初三幾何2中點輔助線.中位線(2014-2015)教師(共23頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 2015年中考解決方案構(gòu)造中位線學(xué)生姓名：×××上課時間：2014.××.××構(gòu)造中位線自檢自查必考點知識點一 中點一、與中點有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線 三角形中線的相關(guān)定理： 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經(jīng)過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線必平分第三邊直

2、角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個三角形是直角三角形二、與中點有關(guān)的輔助線秘籍一：倍長中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。 秘籍二：構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取另一邊中點，或延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。 秘籍三：構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點等線段，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口 其他位置的也要能看出 秘籍四：構(gòu)造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜

3、邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。 他位置的也要能看出 中考滿分必做題一、構(gòu)造三角形中位線考點說明：凡是出現(xiàn)中點，或多個中點，都可以考慮取四邊形對角線中點、等腰三角形底邊中點、直角三角形斜邊中點或其他線段中點，延長三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的?！邦}中有中點，莫忘中位線”與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個是常用幾何思想，但注意倍長中線的主要目的是通過構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來平移也有類似功效【例1】 已知：是的中線，是的中線，且，求證：【答案】取的中點，連結(jié)，易得，而，故再證，得【練1】如右下圖，在中，若，

4、為邊的中點求證：【答案】如右下圖，則取邊中點，連結(jié)、由中位線可得，且為斜邊上的中線，又，即，【練2】在中，、分別為、邊上的高，求證：【考點】三角形的中位線，30°所對的直角邊等于斜邊的一半【答案】取、的中點，連結(jié)，從而得，又因，故【練3】在中，以為底作等腰直角，是的中點，求證：且【答案】過作交于又，又故且【例2】 已知四邊形的對角線，、分別是、的中點，連結(jié)分別交、于、，求證：【答案】設(shè)的中點為，連結(jié)、，容易證得，從而，所以 【練1】已知四邊形中，分別是的中點，交于；交于，和交于點求證：【答案】取中點，連接,【練2】已知：在中，動點繞的頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，且，連結(jié)過、的中點、作直線，直線與

5、直線、分別相交于點、（1）如圖1，當(dāng)點旋轉(zhuǎn)到的延長線上時，點恰好與點重合，取的中點，連結(jié)、，求證： （2）當(dāng)點旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時，與有何數(shù)量關(guān)系？請證明【答案】取的中點，連結(jié)、是的中點，是的中點，同理，【例3】 如圖，在五邊形中，為的中點求證：【答案】取中點，中點連結(jié)、，則根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)有，同理可證，即，【練1】 如圖所示，在中，為的中點，分別延長、到點、，使過、 分別作直線、的垂線，相交于點，設(shè)線段、的中點分別為、求證：（1）；（2）【答案】（1）如圖所示，根據(jù)題意可知且，且，所以而、分別是直角三角形、的斜邊的中點，所以，又已知，從而（2）由(1)可知，則由可得

6、而、均為等腰三角形，所以【練2】 已知：在中，分別以、為斜邊作等腰直角三角形，和，是邊的中點求證：【答案】取中點中點連結(jié) (兩邊分別垂直)【練3】 如圖所示，已知和都是直角三角形，且，連接，設(shè)為的中點（1）求證（2）設(shè)，固定Rt，讓Rt移至圖示位置，此時是否成立？請證明你的結(jié)論【答案】（1）如圖所示，延長交于因為，故，則，從而（2）結(jié)論是肯定的取、的中點、，連接、由、是Rt、Rt斜邊上的中線可得，從而，又因為，故，從而，故【練4】 在ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點中點，連接MD和ME（1）如圖24-1所示，若AB=AC，則MD和ME

7、的數(shù)量關(guān)系是 （2）如圖24-2所示，若ABAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；（3）在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，請在圖24-3中補全圖形，并直接判斷MED的形狀圖24-3圖24-2圖24-1 2014年門頭溝二?！敬鸢浮浚?） （2）如圖，作，垂足分別為因為分別是等腰直角三角形和等腰直角三角形斜邊上的高，所以分別是的中點 又是的中點，所以是的中位線，分別是直角三角形和直角三角形斜邊上的中線， （3）作圖正確得一分 等腰直角三角形 【例4】 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連

8、接，、分別是、的中點探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時，與的位置關(guān)系是_；線段與的數(shù)量關(guān)系是_；（2）將圖中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)()后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生改變？并說明理由 【答案】（1），;（2）結(jié)論仍然成立。證法一：如圖，延長至，使，交于點，并連結(jié) ，在與中，.又，且 【練1】（1）如圖1，、分別是的外角平分線，過點作,垂足分別為，連接求證： （2）如圖2，分別是的內(nèi)角平分線，其他條件不變； （3）如圖3，為的內(nèi)角平分線，為的外角平分線，其他條件不變 則在圖2、圖3兩種情況下，還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請你寫出猜測，并給與證明

9、【解析】（1）如圖1，證明略 （2）如圖2，證明過程略（3） 如圖，證明過程略【練2】已知中，邊上的高線與的兩條內(nèi)角平分線、分別交于、兩點、的中點分別為、求證：【點播】（模型）雙垂直+角平分線=等腰三角形，可以讓學(xué)生記住該模型【答案】因為是的平分線，所以.又因為，所以，因此 又是的中點，所以，延長交于，延長交于可證明,所以和分別是和的中位線所以【例5】 等腰梯形中，與交于點，、分別是、的中點，求證：是正三角形【答案】連結(jié)、是等腰梯形，、都是正三角形是的中點，是的中點，、分別是直角三角形、斜邊上的中線，是的中位線，是正三角形再給一種思路：(其實方法很多)取的中點，連結(jié)、證明，再證結(jié)論【練1】是的

10、中線，是的中點，的延長線交于求證：【答案】取的中點，連接易得，為的中點，所以，從而可證得：【例6】 如左下圖，在梯形中，、分別是、中點求證：，且【答案】如圖，連結(jié)并延長交于，【練習(xí)2】在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東，小明交流原問題：如圖1，已知，分別以為邊向外作和，且，連接交于點，探究線段與的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是：過點作于，構(gòu)造全等三角形，通過推理使問題得解小東同學(xué)說：我做過一道類似的題目，不同的是，小明同學(xué)經(jīng)過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況。請你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問題：（1）寫出原問題中與的數(shù)量關(guān)系（2）如圖2，若，原

11、問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，若原問題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請寫出你的猜想并加以證明?！敬鸢浮浚?）（2）猜想：證明：過點作于，則，是等邊三角形，是等邊三角形，(3)猜想：證法一：過點作于，連接，交于，則，四邊形是平行四邊形，證法二：分別過點，作于，于，連接則，點在同一條直線上中考真題拔高【例7】 已知：中，中，. 連接、，點、分別為、的中點. （1）如圖1，若、三點在同一直線上，且，則的形狀是_，此時_；（2）如圖2，若、三點在同一直線上，且，證明，并計算的值（用含的式子表示）；（3）在圖2中

12、，固定，將繞點旋轉(zhuǎn)，直接寫出的最大值.（10年海淀一模） 圖1 圖2【答案】（1）等邊三角形，1； （2）證明：連接、.由題意，得，,. 、三點在同一直線上， 、三點在同一直線上. . 為中點， 在Rt中，.在Rt中，. . 、四點都在以為圓心，為半徑的圓上. .又 ， . . .由題意，又. . .在Rt中，. ， . （3）.【例8】 如圖，D是ABC中AB邊的中點，BCE和ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點.（1）求證：DMN是等邊三角形；（2）連接EF，Q是EF中點，CPEF于點P. 求證：DPDQ. 同學(xué)們，如果你覺得解決本題有困難，可以閱讀下面 兩位同學(xué)的解題思路作

13、為參考： 小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點，因此考慮構(gòu)造 三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要 證明線段相等，可通過證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將NCM繞頂點旋轉(zhuǎn)到要證的對應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.（12年朝陽二模）【答案】（1）取AC的中點G，連接NG、DG.DGBC，DGBC；NGC是等邊三角形. NG = NC，DG = CM. 1 + 2 = 180º，NGD + 2 = 240º.2 + 3 = 240º，NGD =3.NGDNCM . ND = NM ，GND =CNM. DNM =GNC =

14、 60º.DMN是等邊三角形. （2）連接QN、PM.QN =CE= PM. RtCPE中，PM =EM，4= 5. MNEF，5= 6，7= 8.NQCE，7= 4.6= 8.QND= PMD. QNDPMD. DQ= DP. 【例9】 在ABC中，D為BC邊的中點，在三角形內(nèi)部取一點P，使得ABP=ACP過點P作PEAB于點E，PFAC于點F （1）如圖1，當(dāng)AB=AC時，判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)ABAC，其它條件不變時，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明理由（12年豐臺二模） 圖1 圖2【答案】（1）DE=DF （2）DE=DF不發(fā)生改變理

15、由如下：分別取BP、CP的中點M、N，聯(lián)結(jié)EM、DM、FN、DN D為BC的中點， 同理 四邊形MDNP為平行四邊形 EMDDNF DE=DF【例10】 探究問題：已知AD、BE分別為ABC 的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點O.（1）ABC為等邊三角形，如圖1，則AOOD=_；（2）當(dāng)小明做完（1）問后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若ABC為一般三角形（如圖2），中的結(jié)論仍成立，請你給予證明.（3）運用上述探究的結(jié)果，解決下列問題：如圖3，在ABC中，點E是邊AC的中點，AD平分BAC, ADBE于點F，若AD=BE=4.求：ABC的周長.（2012年房山二模試題） 圖1 圖2 圖3【答案】（1）2

16、：1 （2）證明略（3）方法一：過點C作CGBE，交AB延長線于點G，故是的中位線，點為重心，,故周長為方法二：取中點，中點，連接，交于點，易證四邊形為菱形，故為重心，=，故周長為【例11】 如圖1，在四邊形中，分別是的中點，連結(jié)并延長，分別與的延長線交于點，則（不需證明）（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)，取的中點，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理，證明，從而，再利用平行線性質(zhì)，可證得）問題一：如圖2，在四邊形中，與相交于點，分別是的中點，連結(jié)，分別交于點，判斷的形狀，請直接寫出結(jié)論問題二：如圖3，在中，點在上，分別是的中點，連結(jié)并延長，與的延長線交于點，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明（13年延慶一模） 圖1

17、 圖2 圖3【答案】（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連結(jié)，取的中點，連結(jié)， 是的中點，ABCDFGHE123，同理，60°，是等邊三角形 ，即是直角三角形 【例12】 我們知道三角形三條中線的交點叫做三角形的重心經(jīng)過證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)： 重心到頂點的距離與重心到該頂點對邊中點的距離之比為請你用此性質(zhì)解決下面的問題.已知：如圖，點為等腰直角三角形的重心，直線過點,過三點分別作直線的垂線，垂足分別為點. （1）當(dāng)直線與平行時（如圖1），請你猜想線段和三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到與不平行時，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，不需證明（10年石景山一模）【答案】（1）猜想：證明：如圖，延長交于點，點為等腰直角三角形的重心且又 （2）圖2結(jié)論：證明：聯(lián)結(jié)并延長交于點 過做于由重心性質(zhì)可得, 為重心為中點為中點 (3)如圖2，取中點，連接并延長交于點，連接，（梯形中位線），【例13】 以平面上一點 為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作 和 ，其中 （1） 點 、 、 分別是 、 、 的中點，連接 、 （2） 如圖1，當(dāng)點 、 分別在 、 的延長線上時，=_；如圖2，將圖1中