1995年考研數(shù)學(xué)三真題及全面解析

1、1995 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 15 分 .把答案填在題中橫線上.) (1) 設(shè)1( )1xf xx, 則( )( )nfx . (2) 設(shè)()yzxyfx,( )f u可導(dǎo) , 則xyxzyz . (3) 設(shè)(ln)1fxx, 則( )f x . (4) 設(shè)100220345a,a是a的伴隨矩陣 , 則1()a . (5) 設(shè)12,nxxx是來自正態(tài)總體2( ,)n的簡單隨機(jī)樣本, 其中參數(shù)和2未知 ,記22111,() ,nniiiixx qxxn則假設(shè)0:0h的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量t_. 二、選擇題 ( 本題共 5

2、 小題 ,每小題3 分, 滿分 15 分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中, 只有一項(xiàng)符合題目要求 , 把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).) (1) 設(shè)( )f x為可導(dǎo)函數(shù) , 且滿足條件0(1)(1)lim12xffxx, 則曲線( )yf x在點(diǎn)(1, (1)f處的切線斜率為 ( ) (a) 2 (b) 1 (c) 12 (d) 2(2) 下列廣義積分發(fā)散的是 ( ) (a) 111sindxx (b) 12111dxx (c) 20 xedx (d) 221lndxxx(3) 設(shè)矩陣m na的秩為()r amn,me為m階單位矩陣 , 下述結(jié)論中正確的是 ( ) (a) a的任意m個(gè)行向量必線

3、性無關(guān)(b) a的任意一個(gè)m階子式不等于零(c) 若矩陣b滿足0ba, 則0b(d) a通過初等行變換, 必可以化為(,0)me的形式(4) 設(shè)隨機(jī)變量x和y獨(dú)立同分布 , 記,uxy vxy, 則隨機(jī)變量u與v必然( ) (a) 不獨(dú)立 (b) 獨(dú)立 (c) 相關(guān)系數(shù)不為零 (d) 相關(guān)系數(shù)為零(5) 設(shè)隨即變量x服從正態(tài)分布2( ,)n, 則隨的增大 , 概率px ( ) (a) 單調(diào)增大 (b) 單調(diào)減少 (c) 保持不變 (d) 增減不定三、 ( 本題滿分6 分) 設(shè)2202(1cos ),0( )1,01cos,0 xxxxf xxt dtxx, 試討論( )f x在0 x處的連續(xù)性

4、和可導(dǎo)性. 四、 ( 本題滿分6 分) 已知連續(xù)函數(shù)( )f x滿足條件320( )3xxtf xfdte, 求( )f x. 五、 ( 本題滿分6 分) 將函數(shù)2ln(12)yxx展成x的冪級(jí)數(shù) , 并指出其收斂區(qū)間. 六、 ( 本題滿分5 分) 計(jì)算22()min , xyx y edxdy. 七、 ( 本題滿分6 分) 設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為()qq p, 收益函數(shù)為rpq, 其中p為產(chǎn)品價(jià)格 ,q為需求量( 產(chǎn)品的產(chǎn)量 ),()q p為單調(diào)減函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為0p, 對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為0q時(shí), 邊際收益00q qdradq, 收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)00ppdrcdp, 需求對(duì)價(jià)格的彈性1peb.求

5、0p和0q. 八、 ( 本題滿分6 分) 設(shè)( )f x、( )g x在區(qū)間, a a(0a)上連續(xù) ,( )g x為偶函數(shù) , 且( )f x滿足條件( )()f xfxa(a為常數(shù) ). (1) 證明0( ) ( )( )aaaf x g x dxag x dx；(2) 利用 (1) 的結(jié)論計(jì)算定積分22sinarctanxxe dx. 九、 ( 本題滿分9 分) 已知向量組 ( )123,；( )1234,；( )1235, 如果各向量組的秩分別為(i)(ii)3rr,(iii)4r. 證明 :向量組12354,的秩為 4. 十、 ( 本題滿分10 分) 已知二次型22123231213

6、23(,)43448f x xxxxx xx xx x. (1) 寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；(2) 用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形 , 并寫出相應(yīng)的正交矩陣. 十一、 ( 本題滿分8 分) 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器, 以概率 0.70 可以直接出廠；以概率0.30 需進(jìn)一步調(diào)試 , 經(jīng)調(diào)試后以概率0.80 可以出廠；以概率0.20 定為不合格品不能出廠. 現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了(2)n n臺(tái)儀器 ( 假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立). 求： (1) 全部能出廠的概率；(2) 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率； (3) 其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率. 十二、 ( 本題滿分8 分) 已知隨機(jī)變量x和y的聯(lián)合概

7、率密度為4,01,01,( , )0,xyxyf x y其他 ,求x和y聯(lián)合分布函數(shù)( ,)f x y. 1995 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 15 分 .)(1) 【答案】12( 1)!(1)nnnx【解析】由于112( )12(1)1,11xf xxxx2( )2 ( 1)(1),fxx3( )2 ( 1)( 2)(1) ,fxx所以1( )(1)( )2 ( 1)!(2(1)1)!(1)nnnnnfxxnxn. (2) 【答案】2yxyfx【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 22xyyyyyyzyfxyfyffxxx

8、xxx, 1yyyyyzxfxyfxfyfxxxxx. 所以222xyyyyyyyfy fxyfy fyfxxxxxxzyzxx. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：( )yf x的導(dǎo)數(shù)為( )( )yf xfx. (3) 【答案】xxec【解析】在(ln)1fxx中令ln xt, 則( )1tfte, 從而( )1( )ttxf tedttecf xxec. (4) 【答案】100122010345【解析】由aaa e, 有aaea, 故1aaa. 而10022010345a, 所以1100122010345aaa. (5) 【答案】(1)xn nq【解析】假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)基本問題,

9、 它是根據(jù)具體情況和問題的要求, 首先提出原假設(shè)0h, 再由樣本提供的信息, 通過適當(dāng)?shù)姆椒▉砼袛鄬?duì)總體所作的假設(shè)0h是否成立. 首先分析該題是屬于一個(gè)正態(tài)總體方差未知的關(guān)于期望值的假設(shè)檢驗(yàn)問題. 據(jù)此類型應(yīng)該選取t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是0211()(1)niixxtsxxnn n, 經(jīng)過化簡得(1)xtn nq. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：(1) 確定所要檢驗(yàn)的基本假設(shè)0h；(2) 選擇檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量, 并要求知道其在一定條件下的分布；(3) 對(duì)確定的顯著性水平, 查相應(yīng)的概率分布, 得臨界值 , 從而確定否定域；(4) 由樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量, 并判斷其是否落入否定域, 從而對(duì)假設(shè)0h作出拒絕還是

10、接受的判斷. 二、選擇題 ( 本題共 5 小題 , 每小題 3 分, 滿分 15 分 .)(1) 【答案】 (d) 【解析】因00(1)(1)(1)(1)(1)limlimxxfxffxffxxxx00(1)(1)lim(1)(1)2lim2,2xxffxxffxx所以應(yīng)選 (d). (2) 【答案】 (a) 【解析】由計(jì)算知111211arcsin1dxxx, 222111lnlnln 2dxxxx, 且泊松積分202xedx, 故應(yīng)選 (a). 注：對(duì)于本題選項(xiàng)(a), 由于當(dāng)0 x時(shí)sin0 x, 故在積分區(qū)間 1,1中0 x是瑕點(diǎn) , 反常積分111sindxx應(yīng)分解為兩個(gè)反常積分之和

11、: 101110111sinsinsindxdxdxxxx, 而且111sindxx收斂的充要條件是兩個(gè)反常積分011sindxx與101sindxx都收斂 . 由于廣義積分11001lntansin2xdxx, 即101sindxx發(fā)散 , 故111sindxx發(fā)散 . 在此不可誤以為1sin x是奇函數(shù) , 于是1110sindxx, 從而得出它是收斂的錯(cuò)誤結(jié)論. (3) 【答案】 (c) 【解析】()r am表示a中有m個(gè)列向量線性無關(guān), 有m階子式不等于零, 并不是任意的, 因此 (a) 、(b) 均不正確 . 經(jīng)初等變換可把a(bǔ)化成標(biāo)準(zhǔn)形 , 一般應(yīng)當(dāng)既有初等行變換也有初等列變換, 只

12、用一種不一定能化為標(biāo)準(zhǔn)形.例如010001, 只用初等行變換就不能化成2(,0)e的形式 , 故(d) 不正確. 關(guān) 于 (c),由0ba知()( )r br am, 又()r am, 從 而()0r b, 按 定 義 又 有()0r b, 于是()0r b, 即0b. 故應(yīng)選 (c). (4) 【答案】 (d) 【解析】(,)(,)cov u vcov xy xy. (,)( ,)cov x xycov y xy(,)(,)( ,)( ,)cov x xcov x ycov y xcov y ydxdy. 由于x和y同分布 , 因此dxdy, 于是有(,)0cov u v. 由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

13、公式(,)cov x ydxdy, 所以u(píng)與v的相關(guān)系數(shù)也為零, 應(yīng)選 (d). 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】協(xié)方差的性質(zhì)：(,)(,)cov ax byabcov x y；1212(,)(,)(,)cov xxycov x ycov xy. (5) 【答案】 (c) 【解析】由于2( ,),xn將此正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化, 故0,1xn, 1211xpxp.計(jì)算看出概率px的值與大小無關(guān) . 所以本題應(yīng)選(c). 三、 ( 本題滿分6 分) 【解析】這是一道討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性的問題. 一般要用連續(xù)性與可導(dǎo)性的定義并借助函數(shù)在分界點(diǎn)處的左極限與右極限以及左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù). 222000122(1

14、cos )2lim( )limlim1xxxxxf xxx, 220000coscoslim( )limlim11xxxxt dtxf xx, 故(00)(00)(0)fff, 即( )f x在0 x處連續(xù) . 2000422020001cos1( )(0)(0)limlim01coscos12limlimlim0,22xxxxxxxt dtfxfxfxxxt dtxxxxx2002320002(1 cos )1( )(0)(0)limlim02(1 cos )2sin22(cos1)limlimlim0.36xxxxxxf xfxfxxxxxxxxxx即(0)(0)0ff, 故( )f x在

15、0 x處可導(dǎo) , 且(0)0f. 四、 ( 本題滿分6 分) 【解析】首先, 在變上限定積分中引入新變量3ts, 于是3003( )3xxtfdtf s ds. 代入題設(shè)函數(shù)( )f x所滿足的關(guān)系式, 得20( )3( )xxf xf s dse. 在上式中令0 x得(0)1f, 將上式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得2( )3 ( )2xfxf xe. 由此可見( )f x是一階線性方程2( )3 ( )2xfxf xe滿足初始條件(0)1f的特解 . 用3xe同乘方程兩端, 得3( )2xxf x ee, 積分即得32( )2xxf xcee. 由(0)1f可確定常數(shù)3c, 于是 , 所求的函數(shù)是32(

16、 )32xxf xee.五、 ( 本題滿分6 分) 【解析】由212(1 2 )(1)xxxx知2ln(12)ln(1 2 )ln(1)xxxx. 因?yàn)?31ln(1)( 1)23nnxxxxxn, 其收斂區(qū)間為( 1,1)；又231( 2 )( 2 )( 2 )ln(12 )( 2 )( 1)23nnxxxxxn, 其收斂區(qū)間為1 1,2 2. 于是有121111( 2 )( 1)2ln(12)( 1)( 1)nnnnnnnnnxxxxxnnn, 其收斂區(qū)間為1 1,2 2. 【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】收斂區(qū)間：若冪級(jí)數(shù)0nnna x的收斂半徑是正數(shù)r, 則其收斂區(qū)間是開區(qū)間(,)r r；若其收斂半徑是

17、, 則收斂區(qū)間是(,). 六、 ( 本題滿分5 分) 【解析】 方法一 ：本題中二重積分的積分區(qū)域d是全平面 , 設(shè)0a, ( , )|,adx yaxaaya, 則當(dāng)a時(shí), 有add. 從而2222()()min , limmin , axyxyadix y edxdyx y edxdy. 注意當(dāng)xy時(shí),min, x yx；當(dāng)xy時(shí),min, x yy. 于是222222()()()min , aayaxxyxyxyaaaadx y edxdydyxedxdxyedy, 且2222222222()()22()2211()2211.22axaxaxyxyxaxaaaaaaaaxxaadxyed

18、ydxed xyeedxeedxedx由于2xedx, 從而可得222()21lim0lim2axaxyxaaaaadxyedyedx22212lim2 22 2ataatxedt. 同理可得22()lim2 2ayxyaaadyxedx. 于是222i. 方法二 ：設(shè)0r, 則圓域222( , ) |rdx yxyr當(dāng)r時(shí)也趨于全平面, 從而2222()()min , limmin , rxyxyrdix y edxdyx y edxdy. 引入極坐標(biāo)系cos ,sinxryr, 則當(dāng)04與524時(shí),min, sinx yyr；當(dāng)544時(shí),min, cosx yxr. 于是22()min,

19、rxydx y edxdy22252222445000044sincossinrrrrrrdr edrdr edrdr edr22522244500044sincossin2 2rrrrr edrdddr edr. 由此可得222002 2 lim2 lim()rrrrrrir edrrd e22200022 lim22.22rrrrrrreedredr七、 ( 本題滿分6 分) 【解析】本題的關(guān)鍵在于p和q之間存在函數(shù)關(guān)系, 因此rpq既可看作p的函數(shù) , 也可看作q的函數(shù) , 由此分別求出drdp及drdq, 并將它們與彈性pp dqeq dp聯(lián)系起來 , 進(jìn)而求得問題的解 . 由( )q

20、q p是單調(diào)減函數(shù)知0dqdp, 從而需求對(duì)價(jià)格的彈性0pp dqeq dp, 這表明題設(shè)1peb應(yīng)理解為1ppeeb. 又由( )qq p是單調(diào)減函數(shù)知存在反函數(shù)()pp q且1dpdqdqdp. 由收益rpq對(duì)q求導(dǎo) ,有1(1)pdrdpppqppp dqdqdqeq dp, 從而001(1)q qdrpadqb, 得01abpb. 由收益rpq對(duì)p求導(dǎo) , 有(1)(1)pdrdqp dqqpqqedpdpq dp, 從而00(1)ppdrqbcdp, 于是01cqb. 八、 ( 本題滿分6 分) 【解析】 (1) 由要證的結(jié)論可知, 應(yīng)將左端積分化成0,a上的積分 , 即00( )

21、( )( ) ( )( ) ( )aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx, 再將0( ) ( )af x g x dx作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為在0,a上的定積分 . 方法一 ：由于00( ) ( )( ) ( )( ) ( )aaaaf x g x dxf x g x dxf x g x dx, 在0( ) ( )af x g x dx中令xt, 則由:0 xa, 得:0t a, 且0000( ) ( )() () ()() ( )() ( )aaaaf x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx, 所以00( ) ( )( )()( )(

22、)aaaaf x g x dxf xfxg x dxag x dx. 方法二 ：在( ) ( )aaf x g x dx中令xt, 則由:xaa, 得: t aa, 且0( ) ( )() () ()() ( )() ( )aaaaaaaf x g x dxft gt dtft g t dtfx g x dx. 所以1( ) ( )( ) ( )() ( )2aaaaaaf x g x dxf x g x dxfx g x dx01( )()( )( )( ).22aaaaaaf xfxg x dxg x dxag x dx(2) 令( )arctanxf xe,( )sing xx, 可以驗(yàn)

23、證( )f x和( )g x符合 (1) 中條件 , 從而可以用(1) 中結(jié)果計(jì)算題目中的定積分. 方法一 ：取( )arctanxf xe,( )sing xx,2a. 由于( )()arctanarctanxxf xfxee滿足22arctanarctan011xxxxxxeeeeee, 故arctanarctanxxeea. 令0 x, 得2arctan12aa, 即( )()2f xfx. 于是有222002sinarctansinsin222xxe dxx dxxdx. 方法二 ：取( )arctanxf xe,( )sing xx,2a, 于是1( )()arctanarctan2

24、xxf xfxee. ( 這里利用了對(duì)任何0 x, 有1arctanarctan2xx) 以下同方法一.九、 ( 本題滿分9 分) 【解析】因?yàn)?i)(ii)3rr, 所以123,線性無關(guān) , 而1234,線性相關(guān) , 因此4可由123,線性表出 , 設(shè)為4112233lll. 若112233454()0kkkk, 即11412242334345()()()0kl kkl kkl kk, 由于(iii)4r, 所以1235,線性無關(guān) . 故必有11422433440,0,0,0.kl kkl kkl kk解出43210,0,0,0kkkk. 于是12354,線性無關(guān) , 即其秩為4. 十、 (

25、 本題滿分10 分) 【解析】 (1) 因?yàn)?23(,)f x xx對(duì)應(yīng)的矩陣為022244243a, 故123(,)f x xx的矩陣表示為112312323022(,)(,)244243txf x xxx axx xxxx. (2) 由a的特征方程22222244240243241ea24100240(1)(36)0241, 得到a的特征值為1231,6,6. 由()0ea x得基礎(chǔ)解系1(2,0,1)tx, 即屬于1的特征向量 . 由(6)0ea x得基礎(chǔ)解系2(1,5,2)tx, 即屬于6的特征向量 . 由( 6)0ea x得基礎(chǔ)解系3(1 , 1,2)tx, 即屬于6的特征向量 . 對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣, 特征值不同特征向量已正交, 故只須單位化 , 有3121231232111110,5 ,1 ,5306122xxxxxx那么令123211530651()03