8.3平面向量的分解定理

1、8.3平面向量的分解定理一、教學(xué)目標(biāo)：1 理解和掌握平面向量的分解定理；2掌握平面內(nèi)任一向量都可以用兩個(gè)不平行向量來(lái)表示；掌握基的概念，并能 夠用基表示平面內(nèi)的向量；3根據(jù)學(xué)生已有的物理知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在熟悉的問(wèn)題情景中，體會(huì)研究向量分解的 必要性。4經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過(guò)程，培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、交流合 作能力、體會(huì)化歸思想。.二、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)：平面向量分解定理的發(fā)現(xiàn)和形成過(guò)程；分解唯一性的說(shuō)明。三、教學(xué)過(guò)程：r r一. 復(fù)習(xí)：1向量的正交分解及向量i,j的線性組合2非零向量平行的充要 條件二, 引入：利用學(xué)生已有的物理知識(shí)中力的合成和分解經(jīng)驗(yàn)， 體會(huì)研究向量分解 的必要性。冋題的提

2、出：如果e、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不平行的非零向量，a是該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，我們研究向量在平面上任取一點(diǎn) 0,做0A ei,OB e2,OC a，過(guò)點(diǎn)C作平行與直線0B的直 線，與直線0A交于M過(guò)點(diǎn)C作平行于直線0A的直線，與直線0B交于N,由向 量平行的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)1、 2使得0M_ iei,0N 2e2，由于0C 0M 0N,所以a iei ?e2，那么如果給定平面上兩個(gè)不平行的向量， 那么平面上任意一個(gè)向量是否都可以唯一地表示為這兩個(gè)向量的線性組合呢？假設(shè)有兩種方法：a i ei 2e2 iei 2倉(cāng)(ii )ei ( 22e? 0由于向量ei， e2非零且不平行i i &#

3、176;,220ii,2.平面向量分解定理如果ei、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量 有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) ei、2，使 a那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，一 Ii ei2 e2說(shuō)明：當(dāng)給出向量的坐標(biāo)時(shí), 系數(shù)法。例4.設(shè)正六邊形ABCDEF中,AEa, BC b,用a、b表示以下向量我們把不平行的向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基 思考：(1) 一組平面向量的基有多少對(duì)？(2) 假設(shè)基選取不同，那么表示同一向量的實(shí)數(shù) 1>2是否相同？特別的，假設(shè)a = 0 ，那么有且只有：i 20可使0 Oei 0e2特別的，假設(shè)a與)共線，那么有i=0( 2=0)，使得：*Fa i ©

4、;2 e2說(shuō)明：(1) 向量ei、2是非零向量(2) 向量ei、e2是不平行的向量(3) ei、£不一定垂直，也不一定是單位向量四例題講解：例i.以下各向量組中，能否作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基Im(i)ei(i,2), e2(5,7) ©(3,5),e2(6,i0)(3) ei( i,3), e2(0,0)(4)0(2,0),e2( 3,0)例2.將圖中的向量a分解為關(guān)于向量弓與62的線性組合.例3.e(3,2),e;(1,4), a (5, 1),試將a分解為關(guān)于e1與e2的線性組合解:設(shè)a11 el2e2，即: (5,1)i(3, 2)2( 1,4)19貝U：5

5、=3 1- 21 2 1+4 21 解得：17)-19 7-aeie2.10 102 10將一個(gè)向量分解成兩個(gè)向量的線性組合用待定*C(1) CD a bD-(2) AB 2b a(3) CE 2a 3b例5.如圖:OA,OB,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不 平行向量(1) M為AB的中點(diǎn)，試用OA,OB表示OM;(2 Mi，M2為AB的三等分點(diǎn)，試用OA,OB表示OM i QM 2(3 Mi,M2,Ma為AB的四等分點(diǎn)，試用OA,OB表示OMi,OM2,OM3R),練習(xí)2.如下圖，a OA, b OB, c OC 假設(shè)c a b( 那么ABC三點(diǎn)共線的充要條件是1五小結(jié)：1、平面向量分解定理：2、對(duì)分解定理