高中數(shù)學(xué)選修一橢圓的簡單幾何性質(zhì)

1、- 1 - / 8 橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì) （4545 分鐘分鐘 100100 分）分） 一、選擇題一、選擇題( (每小題每小題 6 6 分分, ,共共 3030 分分) ) 1.(2013安陽高二檢測)若一個(gè)橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列,則該橢圓的離心率是( ) a. b. c. d. 2.(2013汝陽高二檢測)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長與短軸長的和為 18,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) a.+=1 b.+=1 c.+=1 d.+=1 3.若焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓+=1 的離心率為 ,則 m 等于( ) a. b. c. d. 4.

2、(2013新課標(biāo)全國卷)設(shè)橢圓 c:+=1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1,f2,p 是 c 上的點(diǎn),pf2f1f2,pf1f2=30,則 c 的離心率為( ) a. b. c. d. 5.設(shè)橢圓+=1(ab0)的離心率 e= ,右焦點(diǎn) f(c,0),方程 ax2+bx-c=0 的兩個(gè)根分別為 x1,x2,則點(diǎn) p(x1,x2)在( ) a.圓 x2+y2=2 上 - 2 - / 8 b.圓 x2+y2=2 內(nèi) c.圓 x2+y2=2 外 d.以上三種情況都有可能 二、填空題二、填空題( (每小題每小題 8 8 分分, ,共共 2424 分分) ) 6.橢圓 x2+my2=1 的焦點(diǎn)在 y 軸

3、上,長軸長是短軸長的兩倍,則 m 的值為 . 7.(2013滄州高二檢測)橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上,一個(gè)焦點(diǎn)到長軸的兩端點(diǎn)的距離之比是 14,短軸長為 8,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 8.若點(diǎn) o 和點(diǎn) f 分別為橢圓+=1 的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn) p 為橢圓上的任意一點(diǎn),則的最大值為 . 三、解答題三、解答題(9(9 題題,10,10 題題 1414 分分,11,11 題題 1818 分分) ) 9.已知橢圓 x2+(m+3)y2=m(m0)的離心率 e=,求 m 的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo). 10.已知橢圓+=1(ab0),若橢圓的離心率 e 滿足e,且+=2,求橢圓長軸長的取值

4、范圍. 11.(能力挑戰(zhàn)題)已知 f1,f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),p 為橢圓上一點(diǎn),f1pf2=60. (1)求橢圓離心率的范圍. (2)求證:f1pf2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān). - 3 - / 8 答案解析答案解析 1.【解析】選 b.由條件知 2a+2c=22b, a+c=2b,從而(a+c)2=4b2=4(a2-c2), 解得 e= = . 2.【解析】選 b.由條件知,橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上,且解得 a=5,b=4,方程為+=1. 【變式備選】(2013北京高二檢測)離心率為,且過點(diǎn)(4,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是( ) a.+=1 b.+=1 或+=1 c.x2+4y2=1 d.+=1

5、或+=1 【解析】選 d.由條件知,(4,0)為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn). 若 a=4 且 =,則 b2=4,方程為+=1. 若 b=4 且 =,則 a2=64,方程為+=1. 3.【解析】選 b.橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上,且 e= , = ,解得 m= . - 4 - / 8 【舉一反三】若把題中“焦點(diǎn)在 x 軸上”去掉,結(jié)果會(huì)怎樣? 【解析】當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí),由= 得 m= . 當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí),由= 得 m= . m 的值是 或 . 4.【解題指南】利用已知條件解直角三角形,將 pf1,pf2用半焦距 c 表示出來,然后借助橢圓的定義,可得 a,c 的關(guān)系,從而得離心率. 【解析】選

6、 d.因?yàn)?pf2f1f2,pf1f2=30, 所以 pf2=2ctan 30=c,pf1=c. 又 pf1+pf2=2c=2a,所以ca=, 即橢圓的離心率為. 5.【解題指南】判斷點(diǎn) p(x1,x2)與圓的位置關(guān)系,就是判斷點(diǎn) p 與圓心(0,0)的距離與半徑的大小關(guān)系,利用根與系數(shù)的關(guān)系表示成關(guān)于離心率的關(guān)系式,再判斷位置關(guān)系. 【解析】選 b.由題意 e= = , +=(x1+x2)2-2x1x2=+ - 5 - / 8 =+1=2-= 0,方程可化為 x2+=1. 橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上,長軸長是短軸長的兩倍, 2=221, 解得 m= . 答案: 7.【解析】由條件知,= 且 2b

7、=8, 解得 a2=25,b2=16. 又橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上, 所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1. 答案:+=1 8.【解題指南】設(shè) p(x0,y0),利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,結(jié)合橢圓的范圍解出. 【解析】由題意,f(-1,0),設(shè)點(diǎn) p(x0,y0),則有+=1,解得=3(1-),因?yàn)?(x0+1,y0),=(x0,y0), - 6 - / 8 所以=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1-)=+x0+3,此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為 x0=-2,因?yàn)?2x02,所以當(dāng) x0=2 時(shí),取得最大值+2+3=6. 答案:6 【誤區(qū)警示】解題中容易不考慮 x0的取值范圍,而直接求出二次函數(shù)

8、的最值,而導(dǎo)致錯(cuò)誤. 9.【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是確定 m 的值,應(yīng)先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,根據(jù)分母的大小確定焦點(diǎn)的位置.用 m 表示 a,b,c,再由 e=求出 m 的值. 【解析】橢圓方程可化為+=1, m-=0, m,即 a2=m,b2=,c=. 由 e=得=,m=1. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2+=1. a=1,b= ,c=. 橢圓的長軸長為 2,短軸長為 1;兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-,0),(,0); - 7 - / 8 四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-1,0),(1,0),(0,- ), (0, ). 10.【解題指南】由+=2 把 b2用 a2表示,代入關(guān)于離心率的不等式組中,求出2a 的范圍. 【解析】由+=2 得 b2= , e2=1-, 又e, 1- , 結(jié)合b2=可得 , a2 ,a,即2a, 故長軸長的取值范圍是,. 11.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為+=1(ab0), |pf1|=m,|pf2|=n,則 m+n=2a. 在pf1f2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos60=(m+n)2-3mn =4a2-3mn4a2-3()2 - 8 -