高考數(shù)學(xué)理二輪配套訓(xùn)練【專題5】2空間中的平行與垂直含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第2講空間中的平行與垂直考情解讀1.以選擇、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面的判定與性質(zhì)定理對命題的真假進行判斷，屬基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺或其簡單組合體為載體進行考查，難度中等1線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理線面平行的判定定理a線面平行的性質(zhì)定理ab線面垂直的判定定理l線面垂直的性質(zhì)定理ab2.面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理面面垂直的判定定理面面垂直的性質(zhì)定理a面面平行的判定定理面面平行的性質(zhì)定理ab提醒使用有關(guān)平行、垂直的判定定理時，要注意其

2、具備的條件，缺一不可3平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化熱點一空間線面位置關(guān)系的判定例1(1)設(shè)a，b表示直線，表示不同的平面，則下列命題中正確的是()a若a且ab，則bb若且，則c若a且a，則d若且，則(2)平面平面的一個充分條件是()a存在一條直線a，a，ab存在一條直線a，a，ac存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bd存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b思維啟迪判斷空間線面關(guān)系的基本思路：利用定理或結(jié)論；借助實物模型作出肯定或否定答案(1)d(2)d解析(1)a：應(yīng)該是b或b；b：如果是墻角出發(fā)的三個面就不符合題意；c：m，若am時，滿足a，a，但是不正確，所以選d.(2)若l，al，a，a，

3、則a，a，故排除a.若l，a，al，則a，故排除b.若l，a，al，b，bl，則a，b，故排除c.故選d.思維升華解決空間點、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷，必要時可以利用正方體、長方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中對于平面，和直線a，b，m，n，下列命題中真命題是()a若am，an，m，n，則ab若，a，b，則abc若ab，b，則ad若a，b，a，b，則答案b解析a中：由線面垂直的判定定理知，還需m與n相交才能得a，故a錯c中：由線面平行的判定定

4、理，還需知a，故c錯d中：由面面平行的判定定理知，還需a與b相交才能得，故d錯所以選b.熱點二平行、垂直關(guān)系的證明例2如圖，在四棱錐pabcd中，abcd，abad，cd2ab，平面pad底面abcd，paad，e和f分別是cd和pc的中點，求證：(1)pa底面abcd；(2)be平面pad；(3)平面bef平面pcd.思維啟迪(1)利用平面pad底面abcd的性質(zhì)，得線面垂直；(2)bead易證；(3)ef是cpd的中位線證明(1)因為平面pad底面abcd，且pa垂直于這兩個平面的交線ad，所以pa底面abcd.(2)因為abcd，cd2ab，e為cd的中點，所以abde，且abde.所以

5、四邊形abed為平行四邊形所以bead.又因為be平面pad，ad平面pad，所以be平面pad.(3)因為abad，而且abed為平行四邊形所以becd，adcd，由(1)知pa底面abcd.所以pacd.所以cd平面pad.所以cdpd.因為e和f分別是cd和pc的中點，所以pdef.所以cdef.所以cd平面bef.又cd平面pcd，所以平面bef平面pcd.思維升華垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直(4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進而轉(zhuǎn)化

6、為證明線線垂直如圖所示，已知ab平面acd，de平面acd，acd為等邊三角形，adde2ab，f為cd的中點求證：(1)af平面bce；(2)平面bce平面cde.證明(1)如圖，取ce的中點g，連接fg，bg.f為cd的中點，gfde且gfde.ab平面acd，de平面acd，abde，gfab.又abde，gfab.四邊形gfab為平行四邊形，則afbg.af平面bce，bg平面bce，af平面bce.(2)acd為等邊三角形，f為cd的中點，afcd.de平面acd，af平面acd，deaf.又cdded，af平面cde.bgaf，bg平面cde.bg平面bce，平面bce平面cde.

7、熱點三圖形的折疊問題例3如圖(1)，在rtabc中，c90°，d，e分別為ac，ab的中點，點f為線段cd上的一點，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖(2)(1)求證：de平面a1cb；(2)求證：a1fbe；(3)線段a1b上是否存在點q，使a1c平面deq？請說明理由思維啟迪折疊問題要注意在折疊過程中，哪些量變化了，哪些量沒有變化第(1)問證明線面平行，可以證明debc；第(2)問證明線線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明a1f平面bcde；第(3)問取a1b的中點q，再證明a1c平面deq.(1)證明因為d，e分別為ac，ab的中點，所以debc.又因為de平面

8、a1cb，bc平面a1cb，所以de平面a1cb.(2)證明由圖(1)得acbc且debc，所以deac.所以dea1d，decd.所以de平面a1dc.而a1f平面a1dc，所以dea1f.又因為a1fcd，所以a1f平面bcde，又be平面bcde，所以a1fbe.(3)解線段a1b上存在點q，使a1c平面deq.理由如下：如圖，分別取a1c，a1b的中點p，q，則pqbc.又因為debc，所以depq.所以平面deq即為平面dep.由(2)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因為p是等腰三角形da1c底邊a1c的中點，所以a1cdp.所以a1c平面dep.從而a1c平面deq.故線段

9、a1b上存在點q，使得a1c平面deq.思維升華(1)解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量一般情況下，折線同一側(cè)線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口(2)在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形如圖(1)，已知梯形abcd中，adbc，bad，abbc2ad4，e，f分別是ab，cd上的點，efbc，aex.沿ef將梯形abcd翻折，使平面aefd平面ebcf(如圖(2)所示)，g是bc的中點(1)當(dāng)x2時，求證：bdeg；(2)當(dāng)x變化時，求三棱錐dbcf的體積f(x)的函數(shù)式(1)證明作dh

10、ef，垂足為h，連接bh，gh，因為平面aefd平面ebcf，交線為ef，dh平面aefd，所以dh平面ebcf，又eg平面ebcf，故egdh.因為ehadbcbg2，be2，efbc，ebc90°，所以四邊形bghe為正方形，故egbh.又bh，dh平面dbh，且bhdhh，故eg平面dbh.又bd平面dbh，故egbd.(2)解因為aeef，平面aefd平面ebcf，交線為ef，ae平面aefd，所以ae平面ebcf.由(1)知，dh平面ebcf，故aedh，所以四邊形aehd是矩形，dhae，故以b，f，c，d為頂點的三棱錐dbcf的高dhaex.又sbcfbc·b

11、e×4×(4x)82x，所以三棱錐dbcf的體積f(x)sbfc·dhsbfc·ae(82x)xx2x(0<x<4)1證明線線平行的常用方法(1)利用平行公理，即證明兩直線同時和第三條直線平行；(2)利用平行四邊形進行轉(zhuǎn)換；(3)利用三角形中位線定理證明；(4)利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理證明2證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；(2)利用面面平行的性質(zhì)定理，把證明線面平行轉(zhuǎn)化為證面面平行3證明面面平行的方法證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個面內(nèi)兩條相交直線與另一個平面平行即可，從而將

12、證面面平行轉(zhuǎn)化為證線面平行，再轉(zhuǎn)化為證線線平行4證明線線垂直的常用方法(1)利用特殊平面圖形的性質(zhì)，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到線線垂直；(2)利用勾股定理逆定理；(3)利用線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在平面即可5證明線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，把線面垂直的判定轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理，把證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證面面垂直；(3)利用常見結(jié)論，如兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面6證明面面垂直的方法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個面過另一個面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化

13、為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線或添加輔助線解決.真題感悟1(20xx·遼寧)已知m，n表示兩條不同直線，表示平面下列說法正確的是()a若m，n，則mnb若m，n，則mnc若m，mn，則nd若m，mn，則n答案b解析方法一若m，n，則m，n可能平行、相交或異面，a錯；若m，n，則mn，因為直線與平面垂直時，它垂直于平面內(nèi)任一直線，b正確；若m，mn，則n或n，c錯；若m，mn，則n與可能相交，可能平行，也可能n，d錯方法二如圖，在正方體abcdabcd中，用平面abcd表示.a項中，若m為ab，n為bc，滿足m，n，但m與n是相交直線，

14、故a錯b項中，m，n，mn，這是線面垂直的性質(zhì)，故b正確c項中，若m為aa，n為ab，滿足m，mn，但n，故c錯d項中，若m為ab，n為bc，滿足m，mn，但n，故d錯2(20xx·遼寧)如圖，abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120°，e，f，g分別為ac，dc，ad的中點(1)求證：ef平面bcg；(2)求三棱錐dbcg的體積附：錐體的體積公式vsh，其中s為底面面積，h為高(1)證明由已知得abcdbc，因此acdc.又g為ad的中點，所以cgad.同理bgad，又bgcgg，因此ad平面bgc.又efad，所以ef平面bcg.(2)解在平

15、面abc內(nèi)，作aobc，交cb的延長線于o.由平面abc平面bcd，知ao平面bdc.又g為ad中點，因此g到平面bdc的距離h是ao長度的一半在aob中，aoab·sin 60°，所以vdbcgvgbcdsdbc·h×bd·bc·sin 120°·.押題精練1.如圖，ab為圓o的直徑，點c在圓周上(異于點a，b)，直線pa垂直于圓o所在的平面，點m為線段pb的中點有以下四個命題：pa平面mob；mo平面pac；oc平面pac；平面pac平面pbc.其中正確的命題是_(填上所有正確命題的序號)答案解析錯誤，pa平面

16、mob；正確；錯誤，否則，有ocac，這與bcac矛盾；正確，因為bc平面pac.2如圖所示，在正方體abcda1b1c1d1中，e是棱dd1的中點(1)證明：平面adc1b1平面a1be；(2)在棱c1d1上是否存在一點f，使b1f平面a1be？并證明你的結(jié)論(1)證明如圖，因為abcda1b1c1d1為正方體，所以b1c1面abb1a1.因為a1b面abb1a1，所以b1c1a1b.又因為a1bab1，b1c1ab1b1，所以a1b面adc1b1.因為a1b面a1be，所以平面adc1b1平面a1be.(2)解當(dāng)點f為c1d1中點時，可使b1f平面a1be.證明如下：取c1d1中點f，連接

17、ef，b1f易知：efc1d，且efc1d.設(shè)ab1a1bo，連接oe，則b1oc1d且b1oc1d，所以efb1o且efb1o，所以四邊形b1oef為平行四邊形所以b1foe.又因為b1f面a1be，oe面a1be.所以b1f面a1be.(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1(20xx·廣東)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結(jié)論一定正確的是()al1l4bl1l4cl1與l4既不垂直也不平行dl1與l4的位置關(guān)系不確定答案d解析如圖，在長方體abcda1b1c1d1中，記l1dd1，l2dc，l3da，若l4aa1，滿足l1l2

18、，l2l3，l3l4，此時l1l4，可以排除選項a和c.若l4dc1，也滿足條件，可以排除選項b.故選d.2已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m的是()a，且m bmn，且nc，且m dmn，且n答案b解析根據(jù)定理、性質(zhì)、結(jié)論逐個判斷因為，mm，的位置關(guān)系不確定，可能平行、相交、m在面內(nèi)，故a錯誤；由線面垂直的性質(zhì)定理可知b正確；若，m，則m，的位置關(guān)系也不確定，故c錯誤；若mn，n，則m，的位置關(guān)系也不確定，故d錯誤3abcda1b1c1d1為正方體，下列結(jié)論錯誤的是()abd平面cb1d1 ba1cbdcac1平面cb1d1 dac1bd1答案

19、d解析因為abcda1b1c1d1為正方體，所以dd1bb1且dd1bb1，所以四邊形dd1b1b為平行四邊形，所以bdb1d1，因為bd面cb1d1，b1d1面cb1d1，所以bd平面cb1d1，故a正確；因為aa1面abcd，bd面abcd，所以aa1bd，因為abcd為正方形，所以acbd，因為acaa1a，所以bd面a1acc1，因為a1c面a1acc1，所以bda1c，故b正確同理可證得b1d1面a1acc1，因為ac1面a1acc1，所以b1d1ac1，同理可證cb1ac1，因為b1d1cb1b1，所以ac1平面cb1d1，故c正確排除法應(yīng)選d.4如圖，四邊形abcd中，adbc，

20、adab，bcd45°，bad90°，將adb沿bd折起，使平面abd平面bcd，構(gòu)成三棱錐abcd.則在三棱錐abcd中，下列命題正確的是()a平面abd平面abcb平面adc平面bdcc平面abc平面bdcd平面adc平面abc答案d解析在四邊形abcd中，adbc，adab，bcd45°，bad90°，bdcd，又平面abd平面bcd，且平面abd平面bcdbd，cd平面abd，則cdab，又adab，adcdd，ab平面adc，又ab平面abc，平面abc平面adc，故選d.5直線m，n均不在平面，內(nèi)，給出下列命題：若mn，n，則m；若m，則m；

21、若mn，n，則m；若m，則m.其中正確命題的個數(shù)是()a1 b2c3 d4答案d解析對，根據(jù)線面平行的判定定理知，m；對，如果直線m與平面相交，則必與相交，而這與矛盾，故m；對，在平面內(nèi)取一點a，設(shè)過a、m的平面與平面相交于直線b.因為n，所以nb，又mn，所以mb，則m；對，設(shè)l，在內(nèi)作m，因為m，所以mm，從而m.故四個命題都正確6.在正三棱錐sabc中，m，n分別是sc，bc的中點，且mnam，若側(cè)棱sa2，則正三棱錐sabc外接球的表面積是()a12 b32c36 d48答案c解析由mnam且mn是bsc的中位線得bsam，又由正三棱錐的性質(zhì)得bsac，bs面asc.即正三棱錐sabc

22、的三側(cè)棱sa、sb、sc兩兩垂直，外接球直徑為sa6.球的表面積s4r24×3236.選c.二、填空題7已知兩條不同的直線m，n和兩個不同的平面，給出下列四個命題：若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn；若m，n，且，則mn.其中正確的個數(shù)為_答案2解析中m，n可能異面或相交，故不正確；因為m，n，且成立時，m，n兩直線的關(guān)系可能是相交、平行、異面，故不正確；因為m，可得出m，再由n可得出mn，故正確；分別垂直于兩個垂直平面的兩條直線一定垂直，正確故正確8下列四個正方體圖形中，a，b為正方體的兩個頂點，m，n，p分別為其所在棱的中點，能得出ab平面mnp的圖

23、形的序號是_(寫出所有符合要求的圖形序號)答案解析對于，注意到該正方體的面中過直線ab的側(cè)面與平面mnp平行，因此直線ab平行于平面mnp；對于，注意到直線ab和過點a的一個與平面mnp平行的平面相交，因此直線ab與平面mnp相交；對于，注意到此時直線ab與平面mnp內(nèi)的一條直線mp平行，且直線ab位于平面mnp外，因此直線ab與平面mnp平行；對于，易知此時ab與平面mnp相交綜上所述，能得出直線ab平行于平面mnp的圖形的序號是.9.如圖，在三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱aa1底面abc，底面是以abc為直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d是a1c1的中點，點f在線段aa1上，

24、當(dāng)af_時，cf平面b1df.答案a或2a解析由題意易知，b1d平面acc1a1，所以b1dcf.要使cf平面b1df，只需cfdf即可令cfdf，設(shè)afx，則a1f3ax.易知rtcafrtfa1d，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.10如圖，在長方形abcd中，ab2，bc1，e為dc的中點，f為線段ec(不含端點)上一動點現(xiàn)將afd沿af折起，使平面abd平面abc.在平面abd內(nèi)過點d作dkab，k為垂足設(shè)akt，則t的取值范圍是_答案解析破解此題可采用兩個極端位置法，即對于f位于dc的中點時，t1，隨著f點到c點時，cbab，cbdk，cb平面adb，即有cbbd，

25、對于cd2，bc1，bd，又ad1，ab2，因此有adbd，則有t，因此t的取值范圍是.三、解答題11如圖所示，在直三棱柱abca1b1c1中，ac3，bc4，ab5，aa14，點d是ab的中點，(1)求證：acbc1；(2)求證：ac1平面cdb1.證明(1)直三棱柱abca1b1c1中，底面三邊長ac3，bc4，ab5，ab2ac2bc2，acbc.cc1平面abc，ac平面abc，accc1，又bccc1c，ac平面bcc1b1，bc1平面bcc1b1，acbc1.(2)設(shè)cb1與c1b的交點為e，連接de，d是ab的中點，e是c1b的中點，deac1，de平面cdb1，ac1平面cdb1，ac1平面cdb1.12如圖所示，三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，d，e分別為a1b