1)當個位為奇數(shù)時，有5×420(個)符合條件的兩位數(shù)(2)當個位為偶數(shù)時，有5×525(個)符合條件的兩位數(shù)因此共有202545(個)符合條件的兩位數(shù)，其中個位數(shù)為0的兩位數(shù)有5個，所以所求概率為P.2(2013·廣東)已知離散型隨機變量X的分布列為X123P則X的數(shù)學期望E(X)等于()A. B2 C. D3答案A解析E(X)1×2×3×.3(2014·綿陽模擬)甲射擊命中目標的

10、概率是，乙命中目標的概率是，丙命中目標的概率是.現(xiàn)在三人同時射擊目標，則目標被擊中的概率為()A. B. C. D.答案A解析設甲命中目標為事件A，乙命中目標為事件B，丙命中目標為事件C，則目標被擊中的事件可以表示為ABC，即擊中目標表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生P(··)P()·P()·P()1P(A)·1P(B)·1P(C).故目標被擊中的概率為1P(··)1.4一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為c(a，b，c(0,1)，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1(不計其他得分的

11、情況)，則ab的最大值為()A. B.C. D.答案B解析由已知得3a2b0×c1，即3a2b1，ab·3a·2b2×2，當且僅當3a2b時取等號，即ab的最大值為.5盒子中裝有形狀、大小完全相同的3個紅球和2個白球，從中隨機取出一個記下顏色后放回，當紅球取到2次時停止取球那么取球次數(shù)恰為3次的概率是()A. B.C. D.答案B解析從5個球中隨機取出一個球放回，連續(xù)取3次的所有取法有5×5×5125種，有兩次取紅球的所有取法有3A·A36種所以概率為.6隨機變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P

12、(|X|1)等于()A. B. C. D.答案D解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，P(|X|1)ac.7將一枚均勻的硬幣拋擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為_答案解析正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多，則正面可以出現(xiàn)4次，5次或6次，所求概率PC6C6C6.8某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預設的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪假設某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為_答案0.128解析由題設，分兩類情況：第1個正確，第2個錯誤，第3、4個正確，由乘法

13、公式得P10.8×0.2×0.8×0.80.102 4；第1、2個錯誤，第3、4個正確，此時概率P20.2×0.2×0.8×0.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.9小王參加了2014年春季招聘會，分別向A，B兩個公司投遞個人簡歷假定小王得到A公司面試的概率為，得到B公司面試的概率為p，且兩個公司是否讓其面試是獨立的記為小王得到面試的公司個數(shù)若0時的概率P(0)，則隨機變量的數(shù)學期望E()_.答案解析由題意，得P(2)p，P(1)(1p)p，的分布列為012Pp由p1，得p.所以E(

14、)0×1×2×p.10(2014·成都模擬)某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種芯片，其質(zhì)量按測試指標劃分為：指標大于或等于82為合格品，小于82為次品現(xiàn)隨機抽取這兩種芯片各100件進行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：測試指標70,76)76,82)82,88)88,94)94,100)芯片甲81240328芯片乙71840296(1)試分別估計芯片甲，芯片乙為合格品的概率；(2)生產(chǎn)一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品則虧損10元在(1)的前提下，記X為生產(chǎn)1件芯片甲和1件芯片乙所得的總利潤，求隨機變量X的分

15、布列和數(shù)學期望；求生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元的概率解(1)芯片甲為合格品的概率約為，芯片乙為合格品的概率約為.(2)隨機變量X的所有可能取值為90,45,30，15.P(X90)×，P(X45)×，P(X30)×，P(X15)×，所以，隨機變量X的分布列為X90453015P隨機變量X的數(shù)學期望E(X)90×45×30×15×66.設生產(chǎn)的5件芯片乙中合格品有n件，則次品有(5n)件依題意，得50n10(5n)140，解得n.所以n4或n5.設“生產(chǎn)5件芯片乙所獲得的利潤不少于140元”為事件A，則P

16、(A)C()4×()5.11在體育課上，甲、乙、丙三位同學進行籃球投籃練習，甲、乙、丙投中的概率分別為p1，p2，且p1p21，現(xiàn)各自投籃一次，三人投籃相互獨立(1)求三人都沒有投進的概率的最大值，并求此時甲、乙投籃命中的概率；(2)在(1)的條件下，求三人投中次數(shù)之和X的分布列和數(shù)學期望解(1)記甲、乙、丙投籃一次命中分別為事件A，B，C，則P(A)p1，P(B)p2，P(C).各自投籃一次都沒有投進為事件D，則D ，故P(D)P( )P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C)(1p1)(1p2)()2，當且僅當p1p2時等號成立即各自投籃一次三人都沒有投進的概率的最大值是，

17、此時甲、乙投籃命中的概率都是.(2)X0,1,2,3.根據(jù)(1)知P(X0)；P(X1)P(A B C)××××××；P(X2)P(ABACBC)××××××；P(X3)P(ABC)××.所以X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望E(X)0×1×2×3×.12(2013·重慶)某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù)，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；(2)求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X的分布列與期望E(X)解設A