抽樣與參數(shù)估計(jì)實(shí)用教案

1、1.1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(chu yn)(Simple Random (chu yn)(Simple Random Sampling)Sampling) 一般地，設(shè)一個(gè)總體含有一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取回地抽取n n個(gè)個(gè)體作為樣本個(gè)個(gè)體作為樣本(nN),(nN),如果每次抽取時(shí)總?cè)绻看纬槿r(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣(chu yn)(chu yn)方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(chu yn)(chu yn)。假設(shè)要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)假

2、設(shè)要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)，我們只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的檢驗(yàn)，我們只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本。樣本。得到樣本餅干的一個(gè)方法是，將這批小包裝餅干放入得到樣本餅干的一個(gè)方法是，將這批小包裝餅干放入一個(gè)不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地摸取一個(gè)不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地摸取( (這樣可以保證每一袋餅干被抽中的機(jī)會(huì)相等這樣可以保證每一袋餅干被抽中的機(jī)會(huì)相等) )，這樣，這樣我們就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。我們就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。抽簽法抽簽法( (抓鬮法抓鬮法):):例如，高一（例如，高一（2 2）班有）班有4545名學(xué)生，現(xiàn)要從中

3、抽出名學(xué)生，現(xiàn)要從中抽出8 8名名學(xué)生去參加一個(gè)座談會(huì)，每名學(xué)生的機(jī)會(huì)相等。學(xué)生去參加一個(gè)座談會(huì)，每名學(xué)生的機(jī)會(huì)相等。我們可以把我們可以把4545名學(xué)生的學(xué)號(hào)寫在小紙片上，揉成小名學(xué)生的學(xué)號(hào)寫在小紙片上，揉成小球，放到一個(gè)不透明袋子中，充分?jǐn)嚢韬?，再?gòu)闹星?，放到一個(gè)不透明袋子中，充分?jǐn)嚢韬?，再?gòu)闹兄饌€(gè)抽出逐個(gè)抽出8 8個(gè)號(hào)簽，從而抽出個(gè)號(hào)簽，從而抽出8 8名參加座談會(huì)的學(xué)生。名參加座談會(huì)的學(xué)生。第1頁(yè)/共31頁(yè)第一頁(yè)，共32頁(yè)。2. 分層抽樣法(類型抽樣：Stratified Sampling) 一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉( jioch)的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定

4、數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣法假設(shè)某地區(qū)有高中生假設(shè)某地區(qū)有高中生24002400人，初中生人，初中生10 90010 900人，小人，小學(xué)生學(xué)生11 00011 000人此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中人此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)中小學(xué)小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)中小學(xué)生中抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查生中抽取的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查由于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比是由于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比是1:100, 1:100, 因此因此, ,樣樣本中包含的各部分的個(gè)體數(shù)應(yīng)該是本中包含的各部分的個(gè)體數(shù)應(yīng)該是2 400/100

5、10 900/100 11 000/1002 400/100 10 900/100 11 000/100即抽取即抽取2424名高中生，名高中生，109109名初中生和名初中生和110110名小學(xué)生作名小學(xué)生作為樣本為樣本第2頁(yè)/共31頁(yè)第二頁(yè)，共32頁(yè)。3. 等距抽樣(系統(tǒng)抽樣: Systematic Sampling)等距抽樣是在總體中每隔一定距離選取一個(gè)(y )樣本，即從數(shù)量為的總體中每隔k個(gè)單位就選取一個(gè)(y )樣本，若需選擇n個(gè)樣本，則取k=N/n, k的值需取整(如遇到N/n不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除)某學(xué)校為了了解高一年

6、級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見(jiàn)，打某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見(jiàn)，打算從高一年級(jí)算從高一年級(jí)500500名學(xué)生中抽取名學(xué)生中抽取5050名進(jìn)行調(diào)查名進(jìn)行調(diào)查首先將這首先將這500500名學(xué)生從名學(xué)生從1 1開(kāi)始進(jìn)行編號(hào)，然后按號(hào)碼開(kāi)始進(jìn)行編號(hào)，然后按號(hào)碼順序以一定的間隔進(jìn)行抽取由于順序以一定的間隔進(jìn)行抽取由于500/50=10,500/50=10,這個(gè)間這個(gè)間隔可以定為隔可以定為10,10,即從號(hào)碼為即從號(hào)碼為1 11010的第一間隔中隨機(jī)地的第一間隔中隨機(jī)地抽取一個(gè)號(hào)碼，假如抽到抽取一個(gè)號(hào)碼，假如抽到6 6號(hào)，然后從第號(hào)，然后從第6 6號(hào)開(kāi)始，每號(hào)開(kāi)始，每隔隔1010個(gè)號(hào)碼抽取一個(gè)，得到

7、個(gè)號(hào)碼抽取一個(gè)，得到 6, 16, 26, 36,4966, 16, 26, 36,496這樣我們就得到一個(gè)容量為這樣我們就得到一個(gè)容量為5050的樣本的樣本第3頁(yè)/共31頁(yè)第三頁(yè)，共32頁(yè)。4. 整群抽樣(chu yn)(Cluster Sampling) 整群抽樣(chu yn)就是從總體中成群成組地抽取調(diào)查單位，而不是一個(gè)一個(gè)地抽取調(diào)查單位。整群抽樣(chu yn)與分層抽樣(chu yn)有相似之處，即它們的第一步都是根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)將總體劃分為一些子群。分層抽樣(chu yn)是在所有子群中均要抽取樣本，作為總體樣本的一部分。而整群抽樣(chu yn)則不然，它是抽取若干子群并將抽出的子

8、群中全部個(gè)體作為樣本，因此總體樣本只分布在幾個(gè)群中。某大學(xué)共有某大學(xué)共有100個(gè)班級(jí)，每班個(gè)班級(jí)，每班30人，共人，共3000人。人。現(xiàn)要抽現(xiàn)要抽300人作為樣本，就可以采取隨機(jī)的辦法人作為樣本，就可以采取隨機(jī)的辦法抽抽10個(gè)班。個(gè)班。整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)是可以(ky)簡(jiǎn)化抽樣的過(guò)程；降低收集資料的費(fèi)用；擴(kuò)大抽樣的應(yīng)用。其缺點(diǎn)是樣本分布不均勻，樣本的代表性較差。第4頁(yè)/共31頁(yè)第四頁(yè)，共32頁(yè)。5. 方便抽樣(Convenience Sampling) 方便抽樣又稱為就近(jijn)抽樣、偶遇抽樣和自然抽樣，它是一種非概率抽樣方法。方便抽樣是指調(diào)查者根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作為

9、調(diào)查對(duì)象，或者僅僅選擇那些離得最近的、最容易找到的人作為調(diào)查對(duì)象。為了調(diào)查某市的交通情況，研究者到離他最近的公共汽為了調(diào)查某市的交通情況，研究者到離他最近的公共汽車站，把當(dāng)時(shí)正在那里等車的人選作調(diào)查對(duì)象。車站，把當(dāng)時(shí)正在那里等車的人選作調(diào)查對(duì)象。 在圖書(shū)館閱覽室對(duì)當(dāng)時(shí)正在閱讀的讀者進(jìn)行調(diào)查在圖書(shū)館閱覽室對(duì)當(dāng)時(shí)正在閱讀的讀者進(jìn)行調(diào)查 。第5頁(yè)/共31頁(yè)第五頁(yè)，共32頁(yè)。6. 判斷抽樣(Judgment Sampling)判斷抽樣又稱為主觀抽樣和立意抽樣，它是一種非概率抽樣方法。判斷抽樣是根據(jù)合理的判斷而得到具有代表性的樣本的一種抽樣方法。如果判斷正確，使用(shyng)判斷抽樣既節(jié)約時(shí)間又節(jié)省成

10、本，但 通常就一個(gè)判斷而言，有時(shí)出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤是不可避免的。某記者可以抽取他認(rèn)為能夠代表所有參議員觀點(diǎn)某記者可以抽取他認(rèn)為能夠代表所有參議員觀點(diǎn)的兩名或三名參議員進(jìn)行調(diào)查。的兩名或三名參議員進(jìn)行調(diào)查。第6頁(yè)/共31頁(yè)第六頁(yè)，共32頁(yè)。7. 定額抽樣(配額抽樣：Quota Sampling)定額抽樣是一種非概率抽樣方法。 定額抽樣與分層抽樣相似，也是按調(diào)查對(duì)象的某種屬性或 特征將總體中所有(suyu)個(gè)體分成若干類或?qū)?，然后在各層中?樣，樣本中各層（類）所占比例與他們?cè)诳傮w中所占比例 一樣。定額抽樣的目的在于要抽選出一個(gè)總體的“模擬物” 。 某高校有某高校有2000名學(xué)生，其中男生占名學(xué)生，其中

11、男生占60，女生占，女生占40；文科學(xué)生和理科學(xué)生各占文科學(xué)生和理科學(xué)生各占50；一年級(jí)學(xué)生占；一年級(jí)學(xué)生占40，二，二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生分別占年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生分別占30、20和和10?，F(xiàn)要用定額抽樣方法依上述三個(gè)變量抽取一個(gè)規(guī)模為現(xiàn)要用定額抽樣方法依上述三個(gè)變量抽取一個(gè)規(guī)模為100人的樣本?？傻枚~表如下：人的樣本。可得定額表如下： 男生（男生（60） 女生（女生（40） 文科（文科（30） 理科（理科（30） 文科（文科（20） 理科（理科（20）年級(jí)年級(jí) 一一 二二 三三 四四 一一 二二 三三 四四 一一 二二 三三 四四 一一 二二 三三 四四人數(shù)人數(shù) 12 9 6 3

12、 12 9 6 3 8 6 4 2 8 6 4 2第7頁(yè)/共31頁(yè)第七頁(yè)，共32頁(yè)。8. 滾雪球抽樣(Snowball Sampling) 滾雪球抽樣是一種非概率抽樣方法。 在無(wú)法了解總體情況時(shí)，可以從總體中的少數(shù)成員入手，對(duì)他們進(jìn)行調(diào)查(dio ch)，向他們?cè)儐?wèn)還知道哪些符合條件的人；再去找那些人并詢問(wèn)他們知道的人。如同滾雪球一樣，我們可以找到越來(lái)越多具有相同性質(zhì)的群體成員。這樣的抽樣方法就是滾雪球抽樣方法。要研究退休老人的生活，可以清晨到公園去結(jié)識(shí)幾位散步要研究退休老人的生活，可以清晨到公園去結(jié)識(shí)幾位散步老人，再通過(guò)他們結(jié)識(shí)其朋友，不用很久，你就可以交上老人，再通過(guò)他們結(jié)識(shí)其朋友，不用很

13、久，你就可以交上一大批老年朋友一大批老年朋友 。第8頁(yè)/共31頁(yè)第八頁(yè)，共32頁(yè)。二抽樣分布與參數(shù)估計(jì)1. 正態(tài)分布與總體均值的區(qū)間估計(jì) (1) 正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中,0為常數(shù)(chngsh)，則稱服從參數(shù)為,的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為(,2).當(dāng)=0, =1時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作(0,1). 從經(jīng)驗(yàn)和理論的研究告訴我們，在實(shí)踐中遇到的隨機(jī)變量，有許多是服從或近似地服從正態(tài)分布律,f(X) =21e- (x-)2 22 x +第9頁(yè)/共31頁(yè)第九頁(yè)，共32頁(yè)。正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線下圖給出條正態(tài)曲線，它們的都等于零，但卻具有不同的值從

14、圖可以看出，正態(tài)曲線具有下述性質(zhì):1) 曲線是位于橫軸的上方，以直線x=為對(duì)稱軸，它向左 右對(duì)稱地?zé)o窮伸延，并且以橫軸為漸進(jìn)(jinjn)線當(dāng)x=時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線逐漸降低，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀參數(shù)決定了正態(tài)曲線的形狀特點(diǎn)第10頁(yè)/共31頁(yè)第十頁(yè)，共32頁(yè)。 (2) 中心極限定理 設(shè)從均值為，方差為2的一個(gè)服從任意分布的總體中，抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值 的抽樣分布近似服從均值為，方差為2/n的正態(tài)分布中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本總體不是正態(tài)分布或者總體的分布未知時(shí)，只要(zhyo)樣本容量n充分大，樣本均值就服從正態(tài)分布那么n多大才叫充分

15、大呢?當(dāng)總體的分布未知時(shí)，通常要求n30.X第11頁(yè)/共31頁(yè)第十一頁(yè)，共32頁(yè)。 (3). 2已知時(shí)，總體均值的區(qū)間(q jin)估計(jì) 設(shè)(X1,X2,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體(,)的一個(gè)樣本，其中總體方差已知，則統(tǒng)計(jì)量 N(0,1). 對(duì)于給定的顯著性水平(030時(shí)) t 分布和正態(tài)分布很接近t 分布通常是在小樣本情況下，總體方差未知時(shí)，對(duì)總體均值的估計(jì)(gj)和假設(shè)檢驗(yàn)中使用則選取(xunq)統(tǒng)計(jì)量其中第15頁(yè)/共31頁(yè)第十五頁(yè)，共32頁(yè)。(2) 2未知時(shí)，總體均值(jn zh)的區(qū)間估計(jì)設(shè)(X1,X2,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體(,)的一個(gè)樣本，但總體方差未知，這時(shí)要選取統(tǒng)計(jì)量 , 則 對(duì)于給定

16、的顯著性水平(01), 總體均值(jn zh)在置信水平1-下的置信區(qū)間為: t= X-S / nt= X-S / n t(n-1).) 1(,) 1(22nSntXnSntX第16頁(yè)/共31頁(yè)第十六頁(yè)，共32頁(yè)。案例: 研究者從人群中隨機(jī)抽取16人，調(diào)查他們的年出游天數(shù)，得到他們的年出游天數(shù)分別為13天9天 7天 15天 17天 20天 12天 6天 12天 12天 10天9 天 16天 7天 8天 11天，假設(shè)其總體服從正態(tài)分布，試在=0.1下建立年人均出游天數(shù)的置信區(qū)間.已知n=16, =0.1 計(jì)算得:查表得: t =1.753 根據(jù)公式，總體均值在置信水平90%下的置信區(qū)間為:也就是

17、說(shuō)，有90%的把握相信，年人均出游天數(shù)大約在9.8天到13.2天之間 Xi =11.5X = n1i=1ni=1n( Xi-X)21n-1 = 3.96S=2(X t (n-1) ,2Sn X + t (n-1) )2Sn11.5 + 1.753 3.9616)= (11.5-1.753 3.9616,= (9.77, 13.24)第17頁(yè)/共31頁(yè)第十七頁(yè)，共32頁(yè)。第18頁(yè)/共31頁(yè)第十八頁(yè)，共32頁(yè)。 3. 總體比例(bl)的區(qū)間估計(jì)(1) 樣本比例(bl)的分布 樣本比例(bl) p 是樣本中具有某種特征的單位數(shù)量除以樣本中的單位總數(shù)n得到的. 總體中具有某種特征的單位占全部單位的比例

18、(bl)稱為總體比例(bl)，記作p. 在大樣本情況下，樣本比例(bl)分布近似于正態(tài)分布若從總體中抽取n個(gè)樣本，則樣本比例(bl) p 的均值為p,p 的方差為 p = nXn1p (1-p),即 p N (p, p (1-p)n1Z= p-pp(1-p)n則統(tǒng)計(jì)(tngj)量 N(0,1).第19頁(yè)/共31頁(yè)第十九頁(yè)，共32頁(yè)。 (2)總體比例的區(qū)間估計(jì)在 中，要確定p的區(qū)間估計(jì)，用p 代替分母中的p,得到(d do)在1-的置信水平下，總體比例p值的置信區(qū)間為: 在上式中， 是點(diǎn)估計(jì)， P (1-P)nZ= p-p 是估計(jì)(gj)誤差PnPPZ)1 (2)1 (,)1 (22nPPZPn

19、PPZP第20頁(yè)/共31頁(yè)第二十頁(yè)，共32頁(yè)。案例: 航空公司的飛行時(shí)間和價(jià)格是商務(wù)旅行者選擇航班的重要因素，調(diào)查結(jié)果表明，商務(wù)旅行者一般將航空 公司許諾的?？驼劭劭闯墒亲钪匾囊蛩卦谝粋€(gè)由1993名商務(wù)旅行者組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本中，有618人認(rèn)為折扣是他們最看好的東西試在0.95的置信水平下，估計(jì)認(rèn)為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例= (0.29, 0.33)p(1 - p)n( p Z 2,p(1 - p)n p + Z 2 已知, n=1993, p =618/1993=0.31, 1-= 0.95 查表得: Z2= Z0.025= 1.96由得知, 認(rèn)為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例為29

20、% 33%之間之間.第21頁(yè)/共31頁(yè)第二十一頁(yè)，共32頁(yè)。pp)第22頁(yè)/共31頁(yè)第二十二頁(yè)，共32頁(yè)。 4. 樣本容量的確定(1) 估計(jì)(gj)總體均值時(shí)，樣本容量的確定在大樣本情況下，不論是正態(tài)總體還是非正態(tài)總體，在估計(jì)(gj)總體均值時(shí)，我們都選取統(tǒng)計(jì)量 其中，-就是估計(jì)(gj)誤差，記估計(jì)(gj)誤差為，= X-, 則 得到估計(jì)(gj)總體均值時(shí)的樣本容量為: X-Z= / n, Z= / n2Zn= 222第23頁(yè)/共31頁(yè)第二十三頁(yè)，共32頁(yè)。 案例: 某飯店為了合理配置前臺(tái)接待人員，飯店管理部 門需要了解接待一名顧客所花費(fèi)的時(shí)間，要求估計(jì)誤差不超過(guò)2分鐘，假定一名服務(wù)員接待一名

21、顧客花費(fèi)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4分鐘，問(wèn)在99%的置信水平下，需要觀察多少名顧客?2Z= Z 0.005 = 2.58 查表得:n= 222Z2=(2.58)2(4)222= 26.6于是， 已知估計(jì)誤差=2, 標(biāo)準(zhǔn)差=4, 1-=0.99, =0.01即需要觀察27名顧客。 第24頁(yè)/共31頁(yè)第二十四頁(yè)，共32頁(yè)。第25頁(yè)/共31頁(yè)第二十五頁(yè)，共32頁(yè)。(2) 估計(jì)總體比例時(shí),樣本容量的確定估計(jì)樣本比例時(shí),選取統(tǒng)計(jì)(tngj)量 ,估計(jì)誤差為, = p p = Z2p(1-p)nP (1-P)nZ= p-p在上式中, 總體比例(bl) p 是待估參數(shù),是未知的,選取 進(jìn)行計(jì)算,這樣求出的應(yīng)是最大的樣本容量. 一家旅行社需要了解出國(guó)游人數(shù)所占的比例,要求估計(jì)誤差不超過(guò)0.05,問(wèn)在95%的置信水平下,應(yīng)抽取多大容量的樣本?已知: =0.05, 選取p=0.5, 查表得Z = Z2p(1-p)n 385即應(yīng)選取385人進(jìn)行調(diào)查.2= 1.96第26頁(yè)/共31頁(yè)第二十六頁(yè)，共32頁(yè)。P181.題2：(p.176) 某學(xué)校對(duì)一年級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)(chngj)進(jìn)行評(píng)估,現(xiàn)隨機(jī)抽取了10個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)(chngj),得到如下數(shù)據(jù)：83,88,54,63