平面向量中三點(diǎn)共線定理妙用

1、平面向量中“三點(diǎn)共線定理”妙用點(diǎn)共線定理：在平面中A、B、P三點(diǎn)共線的充要條件是：對于該平面內(nèi)任意一點(diǎn)由該定理可以得到平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理:1。對平面內(nèi)任意的兩個(gè)向量a,b(b O),a/b的充要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使a buuvIVUJV的0,存在唯一的一對實(shí)數(shù) x,y使得：OP xOA yOB且x y特別地有：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，x 0,y0當(dāng)點(diǎn)P在線段AB之外時(shí)，xy 0筆者在經(jīng)過多年高三復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用平面向量中三點(diǎn) 共線定理與它的兩個(gè)推廣形式解決高考題，模擬題往往會(huì)使會(huì)問題的解決過程變得 十分簡單！本文將通過研究一些高考真題、模擬題和變式題去探究平面向量中三點(diǎn) 共線定理與它的

2、兩個(gè)推廣形式的妙用，供同行交流。例1 (06年江西高考題理科第7題)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為 S，若uuj uuriuuOB a1OA a200OC，且A、B、C三點(diǎn)共線，(設(shè)直線不過點(diǎn)0),則Soo=()A. 100B. 101C. 200D. 201解:由平面三點(diǎn)共線的向量式定理可知：a1+a200=1,二S200 200(aa20°) 100,故選Ao2點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與等差數(shù)列求和問題巧妙地結(jié)合在一起，是一道經(jīng) 典的咼考題。例2已知P是 ABC的邊BC上的任一點(diǎn)，且滿足APxAByAC,x.y的最小值是解：Q點(diǎn)P落在VABC的邊BC上B,jujuurxAB y

3、ACP,C三點(diǎn)共線jjj Q AP且 x>0,y>014(-)1x y1(x4)(x yQ x>0,y>0由基本不等式可知:4x5 丫x4xyy4y4x2：y4xxy:xy4，取等號時(shí)yy) 1 -xy 4x2212y 4x y 2xQ x 0, y 0 y 2xQx y 1 x -,y ，符合x y3314所以丄4的最小值為9x y點(diǎn)評：本題把平面三點(diǎn)共線問題與二元函數(shù)求最值、基本不等式巧妙地結(jié)合在一起,較綜合考查了學(xué)生基本功.例3 （湖北省2011屆高三八校第一次聯(lián)考理科）如圖 2,在厶ABC中,UULT AN1 UULT -NC， 3點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，uuu 若

4、APUUL 2 UULTmAB AC，則實(shí)數(shù)m的11值為()9532A.B.C.D.11111111uuu解：Q B,P,N三點(diǎn)共線，又Q APuuumAB2 UULT AC 11uuumAB2 uuut 4AN 118m -11m -，故選C11例4 （07年江西高考題理科）如圖圖2uuumAB空ANT113,在厶ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB AC于不同的兩點(diǎn)M的值為.解：Q因?yàn)镺是BC的中點(diǎn)，故連接AOuuur 1 uur uuur四邊形法則可知：AO丄(AB AC)2uur uuuu uuur uuurQ AB= mAM，AC nANuuur 1umuruult

5、AO -(mAM nAN )2UULT m UUUU n UULTAO AM AN2 2又Q M,O, N三點(diǎn)共線，uuu-,N,若 AB = m AM ， AC =如圖4，由向量加法的平行由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得： -2 2例5 （廣東省2010屆高三六校第三次聯(lián)）如圖5所示：點(diǎn)G是厶OAB的重心，P、分別是邊 OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，且 P、G、Q三點(diǎn)共線.1 1設(shè)OP xOA，OQ yOB，證明：是定值；x yQ證明：Q因?yàn)镚是VOAB的重心,UULTOG2 1 uuu uuu -(OA OB)3 21 uuu -(OA3uiurOB)ULurQOPuuuuuuxOAOA1 uuu -OP

6、xuuurQOQUULTOG1 UUU UUU11 uuu-(OA OB) _(_0P 33 x1 uuir OQ) y又Q P,G,Q三點(diǎn)共線，1 1 13x 3yuuuyOBuiurOB1 uuir -OQ y圖5uuur1 uuu1 ULUOG OPOQ3x3y1 13111為定值3x yxy1 UULT丄AD ,CE與BF相交于G4圖6解：Q E,G,C三點(diǎn)共線,例6 （汕頭市東山中學(xué)2013屆高三第二次模擬考試）如圖 6所示,uuu 1 uuu mur 在平行四邊形 ABCD中, AE AB,AF 3uuu r uuur ruur點(diǎn)，記 AB a，AD b，則 AGa2r1 rc2

7、r3r3r1 r4 r2rA. abB. ab C.abD.ab77777777分析：本題是以平面幾何為背景，為載體，求向量的問題，所以我們很容易聯(lián) 想到點(diǎn)F、G B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上，可用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理求解。由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)x使得uuLr AGuuu xAEuuir(1 x)ACuuir,Q AE1 UUUAB31 r-a ,3uuur r AC auuLr1 rrr2xrrAGx -a(1 x)(ab)(1)a(1x)b -33又Q F,G,B三點(diǎn)共線,由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)使得unrAGuurAB (1uuu)AFULUQ

8、 AF1 uuur -AD 41b ,，4uurAGra (1Jb )4b1空6x -由兩式可得：37131 x47uuir3 r1 rAGa-b77點(diǎn)評：本題的解法中由兩組三點(diǎn)共線F、G B以及E,G,C三點(diǎn)在一條直線上），M利用平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理構(gòu)造方程組求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本 定理解答本題的運(yùn)算復(fù)雜，達(dá)到了簡化解題過程的效果。例6的變式一：如圖7所示，在三角形 ABC中,AM : AB=1: 3,AN : AC=1： 4,BN與CM相交于點(diǎn)P,且AB a ,AC b，試用 a、b 表示 AP解：Q N,P,B三點(diǎn)共線,由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得：存在唯一的一對實(shí)數(shù)圖 7x

9、,yUUU UUU UULT 使得 AP xAB yAN,xQAN： AC=1： 4, ANIac41 UUU UUU y UULT -b AP xAB AC 44T y t T 1 xxa b xa 44又QC,P,M三點(diǎn)共線,由平面內(nèi)三點(diǎn)共線定理可得:存在唯一的一對實(shí)數(shù)使得uurAPuuuu AMUUUTAC,1/ AM： AB=1 : 3 AMIab31 a ,3uurAP由兩式可得:13x43112111,UUU 3 T 2 T AP a b 11例6的變式二：如圖8所示：直線11l過YABCD勺兩條對角線AC與 BD的交點(diǎn)0,與AD邊交于點(diǎn)N,與AB的延長線交于UUU” UULT-點(diǎn)

10、 M 又知 AB = mAM , AD = nAN，貝U m n=解：因?yàn)辄c(diǎn)O兩條對角線UULT 1 UUU UUUTAO (AB AD) 2UULT 1 UUULTUULTAO -(mAM nAN ) 2AC與BD的交點(diǎn)，所以點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)UUU UULTQ AB = mAM , AD = nANy/jB圖8Bp_811m UUUU n UULT AM AN 2 2又QM,O,N三點(diǎn)共線,由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可得:定理的推廣:推廣1:如圖9所示：已知平面內(nèi)一條直線AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)O與P.點(diǎn)O,P位于直線AB異側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對實(shí)數(shù) x,y使得：UOLV xoX yOU

11、V 且 x y 1。推廣2:如圖10所示：已知平面內(nèi)一條直線 AB,兩個(gè)不同的點(diǎn)0與P.點(diǎn)0,P位于直線 AB同側(cè)的充要條件是：存在唯一的一對實(shí)數(shù)uuvOPuv uuvxOA yOB 且 x y 1。x,y使得：圖10uuu例7已知點(diǎn)P為VABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 APVABC的內(nèi)部，如圖11,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（1 uuu uiurAB tAC(t3)R）,若點(diǎn)P落在A. (0,3)41 3B. (2,4) C.(0J)D.圖11A圖12解：Q點(diǎn)P落在VABC的內(nèi)部 A,P兩點(diǎn)在直線BC的同一側(cè)，由推論2知：1 t 1 t 2，所以選D33例8 （06年湖南高考題文科） 如圖12： OMT

12、 AB,點(diǎn)P由射線 OM線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）.且OP xOA yOB，則實(shí)數(shù)對（x,y）可以是（）A. （4,3）B. （ 2,2）C. （ 4,3）D.4 43 34 4(解：由題目的條件知：點(diǎn)O與點(diǎn)P在直線AB的同側(cè)，所以x y1，所以A,D兩選項(xiàng)不符合。對于選項(xiàng)B、C,都有x1,uuu uuu tOA tOB2但當(dāng)x 2時(shí)，3如果點(diǎn)P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可知:uuu uuu如果點(diǎn)P在直線OM上，OM AB可知：OP|AB，由平面向理共線定理可知：存在uuu uuuuuu uuu唯一的實(shí)數(shù) t, 使得 OP tAB t(OB OA)Q

13、OP xOA yOB t x,t y 又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線AB OM之間，所以J y f，故B選不符合1153對選項(xiàng)C同理可知：當(dāng)x2時(shí)，2 y 5，故y-符合，4444例9 （06年湖南高考題理科）如圖13,0M/ AB,點(diǎn)P在由射線0M線段0B及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)uuuuuuuu動(dòng),且 OP xOA yOB ,當(dāng)所以選C解：當(dāng)x2時(shí),如果點(diǎn)如果點(diǎn)ix 2時(shí)，y的取值范圍P在直線AB上，則由平面內(nèi)三點(diǎn)共線的向量式定理可知:P在直線OMLh，OM AB可知:uuu uuuuuu uu唯一的實(shí)數(shù)t,使得OP tAB t(OB OA)t 2,y 2，又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩平行直線

14、2 2的取值范圍是：（匸，）2 2練習(xí):uiu uunOPPAB，由平面向理共線定理可知：存在urntOAAB3. OAB，點(diǎn)P在邊AB上,AB3AP，設(shè)OAuuu則OP( )“ 1 r2r2r1rA. abB.ab3333uuu uuu uuuC.2rb3D. 2a3uuu _一.tOB, Q OP xOAOM之間，所以1r uuu ra, OB b，1、平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（3,1）,耳-1,3）,uuu卩OB，其中a ,卩 R且a +卩=1，則x, y所滿足的關(guān)系式為（2 2A. 3x+2y-11=0B . （x-1） +（y-2） =5 C . 2x-y=0yOB

15、t x,t y所以實(shí)數(shù)yc若點(diǎn) C( x, y)滿足 OC = a OA +)D . x+2y-5=0142、已知P是 ABC的邊BC上的任一點(diǎn)，且滿足 AP xAB yAC,x.y R，貝U-x y的最小值是3、在平行四邊形 ABCD中, 0是對角線AC與BD的交點(diǎn)，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)?F。已知 AB = a, AD = b ,則 OF 二(111A. a+ b B.(a+ b)364C. -(a+ b)6D. - a+ - b644、(2014屆東江中學(xué)高三年級理科第三次段考)在平行四邊形ABCDK E、F分別是BCCD的中點(diǎn)，DE交AF于H,記AB BC分別為a、b，則

16、()a、2424a. 5a 5b B . 5a+5b2424C. a+ b D.二a b55555、( 2008年廣東卷)在平行四邊形uuiruuur的延長線與CD交于點(diǎn)F .若AC a， BDABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O, E是線段OD的中點(diǎn)，AE uuub，則 AF ()11 ,21 ,A a-b B.ab423311 ,12,C.一 abD. ab24336、在平行四邊形abcdLuuuAE1 uuu uuuAB, AF31 uuur-AD ,CE與BF相交于點(diǎn)4G,記uuuuiurAB a，AD b，則AGA21 ,23,31 ,A. _ a-b BabCab777777=()4D. a72b7uuur7、在 ABO中，已知 OC1