函數(shù)的極值與最值89409實(shí)用教案

1、在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件(tiojin)下的最大、最小、最遠(yuǎn)、最近、最好、最優(yōu)等問(wèn)題，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上常可以歸結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問(wèn)題，這里統(tǒng)稱為最值問(wèn)題.本節(jié)將介紹函數(shù)的極值問(wèn)題與最值問(wèn)題.第1頁(yè)/共26頁(yè)第一頁(yè)，共27頁(yè)。一、函數(shù)(hnsh)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果(rgu)對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有 )()(0 xfxf(1) 成立，則稱 為f(x)的極大值，稱 為f(x)的極大值點(diǎn)；)(0 xf0 x(2) 成立，則稱 為f(x)的極小值，稱 為f(x)的極小值點(diǎn).)()(0 xfxf)(0 xf0 x極大值、極小值統(tǒng)稱

2、(tngchng)為極值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(tngchng)為極值點(diǎn).第2頁(yè)/共26頁(yè)第二頁(yè)，共27頁(yè)。定理4.9(極值的必要條件(b yo tio jin) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0為f(x)的極值點(diǎn)，則 由4.1引理可知定理(dngl)4.9成立.注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn).但是(dnsh)需要注意，函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是函數(shù)的極值點(diǎn). 例如 為其駐點(diǎn)，但是x=0不是 的極值點(diǎn).0,3xxy3xy 還要指出，有些函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn)，例如圖中所示的函數(shù)在點(diǎn) 處不可導(dǎo)，但 為其極小值.4x4x第3頁(yè)/共26頁(yè)第三頁(yè)，共27頁(yè)。由上述可知，欲求(y qi)

3、函數(shù)的極值點(diǎn)，先要求出其駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，然后再用下面的充分條件判別:定理(dngl)4.10(判定極值的第一充分條件) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外).如果在該鄰域內(nèi) 如果f(x)在x0的兩側(cè)保持(boch)相同符號(hào)，則x0不是f(x)的極值點(diǎn).第4頁(yè)/共26頁(yè)第四頁(yè)，共27頁(yè)。因此(ync)可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).對(duì)于情形(2)也可以進(jìn)行(jnxng)類似分析.分析(fnx)對(duì)于情形(1)，由函數(shù)單調(diào)性的判別定理可知，0 xx 當(dāng) 時(shí)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)增加；0 xx 當(dāng) 時(shí)，f(x)嚴(yán)格單調(diào)減少，第5頁(yè)/共26頁(yè)第五頁(yè)，共27頁(yè)。(3)判定

4、每個(gè)駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) 兩側(cè)(在xi較小的鄰域內(nèi)) 的符號(hào)，依定理4.10判定xi是否為f(x)的極值點(diǎn).), 2 , 1(kixi )(xf 由定理判定函數(shù)極值一般步驟為：).() 1 (xf 求出第6頁(yè)/共26頁(yè)第六頁(yè)，共27頁(yè)。令 ，得函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)：x1= 1，x2=2.0 y 內(nèi)存在，函數(shù)的兩個(gè)駐點(diǎn)x1= 1，x2=2把 分成 三個(gè)子區(qū)間.),(在y), 2(),2 , 1(),1,(),(例1所給函數(shù)的定義域?yàn)?.),(解x1(1,2)2+00+y極大值極小值10) 1,(27)(2， y第7頁(yè)/共26頁(yè)第七頁(yè)，共27頁(yè)?？芍?k zh)x=0為y的極小值點(diǎn)，極小值為0.例2),

5、(所給的函數(shù)定義域?yàn)?.解非極值極小0y+0+01(0,1)0 x), 1 ( y)0 ,(第8頁(yè)/共26頁(yè)第八頁(yè)，共27頁(yè)。例3),(所給的函數(shù)定義域?yàn)?.解x1(1,0)0(0,1)10+不存在0+y極小值極大值極小值), 1 ( y) 1,(8989第9頁(yè)/共26頁(yè)第九頁(yè)，共27頁(yè)。定理4.11(判定極值的第二充分條件(chn fn tio jin) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且 則證 由于f(x)在x0處二階可導(dǎo)，且 ，由佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式有0)(0 xf第10頁(yè)/共26頁(yè)第十頁(yè)，共27頁(yè)。當(dāng)x充分接近于x0時(shí)，易見，上式右端 的符號(hào)取決于 .)(0 xf )()(!

6、2120200 xxoxxxf 當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求，且駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù) 時(shí)，利用判定極值的第二充分條件判定駐點(diǎn) x0 是否為極值點(diǎn)比較方便.0)(0 xf第11頁(yè)/共26頁(yè)第十一頁(yè)，共27頁(yè)。例4所給的函數(shù)定義域?yàn)?.),(解第12頁(yè)/共26頁(yè)第十二頁(yè)，共27頁(yè)。第13頁(yè)/共26頁(yè)第十三頁(yè)，共27頁(yè)。上述(shngsh)求函數(shù)極值與極值點(diǎn)的方法可總結(jié)為:欲求(y qi)連續(xù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，需(1) 求出f(x)的定義域.(4) 如果(rgu)函數(shù)在駐點(diǎn)處的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)易求，可以利用判定極值第二充分條件判定其是否為極值點(diǎn).(2) 求出 .在f(x)的定義域內(nèi)求出f(x)的全部駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不

7、存在的點(diǎn).)(xf (3) 判定在上述點(diǎn)兩側(cè) 的符號(hào)，利用判定極值第一充分條件判定其是否為極值點(diǎn).)(xf 第14頁(yè)/共26頁(yè)第十四頁(yè)，共27頁(yè)。二、函數(shù)(hnsh)的最大值與最小值由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果f(x)在a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上必定能取得(qd)最大值與最小值.如何求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值是本段的基本問(wèn)題.第15頁(yè)/共26頁(yè)第十五頁(yè)，共27頁(yè)。求a,b上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟(bzhu)：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn).,21kxxx (2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).,21kxxx (3)比較導(dǎo)數(shù)

8、為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在(cnzi)的點(diǎn)的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).第16頁(yè)/共26頁(yè)第十六頁(yè)，共27頁(yè)。由上述分析可以看出，最大值與最小值是函數(shù)(hnsh)f(x)在區(qū)間a,b上的整體性質(zhì)，而極大值與極小值是函數(shù)(hnsh)f(x)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部性質(zhì).第17頁(yè)/共26頁(yè)第十七頁(yè)，共27頁(yè)。例5由于所給函數(shù)為1,2上的連續(xù)函數(shù).解第18頁(yè)/共26頁(yè)第十八頁(yè)，共27頁(yè)?？芍?k zh)f(x)在0,3上的最大值點(diǎn)為x=2，最大值為f(2)=1.例6所給函數(shù)為0,3上的連續(xù)函數(shù).解最小 值 點(diǎn)為x=0，最小值為第19頁(yè)/共2

9、6頁(yè)第十九頁(yè)，共27頁(yè)。由隱函數(shù)求導(dǎo)法則可以得出過(guò)M點(diǎn)的切線斜率.22yaxbk例7任取 上的點(diǎn)M(x,y)，且x0，y0.12222byax解).(22xXyaxbyY因而過(guò)M(x,y)的切線方程為第20頁(yè)/共26頁(yè)第二十頁(yè)，共27頁(yè)?？芍芯€與兩個(gè)坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.22122xybaXYS但是S最小當(dāng)且僅當(dāng)其分母 最大.222xaabx令X=0，得切線在y軸上的截距 .ybY2令Y=0，得切線在x軸上的截距 .xaX2第21頁(yè)/共26頁(yè)第二十一頁(yè)，共27頁(yè)。.220by 此時(shí).20022abyxbaS而且所求的駐點(diǎn)唯一，因此點(diǎn) 為所求最小值點(diǎn)，最小面積為ab.)22,22(0ba

10、M由問(wèn)題實(shí)際意義知，所圍三角形面積存在最小值，第22頁(yè)/共26頁(yè)第二十二頁(yè)，共27頁(yè)。 如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)，其駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在(且不在定義區(qū)間(q jin)的端點(diǎn)上達(dá)到)，那么所求駐點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn). 有必要指出，對(duì)于在實(shí)際的問(wèn)題中求其最大(小)值，首先應(yīng)該(ynggi)建立目標(biāo)函數(shù).然后求出目標(biāo)函數(shù)在定義(dngy)區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn). 如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，只需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.第23頁(yè)/共26頁(yè)第二十三頁(yè)，共27頁(yè)。例8 欲圍一個(gè)面積為150平方米的矩形場(chǎng)地(chngd)

11、，所用材料的造價(jià)其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問(wèn)場(chǎng)地(chngd)的長(zhǎng)、寬為多少米時(shí)，才能使所用材料費(fèi)最少？設(shè)所圍矩形場(chǎng)地正面長(zhǎng)為x m，另一邊長(zhǎng)為y m，則矩形場(chǎng)地面積為xy=150， .xy150解設(shè)四面圍墻的高相同(xin tn)，都為h，則四面圍墻所使用材料的費(fèi)用f(x)為第24頁(yè)/共26頁(yè)第二十四頁(yè)，共27頁(yè)。由于駐點(diǎn)唯一(wi y)，由實(shí)際意義可知，問(wèn)題的最小值存在，因此當(dāng)正面長(zhǎng)為10米，側(cè)面長(zhǎng)為15米時(shí)，所用材料費(fèi)最少.第25頁(yè)/共26頁(yè)第二十五頁(yè)，共27頁(yè)。感謝您的觀看(gunkn)！第26頁(yè)/共26頁(yè)第二十六頁(yè)，共27頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠(yuǎn)、最近、最好、最優(yōu)等問(wèn)題，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)上常可以歸結(jié)為求函數(shù)(