空間直角坐標系1

1、2009.2.6北京工商大學7-1-1第七章第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)空間解析幾何與向量代數(shù)1 向量及其線性運算向量及其線性運算2 數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積3 曲面與方程曲面與方程4 空間曲線及其方程空間曲線及其方程5 平面及其方程平面及其方程6 空間直線及其方程空間直線及其方程2009.2.6北京工商大學7-1-27.1 向量及其線性運算向量及其線性運算向量概念向量概念向量的線性運算向量的線性運算空間直角坐標系空間直角坐標系利用坐標作向量的線性運算利用坐標作向量的線性運算向量的模向量的模 方向角方向角2009.2.6北京工商大學7-1-3向量向量既有既有記為記為a模長為模長為1的向量

2、的向量.21mm00a零向量零向量 模長為模長為0的向量的向量.0|a21mm| |向量的模向量的模 向量的大小向量的大小.單位向量單位向量或或或或或或的量的量.又有又有大小大小方向方向a以以1m為起點為起點,2m為終點的為終點的有向線段有向線段.21mm1m 2m 一、向量概念一、向量概念向量及其線性運算向量及其線性運算2009.2.6北京工商大學7-1-4自由向量自由向量不考慮起點位置的向量不考慮起點位置的向量.相等向量相等向量 大小相等且方向相同大小相等且方向相同的向量的向量.負向量負向量 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.a aba a向量及其線性運算向量及其線性運算b

3、a 記作記作2009.2.6北京工商大學7-1-5cba 特殊地特殊地 若若ab|bac 分為分為同向同向和和反向反向|bac （平行四邊形法則與三角形法則）（平行四邊形法則與三角形法則）(1)加法加法二、向量的線性運算二、向量的線性運算1. 向量的加減法向量的加減法向量及其線性運算向量及其線性運算abba abbacaabbcb2009.2.6北京工商大學7-1-6向量的加法符合下列運算規(guī)律向量的加法符合下列運算規(guī)律交換律交換律 ba結合律結合律 cba);(cba . 0)( aa baabb b cbabac )(2) 減法減法;ab cba)()( b ac向量及其線性運算向量及其線性

4、運算abba ba 2009.2.6北京工商大學7-1-72. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 (簡稱數(shù)乘運算簡稱數(shù)乘運算), 0 |;|aa , 0 ; 0 a , 0 . |aa aa2a21 注注向量的向量的“伸縮伸縮”,是是一一個個數(shù)數(shù)設設 向量向量 與與a的乘積的乘積a 規(guī)定規(guī)定為為aa與與 同向同向,aa與與 反向反向,向量向量a a 為為向量向量.與數(shù)與數(shù)的乘積的乘積向量及其線性運算向量及其線性運算2009.2.6北京工商大學7-1-8數(shù)乘向量具有下列運算規(guī)律數(shù)乘向量具有下列運算規(guī)律結合律結合律 )(a ;)(a分配律分配律 a)( 第一分配律第一分配律 )(ba 第二分配律第二分

5、配律 )( a ;aa .ba 線性運算線性運算向量及其線性運算向量及其線性運算根據(jù)數(shù)乘向量定義知根據(jù)數(shù)乘向量定義知:定理定理1.ab 使使a a與與平行平行.設向量設向量 ab則則存在唯一的實數(shù)存在唯一的實數(shù) , |aa aaa就就是是與與|a0 同方向的同方向的單位向量單位向量. 記作記作, 0 a2009.2.6北京工商大學7-1-9向量及其線性運算向量及其線性運算證明證明: 若若,/ ab當當 與與 同向時同向時,ab取取 為正值為正值, |ab 當當 與與 反向時反向時,ab取取 為負值為負值, |ab 有有 , |bbaa 有有 , |bbaa 于是有于是有 .ab 假設有數(shù)假設有

6、數(shù), ,abab 使使0)( a 0| a ,0 a,0 即即說明說明: 數(shù)軸上的任何一個向量數(shù)軸上的任何一個向量 均可用相應的單位均可用相應的單位a向量的數(shù)乘向量來表示向量的數(shù)乘向量來表示.2009.2.6北京工商大學7-1-10例例 試用向量方法證明試用向量方法證明:對角線互相平分的四邊形對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形必是平行四邊形.證證abcd mammc bmmd ad am mdmc bmbc 結論得證結論得證.bcad且且bcad 向量及其線性運算向量及其線性運算2009.2.6北京工商大學7-1-11三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系1.1.空間點的直角坐標空間點的直角坐

7、標x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系, 三個坐標軸的三個坐標軸的點點o叫做坐標原點叫做坐標原點(或原點或原點)正方向符合正方向符合右手系右手系即以右手握住即以右手握住 z 軸軸, 當右手的四個手指當右手的四個手指 從正向從正向x軸以軸以 2 角度角度轉向正向轉向正向y 軸時軸時, 大大拇指的指向就是拇指的指向就是z軸軸的正向的正向. ijkoxyz稱稱坐標系坐標系 或或,;kjio坐標系坐標系.向量及其線性運算向量及其線性運算2009.2.6北京工商大學7-1-12xyzo向量及其線性運算向量及其線性運算空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限面

8、面xoy面面yoz面面zox2009.2.6北京工商大學7-1-13空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(o坐標軸上的點坐標軸上的點,p,q,r坐標面上的點坐標面上的點,a,b,c向量及其線性運算向量及其線性運算oxyzb), 0(zyr), 0 , 0(za)0 ,(yxq)0 , 0(yp)0 , 0 ,(x ),(zyxm2009.2.6北京工商大學7-1-142.2.空間兩點間點的距離空間兩點間點的距離 p?21 mmd 21pm、設設),(1111zyxm),(2222zyxm為空間兩點為空間兩點. 2pn22nm 2d在直

9、角三角形在直角三角形21nmm 和和pnm1 中中, 用用勾股定理勾股定理,121xxpm ,12yypn 122zznm 向量及其線性運算向量及其線性運算22221nmpnpmd 21221221221zzyyxxmm 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式xyzo2m 1m rq n d2009.2.6北京工商大學7-1-15若兩點分別為若兩點分別為,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd 222zyx 特殊地特殊地向量及其線性運算向量及其線性運算向徑向徑空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點m與原點構成的與原點構成的向量向量. om常用常用r表示表示. 21221221221z

10、zyyxxmm 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式2009.2.6北京工商大學7-1-16解解 設設p點坐標為點坐標為)0 , 0 ,(x 1pp2223)2( x112 x 2pp2221)1( x22 x 1pp22pp112 x222 x1 x所求點為所求點為),0 , 0 , 1()0 , 0 , 1( 向量及其線性運算向量及其線性運算例例)3 , 2, 0(,1pxp它到點它到點軸上軸上在在設設的距離為到點的距離為到點)1, 1 , 0(2 p的距離的兩倍的距離的兩倍,求點求點p的坐標的坐標.2009.2.6北京工商大學7-1-17四、利用坐標作向量的四、利用坐標作向量的線性運算線

11、性運算1. 1. 兩向量的夾角的概念兩向量的夾角的概念, 0 a0 bab ),(ba ),(ab )0( 類似地類似地,特殊地特殊地,可定義可定義向量與一軸或空間兩軸向量與一軸或空間兩軸的夾角的夾角.當兩個向量中有一個零向量時當兩個向量中有一個零向量時, 規(guī)定規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與之間任意取值之間任意取值.向量及其線性運算向量及其線性運算向量向量a與向量與向量b的夾角的夾角2009.2.6北京工商大學7-1-18空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影u過點過點a作軸作軸u的垂直平面的垂直平面,即為點即為點a在軸在軸u上上a 交點交點的的投影投影.向量及其線性運算向量及其線性

12、運算空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影軸軸u稱為投影軸稱為投影軸.已知向量的起點已知向量的起點a和終點和終點b在軸在軸u上的投影分別為上的投影分別為ba ,那么軸那么軸u上的有向線段上的有向線段ba 的值的值, 稱為向量在軸稱為向量在軸u上的上的投影投影.2.2.向量在軸上的投影向量在軸上的投影 aa b a uab2009.2.6北京工商大學7-1-19abjuprba abjupr cos| ab 在軸在軸u上的上的向量向量ab軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：向量向量ab在軸在軸u上的上的投影投影記為記為投影性質投影性質1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以向

13、量及其線性運算向量及其線性運算uab)(投影有正、投影有正、注注負之分負之分;模只為正值模只為正值. cos|)(ababu b a abuu b 2009.2.6北京工商大學7-1-20 )(pr21aaju（可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個） )(praju 兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和在該軸上的投影之和. 1praju2prajuajupr 向量及其線性運算向量及其線性運算投影性質投影性質2 2投影性質投影性質3 32009.2.6北京工商大學7-1-211,坐坐標標原原點點是是軸軸uo.的的兩兩個個點點證證,1ua的坐標

14、為的坐標為因點因點同同理理于是于是例例,1uoa 即即故故向量及其線性運算向量及其線性運算.)(:12euuab 證證明明,1euoa .2euob oaobab u ob 2ua 1u),(如圖如圖同方向的單位向量同方向的單位向量是與軸是與軸uee21,uuba坐標依次為坐標依次為、eueu12 .)(12euu 2009.2.6北京工商大學7-1-223. 3. 向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標上上投投影影分分別別在在軸軸點點umm21,.,21pp為為點點upp在在軸軸又又設設21,.,21uu.121221uuopoppp 而而.12uuau 向量及

15、其線性運算向量及其線性運算,21為為一一向向量量設設mma 上上在在軸軸由由向向量量umm21 )(21mm的投影的投影.ua如如 是與軸是與軸 u正向一致的單位向量正向一致的單位向量, e因此因此可知可知:.)(12euu eappu21上坐標分別為上坐標分別為1p2p1m2muo)(1u)(2u2009.2.6北京工商大學7-1-23kajaiaazyx 12xxax 12yyay 12zzaz 向量及其線性運算向量及其線性運算),(1111zyxm),(2222zyxm起點起點終點終點pnqr,21mma 向量在向量在x軸上的投影軸上的投影向量在向量在y軸上的投影軸上的投影向量在向量在z

16、軸上的投影軸上的投影 21mma基本單位向量的基本單位向量的坐標分解式坐標分解式kzzjyyixx)()()(121212 向量的向量的坐標表達式坐標表達式 21mma),(121212zzyyxx 坐標坐標坐標坐標坐標坐標 x軸軸分向量分向量 y軸軸分向量分向量 z軸軸分向量分向量特殊地特殊地),(zyxom xyzo 1m 2maijk2009.2.6北京工商大學7-1-24),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()

17、()( kajaiazyx)()()( 向量及其線性運算向量及其線性運算4.4.利用坐標作向量的線性運算利用坐標作向量的線性運算2009.2.6北京工商大學7-1-25由由按坐標表示式即為按坐標表示式即為: zzyyxxababab 當分母為零理解為分子也為零當分母為零理解為分子也為零.注注向量及其線性運算向量及其線性運算也即向量也即向量 與與 對應的坐標成比例對應的坐標成比例: ba.ab 使使設向量設向量 ab則則存在唯一的實數(shù)存在唯一的實數(shù) , ),(zyxbbb),(zyxaaa , 0 a2009.2.6北京工商大學7-1-26非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱之為非零向量與三條坐標

18、軸的正向的夾角稱之為非零向量非零向量 的的方向角方向角：a 、 、 ,0 ,0 .0 向量及其線性運算向量及其線性運算五、向量的模、方向角五、向量的模、方向角xyzo 1m 2ma 2009.2.6北京工商大學7-1-27由圖分析可知由圖分析可知 xa ya za向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦方向余弦222|zyxaaaa 向量模的坐標表示式向量模的坐標表示式21212121rmqmpmmm 向量及其線性運算向量及其線性運算通常用來表示向量的方向通常用來表示向量的方向. cos|a cos|a cos|axyzo 1m 2ma pqr2009.2.6北京工商大學7-1-280222 zy

19、xaaa當當 時，時，,cos222zyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式 cos|aax cos|aay cos|aaz 1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征 |aa特殊地特殊地向量及其線性運算向量及其線性運算oa )cos,cos,(cos 2009.2.6北京工商大學7-1-29解解222)6(76| a11 |aa 0akji116117116 或或0a|aa kji116117116 a所求向量有兩個所求向量有兩個,一個與一個與同向同向,一個與一個與a反向反向.向量及其線性運算

20、向量及其線性運算|aa oa求平行于向量求平行于向量的單位向量的單位向量kjia676 例例的分解式的分解式.2009.2.6北京工商大學7-1-30解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji15713 向量及其線性運算向量及其線性運算,742,853kjinkjim 設設,45kjip 求向量求向量例例在在x軸上的投影及在軸上的投影及在y軸上的分軸上的分pnma 34向量向量.在在x軸上的投影為軸上的投影為,13 xa在在y軸上的分向量為軸上的分向量為.17 jjay 2009.2.6北京工商大學7-1-31解解 、 、 ,3 4 1coscoscos2

21、22 21cos ,3 32 22cos ,21cos 向量及其線性運算向量及其線性運算設有向量設有向量例例,21pp已知已知, 2|21 pp它與它與x軸和軸和y軸的軸的夾角分別為夾角分別為,43 和和如果如果p1的坐標為的坐標為(1,0,3),求求p2的坐標的坐標.設向量設向量21pp的方向角為的方向角為2009.2.6北京工商大學7-1-32|)(cos2121pppp cos21 x21, 2 x cos20 y22 , 2 y23 z, 2, 4 zz).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 |121ppx 向量及其線性運算向量及其線性運算),3 , 0 , 1(1p2|21

22、 pp設設p2的坐標為的坐標為),(zyxx|021ppy cos|321ppz p2的坐標為的坐標為2009.2.6北京工商大學7-1-33向量及其線性運算向量及其線性運算六、小結六、小結向量的概念向量的概念向量的線性運算向量的線性運算（注意（注意:與數(shù)量的區(qū)別與記法）與數(shù)量的區(qū)別與記法）(平行四邊形法則平行四邊形法則, 三角形法則三角形法則, 注意數(shù)乘后的注意數(shù)乘后的方向方向)空間直角坐標系空間直角坐標系 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式(注意它與平面直角坐標系的注意它與平面直角坐標系的區(qū)別區(qū)別)(點、坐標軸、坐標面、卦限點、坐標軸、坐標面、卦限) 21221221221zzyyxxm

23、m 2009.2.6北京工商大學7-1-34向量在軸上的投影與投影性質向量在軸上的投影與投影性質.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標.向量的模與方向角向量的模與方向角.(注意分向量與坐標的注意分向量與坐標的區(qū)別區(qū)別)向量及其線性運算向量及其線性運算利用坐標作向量的利用坐標作向量的線性運算線性運算. .2009.2.6北京工商大學7-1-35上兩式相減得：上兩式相減得：, cba , acca ,)1()1(ca . 01, 01 且且故故只只能能1, 1 即即 設設 均均為非零向量為非零向量,cba,. 0 cba證證. 0 cba,acb 為常數(shù)為常數(shù).不共線不共線與與而而ca向量及其線性運算向量及其線性運算不共線不共線, 其中任意兩個向量其中任意兩個向量 ba c但但 與與 共線共線, 證明證明a與與 共線共線. cb 2009.2.6北京工商大學7-1-36(3) 點點m(2, - -3, 1)關于關于y 軸軸的對稱點是的對稱點是( ). (1) 點點m(2, - -3, 1)關于關于坐標原點坐標原點的對稱點是的對稱點是( );選擇題選擇題(2) 點點m(2, - -3, 1