高中數(shù)學(xué)必修一2.2　古典概型的應(yīng)用

1、1 / 4 2.2 古典概型的應(yīng)用 課后訓(xùn)練鞏固提升 一、a組 1.若從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為 a,從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為 b,則 ba的概率是( ) a.45 b.35 c.25 d.15 解析:樣本點(diǎn)總數(shù) n=15,我們用(a,b)表示隨機(jī)選取的結(jié)果,事件“ba”包含(1,2),(1,3),(2,3)3 個(gè)樣本點(diǎn),故所求概率為315=15. 答案:d 2.袋中裝有大小、質(zhì)地相同的黃球、紅球、白球各一個(gè),每次任取一個(gè),有放回地取 3 次,則89是下列哪個(gè)事件發(fā)生的概率( ) a.顏色相同 b.顏色不全相同 c.顏色全不同 d.無(wú)紅球 解析:有放回地取球 3次,共 2

2、7 種可能結(jié)果,其中顏色相同的結(jié)果有 3種,其概率為327=19;設(shè)事件 a表示“顏色不全相同”,則事件 a 是事件“顏色相同”的對(duì)立事件,故事件 a的概率為 1-19=89;顏色全不同,即黃、紅、白各一個(gè),則其概率為32127=29;無(wú)紅球,即每次都是黃球或白球,則其概率為22227=827.故選 b. 答案:b 3.若用連續(xù)投擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子分別得到的點(diǎn)數(shù) m,n 作為點(diǎn) p的坐標(biāo)(m,n),則點(diǎn) p落在圓 x2+y2=16內(nèi)的概率為( ) a.12 b.14 c.16 d.29 解析:m,n=1,2,6,故(m,n)總共有 36 種情況.當(dāng) m=1時(shí),落在圓內(nèi)的 n 有 3種情

3、況;當(dāng) m=2時(shí),落在圓內(nèi)的 n 有 3種情況;當(dāng) m=3時(shí),落在圓內(nèi)的 n 有 2種情況;當(dāng) m=4,5,6 時(shí),均沒(méi)有落在圓內(nèi)的 n. 故所求概率為3+3+236=29. 答案:d 4.在軍訓(xùn)匯報(bào)表演中,a,b,c 三個(gè)方陣按一定次序通過(guò)主席臺(tái),若先后順序是隨機(jī)定的,則 b先于 a,c通過(guò)的概率為( ) a.16 b.13 c.12 d.23 解析:只考慮 b的情況,b可能第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)通過(guò)主席臺(tái),而 b 先于 a,c 通過(guò)的可能情形只有一種,故所求概率為13. 答案:b 5.在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,事件 a1,a2,a3發(fā)生的概率分別為 0.2,0.3,0.5,則下列說(shuō)法正確的是( )

4、 a.a1a2與 a3是互斥事件,也是對(duì)立事件 b.a1a2a3是必然事件 c.p(a2a3)=0.8 d.事件 a1,a2,a3的關(guān)系不確定 解析:比如在一個(gè)箱子中有白球、黃球和紅球若干,從中任取一球,取到紅球(記為事件 a1)的概率為0.2,取到黃球(記為事件 a2)的概率為 0.3,取到黃球或紅球(記為事件 a3)的概率為 0.5,顯然 a1a2與a3既不是互斥事件,也不是對(duì)立事件,故 a 錯(cuò)誤;a1a2a3是“取到黃球或紅球”,不是必然事件,故 b錯(cuò)誤;p(a2a3)=p(a3)=0.5,故 c 錯(cuò)誤.故選 d. 答案:d 6.將一個(gè)各個(gè)面上均涂有顏色的正方體鋸成 27個(gè)同樣大小的小正

5、方體,從這些小正方體中任取 1個(gè), 其中恰有兩個(gè)面涂有顏色的概率是 . 2 / 4 解析:27 個(gè)小正方體中兩個(gè)面涂有顏色的共有 12個(gè),故所求概率為1227=49. 答案:49 7.某射手射擊一次,擊中環(huán)數(shù)大于 7的概率為 0.6,擊中環(huán)數(shù)是 6 或 7或 8的概率相等,且和為 0.3,則該射手射擊一次擊中環(huán)數(shù)大于 5的概率為 . 解析:設(shè)“擊中 6環(huán)”為事件 a,“擊中 7 環(huán)”為事件 b,“擊中 8環(huán)”為事件 c, 由題意得 p(a)=p(b)=p(c)=0.1,所以擊中環(huán)數(shù)大于 5的概率 p=p(a)+p(b)+0.6=0.1+0.1+0.6=0.8. 答案:0.8 8.在一個(gè)不透明的

6、盒子中裝有 10個(gè)大小、質(zhì)地相同的球,分別標(biāo)有號(hào)碼 1,2,3,10,從中任取一球,求此球的號(hào)碼為偶數(shù)的概率. 解法一:令 ai=所取球的號(hào)碼為 i,則一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果為:a1,a2,a3,a10,故共有 10 個(gè)等可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn).令 a=所取球的號(hào)碼為偶數(shù),顯然 a中含有 5個(gè)樣本點(diǎn),從而 p(a)=510=12. 解法二:若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為:所取球的號(hào)碼為奇數(shù),所取球的號(hào)碼為偶數(shù),則它們是等可能出現(xiàn)的樣本點(diǎn),樣本點(diǎn)總數(shù)為 2,令 a=所取球的號(hào)碼為偶數(shù),則 a所含樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1,故p(a)=12. 9.袋中裝有 6個(gè)球,其中 4個(gè)白球,2個(gè)紅球,從袋中任意取出 2個(gè)球

7、,求下列事件的概率: (1)事件 a表示“取出的 2個(gè)球都是白球”; (2)事件 b表示“取出的 2個(gè)球中 1 個(gè)白球,1個(gè)紅球”; (3)事件 c表示“取出的 2 個(gè)球中至少有 1個(gè)白球”. 解:設(shè) 4 個(gè)白球的編號(hào)為 1,2,3,4,2 個(gè)紅球的編號(hào)為 5,6.從袋中的 6 個(gè)小球中任取 2 個(gè)球,則樣本空間=(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共有 15個(gè)樣本點(diǎn). (1)事件 a=(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,

8、4),共有 6個(gè)樣本點(diǎn). 所以取出的 2個(gè)球全是白球的概率為 p(a)=615=25. (2)事件 b=(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共有 8 個(gè)樣本點(diǎn). 所以取出的 2個(gè)球 1個(gè)是白球,1 個(gè)是紅球的概率為 p(b)=815. (3)(方法一)因?yàn)?c=ab,且 a,b為互斥事件, 所以 p(c)=p(a)+p(b)=1415. (方法二)設(shè) c 的對(duì)立事件為,則=“取出的 2 個(gè)球中沒(méi)有白球(全為紅球)”,則=(5,6). p(c)=1-p()=1-115=1415. 10.從含有兩件正品 a,b和一件次品 c 的三件產(chǎn)品中

9、每次任取一件,連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率. (1)每次取出后不放回; (2)每次取出后放回. 解:(1)(方法一)每次取出后不放回的所有可能結(jié)果為(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中小括號(hào)內(nèi)第一個(gè)字母表示第一次取出的產(chǎn)品,第二個(gè)字母表示第二次取出的產(chǎn)品,共有 6 種等可能的結(jié)果.事件“恰有一件次品”包含的樣本點(diǎn)有(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),共有 4 種可能的結(jié)果.因此,每次取出后不放回,取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為46=23. (方法二)取出的兩件產(chǎn)品中有一件次品,至于是第一次取出,還是第二次取出,可

10、不必考慮順序,則所有可能結(jié)果為(a,b),(a,c),(b,c),共有 3 種等可能的結(jié)果,而事件“恰有一件次品”包含的樣本點(diǎn)有(a,c),(b,c),共 2種可能的結(jié)果.因此取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為23. (2)這是有放回試驗(yàn),第一次被取出的產(chǎn)品,第二次也有可能被取出,由于最后求的是兩件產(chǎn)品中有一件次品,故必須考慮順序,則所有可能結(jié)果為(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),共有 9種等可能的結(jié)果,事件“恰有一件次品”包含的樣本點(diǎn)有(a,c),(b,c),(c,a),(c,b),共 4種可能的結(jié)果.因此每次取出

11、后放回,取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率為49. 二、b 組 1.拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣,一枚出現(xiàn)正面,二枚出現(xiàn)反面的概率為( ) 3 / 4 a.14 b.13 c.38 d.12 解析:拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣,共有 8 種可能的結(jié)果,一枚出現(xiàn)正面,二枚出現(xiàn)反面有 3 種可能的結(jié)果.因此,一枚出現(xiàn)正面,二枚出現(xiàn)反面的概率是38. 答案:c 2.根據(jù)多年氣象統(tǒng)計(jì)資料,某地 6 月 1日下雨的概率為 0.45,陰天的概率為 0.20,則該日晴天的概率為( ) a.0.65 b.0.55 c.0.35 d.0.75 解析:設(shè)事件 a表示“該地 6 月 1日下雨”,事件 b 表示“陰天”,事件

12、c 表示“晴天”,則事件 a,b,c 兩兩互斥,且 ab與 c 是對(duì)立事件,則 p(c)=1-p(ab)=1-p(a)-p(b)=1-0.45-0.20=0.35. 答案:c 3.從分別寫(xiě)有 a,b,c,d,e 的 5張卡片中,任取 2張,這 2 張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為( ) a.15 b.25 c.310 d.710 解析:從 5 張卡片中任取 2張,則樣本空間=(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共 10個(gè)樣本點(diǎn).事件“兩個(gè)字母恰好是按字母順序相鄰”包含的樣本點(diǎn)有(a,b),(b,c),(

13、c,d),(d,e),共 4 個(gè),因此,所求概率 p=410=25. 答案:b 4.某小組共有 5 名學(xué)生,其中女生 3名,現(xiàn)選舉 2名代表,至少有 1 名女生當(dāng)選的概率為( ) a.520 b.910 c.110 d.710 解析:由題意知男生人數(shù)為 5-3=2,設(shè)男生為 m1,m2,女生為 w1,w2,w3,則選舉兩名代表的所有可能結(jié)果為(m1,m2),(m1,w1),(m1,w2),(m1,w3),(m2,w1),(m2,w2),(m2,w3),(w1,w2),(w1,w3),(w2,w3),共 10 種.設(shè)事件 a表示“至少有 1名女生當(dāng)選”,則事件包含的樣本點(diǎn)為(m1,m2).故所求

14、概率 p(a)=1-p()=1-110=910. 答案:b 5.甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為 40%,甲不輸?shù)母怕蕿?90%,則甲、乙兩人下成和棋的概率為( ) a.60% b.30% c.10% d.50% 解析:設(shè)事件 a表示“甲獲勝”,b 表示“甲不輸”,c 表示“甲、乙和棋”,則 a,c互斥,且 b=ac,故p(b)=p(ac)=p(a)+p(c),即 p(c)=p(b)-p(a)=50%. 答案:d 6.某射手射擊一次,未中靶的概率為 0.05,中靶環(huán)數(shù)大于 6的概率為 0.7,則事件 a 表示“中靶環(huán)數(shù)大于0 小于等于 6”的概率為 . 解析:“未中靶”與“中靶環(huán)數(shù)大于 6”是互

15、斥事件,“未中靶或中靶環(huán)數(shù)大于 6”的對(duì)立事件是“中靶環(huán)數(shù)大于 0 小于等于 6”,即事件 a,所以 p(a)=1-(0.05+0.7)=0.25. 答案:0.25 7.甲、乙兩人下棋,和棋的概率為12,乙勝的概率為13,求: (1)甲勝的概率; (2)甲不輸?shù)母怕? 解:(1)“甲勝”是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件,所以甲勝的概率為 1-1213=16. (2)(方法一)設(shè)事件 a=“甲不輸”,可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個(gè)互斥事件的和事件,所以 p(a)=16+12=23. (方法二)設(shè)事件 a=“甲不輸”,可看作是“乙勝”的對(duì)立事件,所以 p(a)=1-13=23,即甲不輸?shù)母怕适?3.

16、8.用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中 3 個(gè)矩形隨機(jī)涂色,每個(gè)矩形只涂一種顏色,求: (1)3 個(gè)矩形顏色都相同的概率; (2)3 個(gè)矩形顏色都不同的概率. 4 / 4 解:樣本空間的樣本點(diǎn)共有 27 個(gè),且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.所有樣本點(diǎn)用樹(shù)狀圖表示,如圖所示. (1)記“3個(gè)矩形都涂同一顏色”為事件 a,由圖知,事件 a 包含的樣本點(diǎn)有 3個(gè),故 p(a)=327=19. (2)記“3個(gè)矩形顏色都不同”為事件 b,由圖可知,事件 b 包含的樣本點(diǎn)有 2 3=6(個(gè)),故 p(b)=627=29. 9.把一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲 2 次,觀察擲出的點(diǎn)數(shù),并記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為 a,第二次擲出的點(diǎn)數(shù)為 b,試就方程組 + = 3, + 2 = 2解答下列各題: (1)求方程組有唯一解的概率; (2)求方程組只有正數(shù)解的概率. 解:此試驗(yàn)樣本空間共包含 36 個(gè)樣本點(diǎn). (1)方程組有唯一解,需滿足12,即 b2a.而滿足 b=2a的樣本點(diǎn)有(1,2),(2,4),(3,6),共 3個(gè),則概率為336=112