大學(xué)線性代數(shù)第六講

1、第二章 線性方程組§2.1 向量的線性相關(guān)性一、向量的定義及運算定義 由n個數(shù) 構(gòu)成的n元有序數(shù)組稱為n元向量，記為（），其中稱為該向量的第i個分量。定義 設(shè)，。 若s=t且 (i=1, 2, , s)，則稱向量與相等，記為=。注意：行向量：（） 列向量：，也可記為 。定義 (1) 設(shè)，是兩個n元向量，則稱下列向量為向量與的和，記為 + ； （2）設(shè)是n元向量，k是數(shù)，稱下列向量為數(shù)k與向量的數(shù)量乘積，記為。例 設(shè) 是任一n元向量，則0 =（0, 0, , 0） 我們稱分量全為零的向量（0, 0, , 0）為零向量，記為；稱向量為向量的負(fù)向量，記為。性質(zhì) 設(shè)、是任意三個n元向量，k、

2、l是任意兩個數(shù)，則有(1) + = + (2) ( + ) + = + ( + )(3) + = （ 是n元零向量）(4) + () = (5) 1 = (6) (kl) = k(l)(7) (k + l) = (k + l)(8) k( + ) = k + l另外，若，則或。有惟一解：。二、向量的線性相關(guān)性三個基本概念定義 設(shè) 是m個n元向量，k1, k2, km是任意m個數(shù)，稱下列向量是向量組 的一個線性組合。此時，也稱向量可由向量組 線性表出。例 一個向量 的線性組合_。 例 向量組 能否線性表出？例 已知向量，問：能否由 線性表出？解 設(shè)則有 由此得 （存在 使成立 它們使成立。即 可

3、由 線性表出 線性方程組有解。） 經(jīng)驗證，有解，故 可由 線性表出。結(jié)論： 線性表出 非齊次方程組有解 表示法唯一 解唯一定義 設(shè) 是m個元向量。若存在m個不全為零的數(shù) ，使得則稱向量組 線性相關(guān)。不線性相關(guān)的向量組稱為線性無關(guān)。例 設(shè) 與是兩個2元實向量，則 ，線性相關(guān) 與共線。例 設(shè) 與是兩個n元向量，則 ，線性相關(guān) 與對應(yīng)分量成比例。例2.1.5 一個向量 線性相關(guān) 。例2.1.6 證明向量組 線性相關(guān)。證明 設(shè) 則有 （存在不全為零的 使成立 它們也使成立，即 線性相關(guān) 齊次線性方程組有非零解。）經(jīng)驗證，方程組有非零解，故線性相關(guān)。線性無關(guān)： 不存在不全為零的數(shù) ，使得 對任意不全為零

4、的數(shù) ，均有 由 必可導(dǎo)出結(jié)論：線性相關(guān) 齊次線性方程組有非零解； 線性無關(guān) 齊次線性方程組無非零解。例 指出向量組的線性相關(guān)性。解 令，則有 因方程的個數(shù) < 未知數(shù)的個數(shù)，故上述齊次線性方程組有非零解。于是，, 線性相關(guān)。例2.1.7 m個n元向量（m > n）線性相關(guān)。例 已知向量組線性無關(guān)。令，問：是否線性相關(guān)？解 令，則有因 線性無關(guān)，故 又上述方程組只有零解： 。由此得 線性無關(guān)。例2.1.4 在一個向量組中，如果有一個部分組（即由其中一部分向量構(gòu)成的向量組）線性相關(guān)，則整個向量組也線性相關(guān)。例 包含零向量的向量組線性相關(guān)。例 已知 是三個4元向量，令證明：若 線性無關(guān)

5、，則 也線性無關(guān)。證明：令 ，則有 （1） （2）由 式(1)得， （3）已知 線性無關(guān)，故由 式(3)得 所以，線性無關(guān)。問題：(1) 由 線性相關(guān)是否可得出 也線性相關(guān)？(2) 由 的線性相關(guān)性能對 ,的線性相關(guān)性做出那些判斷？(3)上述討論是否可在向量個數(shù)、向量元數(shù)等方面一般化？定理2.1.1 向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是：至少存在一個 可由其余向量線性表出。例2.1.9 設(shè) 是n個n元向量，稱之為n元基本向量組，則 線性無關(guān)；對任一n元向量，均有 線性相關(guān)，且 可由 線性表出。定理2.1.2 設(shè)向量組 線性無關(guān)，而向量組 ,線性相關(guān)，則 可由 線性表出且表示法唯一。證明 ,線性相關(guān)

6、 存在不全為零的數(shù) ，使 若，則且 不全為零。由此得 線性相關(guān)，與假設(shè)矛盾，故 。于是，即 可由 線性表出。 設(shè)則 因 線性無關(guān)，故 即所以，表示法唯一。例 已知向量組 線性相關(guān)，向量組線性無關(guān)。問 能否由 線性表出？法一 因為向量組 線性無關(guān)，故其部分組也線性無關(guān)。由向量組 線性相關(guān)，所以 可由線性表出。 法二 因為向量組 線性相關(guān)，故存在不全為零的三個數(shù) ，使 （1）若 ，則 不全為零，并且 由此得 線性相關(guān)。這與已知條件“線性無關(guān)”相矛盾。所以，。于是由（1）式得即 可由 線性表出。定義 設(shè) 與 是兩組n元向量，若每個 均可由 線性表出，則稱向量組可由向量組線性表出。若向量組與向量組可相互線性表出，則稱向量組與向量組等價，記為例2.1.11 討論下列向量之間的關(guān)系：(1) 與 (2) 與 例 一個向量組可線性表出它的任意一個部分組。性質(zhì) 向量組的等價具有(1)自反性：；(2)對稱性：若，則；(3)傳遞性：若，則定理2.1.3 設(shè) 是一組n元