圓的培優(yōu)專題(含解答)

1、圓的培優(yōu)專題1 與圓有關(guān)的角度計(jì)算一 運(yùn)用輔助圓求角度1、如圖，ABC內(nèi)有一點(diǎn)D， DA DB DC ，若DAB 20，DAC 30，1則BDC .（BDC 2BAC 100）2、如圖，AE BEDE BC DC，若C 100，則BAD .（ 50）3、如圖，四邊形ABCD中， AB AC AD ，CBD 20，BDC 30，則BAD.（BADBAC CAD 40 60 100）第1題第2題第3題解題策略：通過(guò)添加輔助圓，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成同弧所對(duì)的圓周角與圓心角問(wèn)題，思維更明朗！4、如圖，ABCD中，點(diǎn)E 為AB 、 BC 的垂直平分線的交點(diǎn)，若D 60，則AEC .（AEC 2B 2D 120）

2、5、如圖，O 是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，OA OB OC，ABC ADC 70，則DAO DCO .（所求360ADC AOC 150）6、如圖，四邊形ABCD中，ACB ADB 90，ADC 25，則ABC .（ ABC ADC 25 ）第4題第5題解題策略：第6 題有兩個(gè)直角三角形共斜邊，由直角所對(duì)的弦為直徑，易得到第 6 題ACBD共圓 .精品文庫(kù)二 運(yùn)用圓周角和圓心角相互轉(zhuǎn)化求角度7、如圖， AB 為 O 的直徑， C 為 AB 的中點(diǎn)， D 為半圓 AB 上一點(diǎn)，則ADC .8、如圖， AB 為 O 的直徑， CD 過(guò) OA 的中點(diǎn) E 并垂直于OA ，則ABC .9、如圖， AB 為

3、 O 的直徑， BC3AC ，則ABC .第7題第8題第9題答案： 7、 45；8、 30；9、 22.5；10、 40；11、 150；12、 110解題策略：以弧去尋找同弧所對(duì)的圓周角與圓心角是解決這類問(wèn)題的捷徑！10、如圖， AB 為 O 的直徑，點(diǎn) C、D 在 O 上，BAC 50 ，則ADC .、如圖，O的半徑為，弦AB2，弦AC3，則BOC.11112、如圖，PAB、PCD是O的兩條割線，PAB過(guò)圓心O，若AC CD，P， 30則BDC . （設(shè)ADC x ，即可展開解決問(wèn)題）第 10題第11題第 12題解題策略：在連接半徑時(shí)，時(shí)常會(huì)伴隨出現(xiàn)特殊三角形等腰三角形或直角三角形或等腰直

4、角三角形或等邊三角形，是解題的另一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)！圓的四接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角，是一個(gè)非常好用的一個(gè)重要性質(zhì)！歡迎下載2精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題2 與垂徑定理有關(guān)的計(jì)算1、如圖， AB 是 O 的弦， ODAB ，垂足為 C，交 O 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 在 O 上，若BED 30 ， O 的半徑為 4，則弦 AB 的長(zhǎng)是.略解： ODAB ， AB 2AC ，且ACO 90，BED 30，AOC 2BED 601OAC30，OC 2OA2，則 AC 23，因此 AB 4 3.2、如圖，弦AB 垂直于 O 的直徑 CD ， OA 5， AB 6，則 BC .略解：直徑CD弦 AB ， AE BE 1 AB

5、=32 OE52324 ，則 CE 5 49BC92323 10第 1 題第 2 題第 3 題3、如圖， O 的半徑為25，弦 ABCD，垂足為 P，AB 8，CD 6，則 OP.略解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OEAB，OFCD ，連接 OB， OD.則 BE1AB 4， DF 1 CD 3，且 OB OD 2522OE(25) 2422 ，OF(2 5)23211又 ABCD，則四邊形 OEPF 是矩形，則OP22(11) 2154、如圖，在 O 內(nèi)，如果 OA 8， AB 12，A B 60，則 O 的半徑為.略解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作ODAB ，連接 OB，則 AD 132 AB 4，因此， BD 8，

6、OD 4OB (4 3)2824 7 .歡迎下載3精品文庫(kù)5、如圖，正 ABC 內(nèi)接于 O， D 是 O 上一點(diǎn)，DCA 15 ， CD 10，則 BC略解：如圖，連接OC， OD ，則ODC OCD ABC 為等邊三角形，則OCA OCE30，ODC OCD 45 OCD 是等腰三角形，則OC 52過(guò)點(diǎn) O 作 OEBC，則 BC2CE 56第 4 題第 5 題第 6 題6、如圖， O 的直徑 AB 4，C 為 AB 的中點(diǎn)， E 為 OB 上一點(diǎn)，AEC 60，CE 的延長(zhǎng)線交 O 于點(diǎn) D，則 CD略解：如圖，連接OC，則 OC 2 C 為 AB 的中點(diǎn)，則 OC AB ，又AEC 60

7、 ，OCE 3013 ， CD2CF 2 3如圖，過(guò)點(diǎn) O 作 OF CD，則 OF 2OC 1， CF7、如圖， A 地測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在城正西方向300 千米的 B 處，并以每小時(shí) 107 千米的速度沿北偏東60的 BF 方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心200 千米范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域.問(wèn)： A 地是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？若受到影響，請(qǐng)求出受影響的時(shí)間？解：如圖，過(guò)點(diǎn)A 作ACBF交于點(diǎn) C，1 ABF 30 ，則 AC 2 AB 150 200，因此 A 地會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)影響；如圖，以 A 為圓心 200 千米為半徑作 A 交 BF 于 D、 E 兩點(diǎn)，連接 AD ，則 DE 2CD 2 2002

8、1502100 7，所以受影響的時(shí)間為100710710 （時(shí)）歡迎下載4精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題3 圓與全等三角形1、如圖， O 的直徑 AB 10，弦 AC 6，ACB 的平分線交O 于 D，求 CD 的長(zhǎng) .解：如圖，連接AB ， BD ，在 CB 的延長(zhǎng)線上截取BE AC ，連接 DE ACD BCD ， AD BD又 CAD EBD ，AC BE CAD EBD （ SAS）CD DE ，ADC BDEAB 為 O 的直徑，則ACB ADB 90BC 102 62 8 ； ADC CDB CDB BDE 90 ，即 CDE 90 CDE 是等腰直角三角形且 CE 14， CD 7 22、

9、如圖， AB 是 O 的直徑， C 是半圓的中點(diǎn)，M 、 D 分別是 CB 及 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且MA MD，若 CM2 ，求 BD 的長(zhǎng).解：如圖，連接AC ，則 AC BC ，C 90，即 ABC 是等腰直角三角形過(guò)點(diǎn) M 作 MNAD，則NMA MAD則 CMN 也是等腰直角三角形，則MN 2 CM 2 ANC MBD 135 ，又 MA MD ，DNMA MAD AMN BMD （ AAS ）BD MN 23、如圖， AB 為 O 的直徑，點(diǎn)N 是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)C 為 AN 上一點(diǎn)， NC 3 .求 BCAC 的值 .解：如圖，連接AN ， BN ，則 ABN 是等腰直角三角形在

10、BC 上截取 BD AC ，連接 DNAN BN ，CAN DBN ，AC BD ACN BDN （ SAS）CNDN ，CNA DNB ，CND CNA AND ADN DNB 90，即 CND 是等腰直角三角形CD2 NC6 ，BCAC BCBDCD6歡迎下載5精品文庫(kù)4、如圖，點(diǎn)A、 B、 C 為 O 上三點(diǎn)，ACBC ，點(diǎn) M 為 BC 上一點(diǎn)， CEAM 于 E，AE5，ME 3，求 BM 的長(zhǎng) .解：如圖，在AM 上截取 AN BM ，連接 CN ， CM. ACBC ， AC BC，又AB ACN BCM （ SAS）CN CM ，又 CEAMNEME 3，BM AN AE NE

11、 25、如圖，在 O 中， P 為 BAC 的中點(diǎn)， PDCD ，CD 交 O 于 A ，若 AC 3， AD 1，求AB 的長(zhǎng).解：如圖，連接BP 、CP，則 BP CP，B C過(guò)點(diǎn) P作PEAB 于點(diǎn) E，又 PDCDBEPCDP BEP CDP（ AAS ）BE CD 3+1 4， PE PD連接 AP，則 RtAEP RtADP （ HL ），則 AE AD 1AB AE+BE 56、如圖， AB 是 O 的直徑， MN 是弦， AEMN 于 E， BFMN 于 F， AB 10， MN 8.求 BFAE 的值 .解： AEMN ，BFMN ，則 AE BF，A B如圖，延長(zhǎng)EO 交

12、BF 于點(diǎn) G，則AOE BOG ，AO BO AOE BOG （ AAS ），則 OE OG過(guò)點(diǎn) O 作 OHMN ，F(xiàn)G2OH，HN 4連接 ON ，則 ON 5，OH52423 ，則 BG AE FG 6.歡迎下載6精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題4 圓與勾股定理1、如圖， O 是 BCN 的外接圓，弦ACBC ，點(diǎn) N 是 AB 的中點(diǎn)，BNC 60 ，BN求 BC 的值.解：如圖，連接AB ，則 AB 為直徑，BNA 90連接 AN ，則 BN AN ，則 ABN 是等腰直角三角形2BNAB ；又BAC BNC 60 ，23BC 2BN6AB， BC 3（方法 2，過(guò)點(diǎn) B 作 BDCN ，即可

13、求解）2、如圖， O 的弦 ACBD ，且 AC BD ，若 AD 22 ，求 O 半徑 .解：如圖，作直徑AE ，連接 DE，則ADE 90又 ACBD，則ADB DAC ADB EDB 90DAC EDB ，則 CDBE ， DEBC ， AC BD， ACCD ，則 ADBCDEAD DE ，即 ADE 是等腰直角三角形AE 2 AD 4，即 O 的半徑為 23、如圖， AB 為 O 的直徑， C 為 O 上一點(diǎn)， D 為 CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CAD 45 ，CEAB 于點(diǎn) E， DFAB 于點(diǎn) F.（ 1）求證： CE EF；（2）若 DF 2，EF4，求 AC.（ 1）證：AB 為

14、 O 的直徑，CAD 45 ，則 ACD 是等腰直角三角形，即AC DC又 CEAB ，則CAE ECB如圖，過(guò)點(diǎn)C 作 CG 垂直 DF 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G又 CEAB ，DFAB ，則四邊形CEFG 是矩形，AEC DGC 90 EF CG， CEDG ，則 ECB CDG CAE ACE DCG （AAS ），則 CE CG EF（ 2）略解： AC CD 42622 13.歡迎下載7精品文庫(kù)4、如圖， AB 為 O 的直徑， CDAB 于點(diǎn) D， CD 交 AE 于點(diǎn) F， ACCE .（ 1）求證： AF CF；（ 2）若 O 的半徑為 5， AE 8，求 EF 的長(zhǎng)（ 1）證：如圖，延

15、長(zhǎng) CD 交 O 于點(diǎn) G，連接 AC直徑 ABCG，則 AG AC CE CAEACG ，則 AF CF（ 2）解：如圖，連接OC 交 AE 于點(diǎn) H，則 OCAE ，EH AH 12 AE=4 OH 52423，則 CH 5 32設(shè) HF x ，則 CF AF 4 x則 x222(4x)2 ， x3，即 HF32211 EF25、如圖，在 O 中，直徑CD弦 AB 于 E， AMBC 于 M ，交 CD 于 N ，連接 AD.（ 1）求證： AD AN ；（ 2）若 AB 4 2 ，ON1，求 O 的半徑 .（ 1）證： CD AB ，AMBCCCNM CB 90B CNM ，又B D，

16、AND CNM D AND ，即 AD AN（ 2）解：直徑 CD 弦 AB ，則 AE 2 2又 ANAD ，則 NEED如圖，連接OA ，設(shè) OE x ，則 NE ED x1 OA OD 2x 1 x2 (2 2) 2 (2 x 1)2 ，則 x 1 O 的半徑 OA 3歡迎下載8精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題5 圓中兩垂直弦的問(wèn)題1、在 O 中，弦 ABCD 于 E，求證：AOD BOC 180 .證： 如圖，連接AC ，ABCD ，則CAB ACD 90又AOD 2ACD ，BOC 2BAC AOD BOC 180 .2、在 O 中，弦 ABCD 于點(diǎn) E，若 O 的半徑為 R，求證： AC2

17、BD 2 4R2.證： ABCD ，則CAB ACD 90如圖，作直徑AM ，連接 CM則ACM ACD DCM 90CAB DCM ， BC DM CM BD，CM BDAC2CM2AM 2AC 2 BD 2 4R2.3、在 O 中，弦 ABCD 于點(diǎn) E，若點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn)，求證 ME BD.證： 如圖，連接 ME ，并延長(zhǎng)交 BD 于點(diǎn) FABCD ，且點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn)ME 為 Rt AEC 斜邊上的中線AM MEA AEM BEF又BC，A C 90 BEF B 90 ，即 BFE 90MEBD.歡迎下載9精品文庫(kù)14、在 O 中，弦 ABCD 于點(diǎn) E，若 ONBD

18、于 N ，求證： ONAC.2證：如圖，作直徑BF ，連接 DF，則 DF BD，又 ON BD，ONFD，又 OBOF1ON DF2連接 AF ，則 AFAB ，又 CDAB AF CD ACFD ，則 AC FD1ON AC25、在 O 中，弦 ABCD 于點(diǎn) E，若 AC BD ，ONBD 于 N， OMAC 于 M.（ 1）求證： ME / / ON；（ 2）求證：四邊形 OMEN 為菱形 .證：（ 1）如圖，延長(zhǎng)ME 交 OD 于點(diǎn) FOMAC ，則點(diǎn) M 為 AC 的中點(diǎn) ABCD ，則 ME 為 Rt ACE 的斜邊上中線 AM EM ，A AEM BEF又B C，A C 90B

19、 BEF 90，則BFE 90 MF BD ，又 ON BD MF ON（ 2）由（ 1）知 MF ON ，同理可證 OM NE ，四邊形 OMEN 是平行四邊形AC BD ， OM ON四邊形OMEN 為菱形 .歡迎下載10精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題6 圓與內(nèi)角（外角）平分線一 圓與內(nèi)角平分線問(wèn)題往往與線段和有關(guān)，實(shí)質(zhì)是對(duì)角互補(bǔ)的基本圖形1、如圖， O 為 ABC 的外接圓，弦CD 平分ACB ，ACB 90 .求證： CA CB2 CD.證：如圖，在CA 的延長(zhǎng)線上截取AE BC ，連 DE ， AD ， BDCD 平分ACB ， AD BD又 DAE DBC ，AE BC DAE DBC （

20、SAS）CD DE ，又ACD 45 CDE 是等腰直角三角形，則CA CBCE 2CD.2、如圖， O 為 ABC 的外接圓，弦CD 平分ACB ，ACB 120，求CA+CB的值 .CD解：如圖，在 CA 的延長(zhǎng)線上截取AE BC，連 DE，AD， BDCD 平分ACB ， AD BD又 DAE DBC ，AE BC DAE DBC （ SAS）CD DE ，又ACD 60 CDE 是等邊三角形CD CE CA BC ，即CA+CB1CD3、如圖，過(guò)O、 M (1,1)的動(dòng)圓 O1 交 y 軸、 x 軸于點(diǎn) A 、 B，求 OA OB 的值 .解：如圖，過(guò)點(diǎn)M 作 MEy 軸， MFx 軸

21、，連 AM 、 BM由 M （ 1， 1）知：四邊形OFME 是正方形OE OF 4， EM FM ，又MBF MAE ， AEM BFM （ AAS ），則 AE BFOA OB AE OE OF BF 8.歡迎下載11精品文庫(kù)二 圓中的外角問(wèn)題往往與線段的差有關(guān)4、如圖， O 為 ABC 的外接圓，弦CP 平分 ABC 的外角ACQ ，ACB 90 .求證：（ 1） PAPB ；（ 2） AC BC2 PC.證：（ 1）如圖，連接AP，則PCQPAB又PCQPCA ，則PABPCA PA PB（ 2）連接 BP ，由（ 1）得， PA PB在 AC 上截取 AD BC ，連 PD，又PAD

22、 PBC PAD PBC （ SAS），則 PD PC又PCD 45 ，則 PCD 是等腰直角三角形，AC BC CD 2 PC.5、如圖， O 為 ABC 的外接圓，弦 CP 平分 ABC 的外角ACQ ， ACB 120 .求BCAC的值 .PC解：如圖，在BC 上截取 BD AC ，連 AP、 BP、 DP PCB PCQ PBAAP BP，又CAP DBP CAP DBP （ SAS），則 CP DP又ACB 120，PCD 30 ，BCACCD3PCPC6、如圖， A (4,0) ，B (0, 4) ， O1 經(jīng)過(guò) A 、B、O 三點(diǎn)， 點(diǎn) 這 P 為 OA 上動(dòng)點(diǎn)（異于 O、A ）

23、.PB PA的值 .求PO解：如圖，在BP 上截取 BC APA (4,0)，B (0, 4)，則 OA OB4又 OAP OBC OAP OBC （SAS）OC OP，且COPAOB 90，則PB PAPC 2 .POPO歡迎下載12精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題7 與切線有關(guān)的角度計(jì)算一 切線與一個(gè)圓答案：1、 70 ；2、 20；3、 80；4、 120 ； 5、 130；6、 451、如圖， AD 切 O 于 A ，BC 為直徑，若ACB 20，則CAD .2、如圖， AP 切 O 于 P， PB 過(guò)圓心， B 在 O 上，若ABP 35，則APB .3、如圖， PA、PB 為 O 的切線， C

24、 為 ACB 上一點(diǎn)，若BCA 50，則APB.第1題第2題第3題4、如圖， PA、PB 為 O 的切線， C 為 AB 上一點(diǎn)，若BCA 150 ，則APB .5、如圖，點(diǎn)O 是 ABC 的內(nèi)切圓的的圓心，若BAC 80 ，則BOC.6、如圖， PA 切 O 于 A，若 PA AB ， PD 平分APB 交 AB 于 D，則ADP . （設(shè)元，列方程）第 4 題第 5 題二 切線與兩個(gè)圓7、如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB 、AC分別切小圓于 D 、E，小圓的 DE 的度數(shù)為 110，則大圓的 BC 的度數(shù)為.第 6 題第 7 題第 8 題第 9 題8、如圖， O1 和 O2交于 A

25、、B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) O1 在 O2 上，若D110 ，則C9、如圖， O1 和 O2外切于 D， AB 過(guò)點(diǎn) D，若AO 2D 100， C 為優(yōu)弧 BD 上任一點(diǎn)，則 DCB. 答案：7、 140 ；8、40 ；9、 50（過(guò)點(diǎn) D 作兩圓的切線）歡迎下載13精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題8 與切線有關(guān)的長(zhǎng)度計(jì)算1、如圖，在 O 的內(nèi)接 ACB 中，ABC 30 ， AC 的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)D 的切線 BD 交于1，BD / / OC，則 CD3點(diǎn) D ，若 O 的半徑為. （CD 3）2、如圖 ABC 內(nèi)接于 O，AB BC，過(guò)點(diǎn) A 的切線與 OC 的延長(zhǎng)線交于D，BAC 75，CD 3，則 AD .

26、（AD 3）3、如圖， O 為 BCD 的外接圓，過(guò)點(diǎn)C 的切線交 BD 的延長(zhǎng)線于 A，ACB 75 ，CDCDABC 45 ，則 DB的值為. （DB2 ）第1題第2題第3題第4題4、如圖， AB 為 O 的直徑，弦DC 交 AB 于 E，過(guò) C 作 O 的切線交DB 的延長(zhǎng)線于M ，若 AB4，ADC 45 ，M 75 ，則 CD. （CD 23）5、如圖，等邊ABC 內(nèi)接于 O， BD 切 O 于 B，ADBD 于 D， AD 交 O 于 E， O的半徑為1，則 AE.（AE 1）6、如圖， ABC 中，C 90 ， BC 5， O 與 ABC 的三邊相切于D、 E、 F，若 O 的半

27、徑為 2，則 ABC 的周長(zhǎng)為. （ C 30）7、如圖， ABC 中，C 90 ，AC 12，BC 16，點(diǎn) O 在 AB 上， O 與 BC 相切于 D，連接 AD ，則 BD . （示：過(guò)D 作 DEAB ，設(shè) CD DE x ， BD 10）第5題第6題第7題解題策略：連半徑，有垂直；尋找特殊三角形；設(shè)元，構(gòu)建勾股定理列方程.歡迎下載14精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題9 圓的切線與垂徑定理1、如圖， AB 為 O 的直徑， C 為 AE 的中點(diǎn)， CDBE 于 D.（ 1）判斷 DC 與 O 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（ 2）若 DC 3， O 的半徑為 5，求 DE 的長(zhǎng) .解：（ 1） DC

28、是 O 的切線，理由如下：如圖，連接OC，BC ，則ABC CBD OCB OCBD ，又 CDBE OCCD，又 OC 為 O 的半徑DC 是 O 的切線（ 2）如圖，過(guò)O 作 OFBD ，則四邊形OFDC 是矩形，且BE EF OF CD 3， DF OC 5， EF BF52324 ， DE DF EF 12、如圖， AB 為 O 的直徑， D 是 BC 的中點(diǎn)， DEAC 交 AC 的延長(zhǎng)線于E， O 的切線BF 交 AD 的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.（ 1）求證： DE 為 O 的切線；（ 2）若 DE 3， O 的半徑為 5，求 DF 的長(zhǎng) .（ 1）證：顯然，CAD OAD ODAODAE

29、，又 DEAC ，ODDE ，又 OD 為 O 半徑DE 為 O 的切線（ 2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O 作 OG AC ，則 OGDE 是矩形，即 OG DE 3， DE OD 5AG52 324 ，則 AE 5 4 9，92323 10連接 BD ，則 BDAD ， BD 102(310) 210設(shè) DF x ，則 x2( 10) 2 BF (x3 10)2102 ， DF x10.3歡迎下載15精品文庫(kù)3、如圖，四邊形ABCD 內(nèi)接于 O， BD 是 O 的直徑， AECD 于 E， DA 平分BDE.（ 1）求證： AE 是 O 的切線；（ 2）若 AE 2，DE 1，求 CD 的長(zhǎng) .（ 1

30、）證：如圖，連接OA ，則ADE ADO OAD OACD，又 AE CDOAAE ，又 OA 為 O 的半徑AE 是 O 的切線（ 2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O 作 OFCD，則 CD 2DF ，且四邊形OFEA 是矩形 EF OA OD， OF AE 2設(shè) DF x ，則 OD EF x 1 x222( x 1)2 ， x 1.5 CD 2CF 2x 34、如圖， AE 是 O 的直徑， DF 切 O 于 B，ADDF 于 D， EFDF 于 F.（ 1）求證： EF AD AE ；（ 2）若 EF 1， DF 4，求四邊形 ADFE 的周長(zhǎng) .（ 1）證：如圖，連接 CE，則四邊形 CDFE 是

31、矩形連接 OB交CE于點(diǎn)G， DF 是 O 的切線 OB DF ，OB CE BGCD EF，OGAC ，又 AO OE AC 2OG EF AD AC CD EF 2OG 2BG 2OB AE.（ 2）解：顯然 CEDF 4， CDEF1設(shè) ACx，則 ADx1x 2， AE x242( x 2) 2 ，則 x3，則 AC 3，AD 4，AE 5四邊形 CDFE 的周長(zhǎng)為 14.歡迎下載16精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題10 圓的切線與勾股定理1、如圖，已知點(diǎn)A 是 O 上一點(diǎn)，半徑OC 的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A 的直線交于點(diǎn)B， OCBC ，1AC OB.2（ 1）求證： AB 是 O 的切線；（ 2）若A

32、CD 45 ，OC 2，求弦 CD 的長(zhǎng) .（ 1）證： OCOB ， AC 為 OAB 的 OB 邊上的中線，又AC 1 OB2 OAB 是直角三角形，且OAB 90，又 OA 為 O 的半徑 AB 是 O 的切線（ 2）解：顯然， OA OCAC ，即 OAC 是等邊三角形AOC 60，D 30如圖，過(guò)點(diǎn)A 作 AECD 于點(diǎn) E， ACD 45 ， AEC 是等腰直角三角形，2AC 22 ，DE3AE 6AE CEOC22CD622、如圖， PA、PB 切 O 于 A 、B，點(diǎn) M 在 PB 上，且 OM / / AP，MNAP 于 N.（ 1）求證： OM AN ；（ 2）若 O 的半

33、徑 r3， PA 9，求 OM 的長(zhǎng) .（ 1）證：如圖，連接OA ， PA 為 O 的切線，OAAP ，又 MNAPOAMN ，又 OM / / AP，四邊形 OANM 是矩形，即 OM AN （ 2）解：如圖，連接 OB ， PB 、PA 為 O 的切線 OBM MNP 90 ，PB PA 9 OM / / AP，OMB P，又 OB OA MN ， OBM MNP （AAS ）OM PM，則 32OM 2（ 9OM ）2， OM 5歡迎下載17精品文庫(kù)3、如圖， AB 為 O 的直徑，半徑OCAB ， D 為 AB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)D 作 O 的切線，E 為切點(diǎn)，連接CE 交 AB 于

34、F.（ 1）求證： DE DF ；（ 2）連接 AE ，若 OF1， BF 3，求 DE 的長(zhǎng) .（ 1）證：如圖，連接 OE PE 為 O 的切線， OE DE ，又 OC ABCCFOOEFDEF 90又COCF，CFODFE DEF DFE ， DE DF（ 2）解：顯然， OE OB OFBF4設(shè) BD x ，則 DE DF x 3 ， OD x 4 (x3)242( x4) 2 ， x4.5 DE 7.54、如圖，正方形ABCO 的頂點(diǎn)分別在y 軸、 x 軸上，以 AB 為弦的 M 與 x 軸相切于 F，已知 A (0,8) ，求圓心M 的坐標(biāo) .解：如圖，連接FM 交延長(zhǎng)交AB 于

35、點(diǎn) E M 與 x 軸相切，即OC 是 M 的切線 EF OC，又四邊形 ABCO 是正方形EFAB ，又 A （0，8）即 AB EM OA 8 AE 4設(shè) MF AM x ，則 EM 8 x 42(8x)2x2 ， x5 ，即 MF 5點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（4， 5）歡迎下載18精品文庫(kù)圓的培優(yōu)專題11 圓的切線與全等三角形1、如圖， BD 為 O 的直徑， A 為 BC 的中點(diǎn)， AD 交 BC 于 E，過(guò) D 作 O 的切線，交BC的延長(zhǎng)線于F. （ 1）求證： DF EF；（ 2）若 AE 2， DE 4，求 DB 的長(zhǎng) .（ 1）證：如圖，連接AB BD 為 O 的直徑， DF 為 O

36、 的切線BAD BDF 90ABC AEB ADB FDE 90又ABC ADB ，AEB DEF DFE DEF ， DE EF（ 2）解：如圖，過(guò)點(diǎn) F 作 FG ED ，則 EGGD 2 AE ，又BAE FGE90，AEB GEF ， ABE GFE（ ASA ）， BE EF，即 DE 為 RBDF 的斜邊上中線 DF EF DE 4， BF 8，則 BD 4 32、如圖， AB 為 O 的直徑， C、 D 為 O 的一點(diǎn)， OCAD ，CFDB 于 F.（ 1）求證： CF 為 O 的切線；（ 2）若 BF 1，DB 3，求 O 的半徑 .（ 1）證： AB 為 O 的直徑DFAD

37、 ，又 OCAD OCDF ，又 CF DB OCCF，又 OC 為 O 的半徑 CF 為 O 的切線（ 2）解：如圖，過(guò)點(diǎn) C 作 CE BD 于點(diǎn) E，則 BE DE 1.5， EF 2.5又 OC CF，CF EF四邊形OCFE 是矩形 O 有半徑 OC EF 2.5歡迎下載19精品文庫(kù)3、如圖，以 O 的弦 AB 為邊向圓外作正方形ABCD.（ 1）求證： OC OD；（2）過(guò) D 作 DM 切O 于 M，若 AB2，DM2 2，求 O 的半徑 .（ 1）證：如圖，連接 OA 、 OB ，則 OA OBOAB OBA四邊形ABCD 是正方形AD BC，DAB CBA 90OAD OBC

38、 OAD OBC （SAS） OCOD（2）解：如圖，連接OM 、BD ，則 OMDM ，且 BD 2 AB 2 2 DM又 OM OB，OD OD ， ODM ODB （ SSS） OBBD ，又ABD 45 OAB 45 ，即 OAB 是等腰直角三角形OA2AB 224、如圖，在 ABC 中， AC BC ，ACB 90 ，以 BC 為直徑的 O 交 AB 于 D.（ 1）求證： AD BD ；（ 2）弦 CE 交 BD 于 M ，若 S ABC 3S BCM ，求BD.CE（ 1）略證：連接CD ，則 CDAB又 AC BC，ACB 90 ， AD BD（ 2）解：如圖，連接BE ，過(guò) A 作 ANCE 于 N， S ABC3S BCM ， S ACM2S BCMAN 2BECAN BCE， AC BC，ANC CEB ANC CEB （ AAS ） BE CN ，CE AN設(shè) CNBE x ，則