文科一輪學(xué)案9.1直線的方程

1、學(xué)案9.1 直線的方程自主預(yù)習(xí)案 自主復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ)【雙基梳理】1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式(1)兩點(diǎn)的距離公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則d(A，B)|AB|.(2)中點(diǎn)公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則x，y.2直線的傾斜角(1)定義：x軸 與直線 的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，我們規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為 (2)傾斜角的范圍：0°，180°)3直線的斜率(1)定義：通常，我們把直線ykxb中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線，人們常說

2、它的斜率不存在；(2)計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k (x1x2)若直線的傾斜角為 ()，則k .4直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角

3、不一定相等()(4)經(jīng)過定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示()(5)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用1表示()(6)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 直線的傾斜角與斜率例1(1)直線2xcos y30的傾斜角的取值范圍是 ()A. B.C. D.(2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_引申探究1若將本例(2)中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍2將本例(2)中的

4、B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2，1)，求直線l傾斜角的范圍變式訓(xùn)練：(1)直線xcos y20的傾斜角的范圍是()A. B.C. D.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足2xy8，當(dāng)2x3時(shí)，則的最大值為_；最小值為_ 考點(diǎn)二 求直線的方程例2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(diǎn)(3,4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3)直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5. 變式訓(xùn)練：求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍考點(diǎn)三：直線方程的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1與均值不等式相結(jié)合求

5、最值問題例3已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問題例4已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值變式訓(xùn)練：(1)(2014·四川)設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_(2)(2015·安徽)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y2a與函數(shù)y|xa|1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為_當(dāng)

6、堂達(dá)標(biāo)：1直線xya0的傾斜角為()A30° B60°C150° D120°2如果A·C<0，且B·C<0，那么直線AxByC0不通過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限3過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_4(教材改編)若過點(diǎn)A(m,4)與點(diǎn)B(1，m)的直線與直線x2y40平行，則m的值為_5直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)(mR)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為_鞏固提高案 日積月累 提高自我1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一條直線，則參數(shù)m滿足的條件是()Am B

7、m0Cm0且m1 Dm12直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.3. 如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則 ()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k24設(shè)直線axbyc0的傾斜角為，且sin cos 0，則a，b滿足 ()Aab1 Bab1Cab0 Dab05已知直線PQ的斜率為，將直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得的直線的斜率為()A. BC0 D16若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_7一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_8若ab>0，且A(a,

8、0)、B(0，b)、C(2，2)三點(diǎn)共線，則ab的最小值為_9設(shè)直線l：(m22m3)x(2m2m1)y2m60 (m1)，根據(jù)下列條件分別確定m的值：(1)直線l在x軸上的截距為3；(2)直線l的斜率為1.10已知點(diǎn)P(2，1)(1)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為2的直線l的方程；(2)求過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點(diǎn)P且與原點(diǎn)的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由學(xué)案9.1 直線的方程自主預(yù)習(xí)案 自主復(fù)習(xí) 夯實(shí)基礎(chǔ)【雙基梳理】1平面直角坐標(biāo)系中的基本公式(1)兩點(diǎn)的距離公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)

9、，則d(A，B)|AB|.(2)中點(diǎn)公式：已知平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，點(diǎn)M(x，y)是線段AB的中點(diǎn)，則x，y.2直線的傾斜角(1)定義：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，我們規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角(2)傾斜角的范圍：0°，180°)3直線的斜率(1)定義：通常，我們把直線ykxb中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率，垂直于x軸的直線，人們常說它的斜率不存在；(2)計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k (x1x2)若直線的傾斜角為 ()，則ktan_.4直線方程的五種

10、形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)不含直線xx0斜截式y(tǒng)kxb不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線xx1 (x1x2)和直線yy1 (y1y2)截距式1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式AxByC0(A2B20)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置()(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大(×)(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等(×)(4)經(jīng)過定點(diǎn)A(0，b)的直線都可以用方程ykxb表示(×)(5)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用1表示(×

11、)(6)經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示()考點(diǎn)探究案 典例剖析 考點(diǎn)突破考點(diǎn)一 直線的傾斜角與斜率例1(1)直線2xcos y30的傾斜角的取值范圍是 ()A. B.C. D.(2)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_答案(1)B(2)(，1，)解析(1)直線2xcos y30的斜率k2cos ，因?yàn)?，所以cos ，因此k2·cos 1， 設(shè)直線的傾斜角為，則有tan 1， 又0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是. (2)如圖，

12、kAP1，kBP，k(， 1，)引申探究1若將本例(2)中P(1,0)改為P(1,0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍解P(1,0)，A(2,1)，B(0，)，kAP，kBP.如圖可知，直線l斜率的取值范圍為.2將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2，1)，求直線l傾斜角的范圍解如圖：直線PA的傾斜角為45°，直線PB的傾斜角為135°，由圖象知l的傾斜角的范圍為0°，45°135°，180°)變式訓(xùn)練：(1)直線xcos y20的傾斜角的范圍是()A. B.C. D.(2)已知實(shí)數(shù)x，y滿足2xy8，當(dāng)2x3時(shí)，則的最大值為_；最

13、小值為_答案(1)B(2)2解析(1)由xcos y20得直線斜率kcos .1cos 1，k.設(shè)直線的傾斜角為，則tan .結(jié)合正切函數(shù)在上的圖象可知，0或<.(2)本題可先作出函數(shù)y82x(2x3)的圖象，把看成過點(diǎn)(x，y)和原點(diǎn)的直線的斜率進(jìn)行求解如圖，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，因?yàn)閤，y滿足2xy8，且2x3，所以點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動(dòng)，并且A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2,4)，(3,2)因?yàn)榈膸缀我饬x是直線OP的斜率，且kOA2，kOB，所以的最大值為2，最小值為. 考點(diǎn)二 求直線的方程例2根據(jù)所給條件求直線的方程：(1)直線過點(diǎn)(4,0)，傾斜角的正弦值為；(2)直線過點(diǎn)(3,

14、4)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12；(3)直線過點(diǎn)(5,10)，且到原點(diǎn)的距離為5.解(1)由題設(shè)知，該直線的斜率存在，故可采用點(diǎn)斜式設(shè)傾斜角為，則sin (0<<)，從而cos ±，則ktan ±.故所求直線方程為y±(x4)即x3y40或x3y40.(2)由題設(shè)知截距不為0，設(shè)直線方程為1，又直線過點(diǎn)(3,4)，從而1，解得a4或a9.故所求直線方程為4xy160或x3y90.(3)當(dāng)斜率不存在時(shí)，所求直線方程為x50；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)其為k，則所求直線方程為y10k(x5)，即kxy(105k)0.由點(diǎn)線距離公式，得5，解得k.故所求直線方程為

15、3x4y250.綜上知，所求直線方程為x50或3x4y250. 變式訓(xùn)練：求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)P(4,1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a.若a0，即l過點(diǎn)(0,0)及(4,1)，l的方程為yx，即x4y0.若a0，則設(shè)l的方程為1，l過點(diǎn)(4,1)，1，a5，l的方程為xy50.綜上可知，直線l的方程為x4y0或xy50.(2)由已知：設(shè)直線y3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.tan 3，tan 2.又直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150

16、.考點(diǎn)三：直線方程的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1與均值不等式相結(jié)合求最值問題例3已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程解方法一設(shè)直線方程為1 (a>0，b>0)，點(diǎn)P(3,2)代入得12 ，得ab24，從而SAOBab12，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)k，從而所求直線方程為2x3y120.方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.則直線l的方程為y2k(x3) (k<0)，且有A，B(0,23k)，SABO(23k)×(1212)12.當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時(shí)，等號(hào)成立即ABO的面積的最小值為12

17、.故所求直線的方程為2x3y120.命題點(diǎn)2由直線方程解決參數(shù)問題例4已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值解由題意知直線l1，l2恒過定點(diǎn)P(2,2)，直線l1的縱截距為2a，直線l2的橫截距為a22，所以四邊形的面積S×2×(2a)×2×(a22)a2a42，當(dāng)a時(shí)，面積最小變式訓(xùn)練：(1)(2014·四川)設(shè)mR，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|·|PB|的最大值是_(2)(

18、2015·安徽)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y2a與函數(shù)y|xa|1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的值為_答案(1)5(2)解析(1)直線xmy0與mxym30分別過定點(diǎn)A，B，A(0,0)，B(1,3)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A(或B)重合時(shí)，|PA|·|PB|為零；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，B均不重合時(shí)，P為直線xmy0與mxym30的交點(diǎn)，且易知此兩直線垂直，APB為直角三角形，|AP|2|BP|2|AB|210，|PA|·|PB|5，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)，上式等號(hào)成立(2)|xa|0恒成立，要使y2a與y|xa|1只有一個(gè)交點(diǎn)，必有2a1，解得a.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)：1直線xya0的傾斜角

19、為()A30° B60°C150° D120°答案B解析化直線方程為yxa，ktan .0°<180°，60°.2如果A·C<0，且B·C<0，那么直線AxByC0不通過()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析由已知得直線AxByC0在x軸上的截距>0，在y軸上的截距>0，故直線經(jīng)過一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限3過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_答案3x2y0或xy50解析當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3x2y0；當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為1

20、，則1，解得a5，所以直線方程為xy50.綜上，直線方程為3x2y0或xy50.4(教材改編)若過點(diǎn)A(m,4)與點(diǎn)B(1，m)的直線與直線x2y40平行，則m的值為_答案3解析，m3.5直線l經(jīng)過A(2,1)，B(1，m2)(mR)兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為_答案解析直線l的斜率k1m21.若l的傾斜角為，則tan 1.又0，)，.鞏固提高案 日積月累 提高自我1若方程(2m2m3)x(m2m)y4m10表示一條直線，則參數(shù)m滿足的條件是()Am Bm0Cm0且m1 Dm1答案D解析由解得m1，故m1時(shí)方程表示一條直線2直線x(a21)y10的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D

21、.答案B解析直線的斜率k，1k<0，則傾斜角的范圍是.3. 如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則 ()Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2答案D解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k10，直線l2與l3的傾斜角2與3均為銳角，且23，所以0k3k2，因此k1k3k2，故選D.4設(shè)直線axbyc0的傾斜角為，且sin cos 0，則a，b滿足 ()Aab1 Bab1Cab0 Dab0答案D解析由sin cos 0，得1，即tan 1.又因?yàn)閠an ，所以1.即ab，故應(yīng)選D.5已知直線PQ的斜率為，將直線繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°所得的直線的斜

22、率為()A. BC0 D1答案A解析直線PQ的斜率為，則直線PQ的傾斜角為120°，所求直線的傾斜角為60°，tan 60°.6若直線l的斜率為k，傾斜角為，而，則k的取值范圍是_答案，0)解析當(dāng)<時(shí)，tan <1，k<1.當(dāng)<時(shí)，tan <0.k，0)7一條直線經(jīng)過點(diǎn)A(2,2)，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為_答案x2y20或2xy20解析設(shè)所求直線的方程為1.A(2,2)在此直線上，1.又直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，|a|·|b|1.由可得(1)或(2)由(1)解得或方程組(2)無解故所求的直線方程為1或1，即x2y20或2xy20為所求直線的方程8若ab>0，且A(a,0)、B(0，b)、C(2，2)三點(diǎn)共線