初三幾何2中點(diǎn)輔助線.中位線(2014-2015)教師(共23頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 2015年中考解決方案構(gòu)造中位線學(xué)生姓名：×××上課時(shí)間：2014.××.××構(gòu)造中位線自檢自查必考點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一 中點(diǎn)一、與中點(diǎn)有關(guān)的概念三角形中線的定義：三角形頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的連線 三角形中線的相關(guān)定理： 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半 等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)三角形中位線定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半中位線判定定理：經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)且平行于另一邊的直線必平分第三邊直

2、角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等于該邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形二、與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線秘籍一：倍長(zhǎng)中線解讀：凡是出現(xiàn)中線或類(lèi)似中線的線段，都可以考慮倍長(zhǎng)中線，倍長(zhǎng)中線的目的可以旋轉(zhuǎn)等長(zhǎng)度的線段，從而達(dá)到將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的目的。 秘籍二：構(gòu)造中位線解讀：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個(gè)中點(diǎn)，都可以考慮取另一邊中點(diǎn)，或延長(zhǎng)三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。 秘籍三：構(gòu)造三線合一解讀：只要出現(xiàn)等腰三角形，或共頂點(diǎn)等線段，就需要考慮構(gòu)造三線合一，從而找到突破口 其他位置的也要能看出 秘籍四：構(gòu)造斜邊中線解讀：只要出現(xiàn)直角三角形，或直角，則考慮連接斜

3、邊中線段，第一可以出現(xiàn)三條等線段，第二可以出現(xiàn)兩個(gè)等腰三角形，從而轉(zhuǎn)化線段關(guān)系。 他位置的也要能看出 中考滿分必做題一、構(gòu)造三角形中位線考點(diǎn)說(shuō)明：凡是出現(xiàn)中點(diǎn)，或多個(gè)中點(diǎn)，都可以考慮取四邊形對(duì)角線中點(diǎn)、等腰三角形底邊中點(diǎn)、直角三角形斜邊中點(diǎn)或其他線段中點(diǎn)，延長(zhǎng)三角形一邊，從而達(dá)到構(gòu)造三角形中位線的目的。“題中有中點(diǎn)，莫忘中位線”與此很相近的幾何思想是“題中有中線，莫忘加倍延”，這兩個(gè)是常用幾何思想，但注意倍長(zhǎng)中線的主要目的是通過(guò)構(gòu)造三角形全等將分散的條件集中起來(lái)平移也有類(lèi)似功效【例1】 已知：是的中線，是的中線，且，求證：【答案】取的中點(diǎn)，連結(jié)，易得，而，故再證，得【練1】如右下圖，在中，若，

4、為邊的中點(diǎn)求證：【答案】如右下圖，則取邊中點(diǎn)，連結(jié)、由中位線可得，且為斜邊上的中線，又，即，【練2】在中，、分別為、邊上的高，求證：【考點(diǎn)】三角形的中位線，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半【答案】取、的中點(diǎn)，連結(jié)，從而得，又因，故【練3】在中，以為底作等腰直角，是的中點(diǎn)，求證：且【答案】過(guò)作交于又，又故且【例2】 已知四邊形的對(duì)角線，、分別是、的中點(diǎn)，連結(jié)分別交、于、，求證：【答案】設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)、，容易證得，從而，所以 【練1】已知四邊形中，分別是的中點(diǎn)，交于；交于，和交于點(diǎn)求證：【答案】取中點(diǎn)，連接,【練2】已知：在中，動(dòng)點(diǎn)繞的頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且，連結(jié)過(guò)、的中點(diǎn)、作直線，直線與

5、直線、分別相交于點(diǎn)、（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，求證： （2）當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí)，與有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明【答案】取的中點(diǎn)，連結(jié)、是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，同理，【例3】 如圖，在五邊形中，為的中點(diǎn)求證：【答案】取中點(diǎn)，中點(diǎn)連結(jié)、，則根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)有，同理可證，即，【練1】 如圖所示，在中，為的中點(diǎn)，分別延長(zhǎng)、到點(diǎn)、，使過(guò)、 分別作直線、的垂線，相交于點(diǎn)，設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為、求證：（1）；（2）【答案】（1）如圖所示，根據(jù)題意可知且，且，所以而、分別是直角三角形、的斜邊的中點(diǎn)，所以，又已知，從而（2）由(1)可知，則由可得

6、而、均為等腰三角形，所以【練2】 已知：在中，分別以、為斜邊作等腰直角三角形，和，是邊的中點(diǎn)求證：【答案】取中點(diǎn)中點(diǎn)連結(jié) (兩邊分別垂直)【練3】 如圖所示，已知和都是直角三角形，且，連接，設(shè)為的中點(diǎn)（1）求證（2）設(shè)，固定Rt，讓Rt移至圖示位置，此時(shí)是否成立？請(qǐng)證明你的結(jié)論【答案】（1）如圖所示，延長(zhǎng)交于因?yàn)?，故，則，從而（2）結(jié)論是肯定的取、的中點(diǎn)、，連接、由、是Rt、Rt斜邊上的中線可得，從而，又因?yàn)椋?，從而，故【?】 在ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點(diǎn)中點(diǎn)，連接MD和ME（1）如圖24-1所示，若AB=AC，則MD和ME

7、的數(shù)量關(guān)系是 （2）如圖24-2所示，若ABAC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程；（3）在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，請(qǐng)?jiān)趫D24-3中補(bǔ)全圖形，并直接判斷MED的形狀圖24-3圖24-2圖24-1 2014年門(mén)頭溝二模【答案】（1） （2）如圖，作，垂足分別為因?yàn)榉謩e是等腰直角三角形和等腰直角三角形斜邊上的高，所以分別是的中點(diǎn) 又是的中點(diǎn)，所以是的中位線，分別是直角三角形和直角三角形斜邊上的中線， （3）作圖正確得一分 等腰直角三角形 【例4】 以的兩邊、為腰分別向外作等腰和等腰，.連

8、接，、分別是、的中點(diǎn)探究：與的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，與的位置關(guān)系是_；線段與的數(shù)量關(guān)系是_；（2）將圖中的等腰繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)()后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由 【答案】（1），;（2）結(jié)論仍然成立。證法一：如圖，延長(zhǎng)至，使，交于點(diǎn)，并連結(jié) ，在與中，.又，且 【練1】（1）如圖1，、分別是的外角平分線，過(guò)點(diǎn)作,垂足分別為，連接求證： （2）如圖2，分別是的內(nèi)角平分線，其他條件不變； （3）如圖3，為的內(nèi)角平分線，為的外角平分線，其他條件不變 則在圖2、圖3兩種情況下，還平行嗎？它與三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？ 請(qǐng)你寫(xiě)出猜測(cè)，并給與證明

9、【解析】（1）如圖1，證明略 （2）如圖2，證明過(guò)程略（3） 如圖，證明過(guò)程略【練2】已知中，邊上的高線與的兩條內(nèi)角平分線、分別交于、兩點(diǎn)、的中點(diǎn)分別為、求證：【點(diǎn)播】（模型）雙垂直+角平分線=等腰三角形，可以讓學(xué)生記住該模型【答案】因?yàn)槭堑钠椒志€，所以.又因?yàn)?，所以，因?又是的中點(diǎn)，所以，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于可證明,所以和分別是和的中位線所以【例5】 等腰梯形中，與交于點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，求證：是正三角形【答案】連結(jié)、是等腰梯形，、都是正三角形是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，、分別是直角三角形、斜邊上的中線，是的中位線，是正三角形再給一種思路：(其實(shí)方法很多)取的中點(diǎn)，連結(jié)、證明，再證結(jié)論【練1】是的

10、中線，是的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于求證：【答案】取的中點(diǎn)，連接易得，為的中點(diǎn)，所以，從而可證得：【例6】 如左下圖，在梯形中，、分別是、中點(diǎn)求證：，且【答案】如圖，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，【練習(xí)2】在課外小組活動(dòng)時(shí)，小慧拿來(lái)一道題（原問(wèn)題）和小東，小明交流原問(wèn)題：如圖1，已知，分別以為邊向外作和，且，連接交于點(diǎn)，探究線段與的數(shù)量關(guān)系。小慧同學(xué)的思路是：過(guò)點(diǎn)作于，構(gòu)造全等三角形，通過(guò)推理使問(wèn)題得解小東同學(xué)說(shuō)：我做過(guò)一道類(lèi)似的題目，不同的是，小明同學(xué)經(jīng)過(guò)合情推理，提出一個(gè)猜想，我們可以把問(wèn)題推廣到一般情況。請(qǐng)你參考小慧同學(xué)的思路，探究并解決這三位同學(xué)提出的問(wèn)題：（1）寫(xiě)出原問(wèn)題中與的數(shù)量關(guān)系（2）如圖2，若，原

11、問(wèn)題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并加以證明；（3）如圖3，若原問(wèn)題中的其他條件不變，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想并加以證明。【答案】（1）（2）猜想：證明：過(guò)點(diǎn)作于，則，是等邊三角形，是等邊三角形，(3)猜想：證法一：過(guò)點(diǎn)作于，連接，交于，則，四邊形是平行四邊形，證法二：分別過(guò)點(diǎn)，作于，于，連接則，點(diǎn)在同一條直線上中考真題拔高【例7】 已知：中，中，. 連接、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn). （1）如圖1，若、三點(diǎn)在同一直線上，且，則的形狀是_，此時(shí)_；（2）如圖2，若、三點(diǎn)在同一直線上，且，證明，并計(jì)算的值（用含的式子表示）；（3）在圖2中

12、，固定，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫(xiě)出的最大值.（10年海淀一模） 圖1 圖2【答案】（1）等邊三角形，1； （2）證明：連接、.由題意，得，,. 、三點(diǎn)在同一直線上， 、三點(diǎn)在同一直線上. . 為中點(diǎn)， 在Rt中，.在Rt中，. . 、四點(diǎn)都在以為圓心，為半徑的圓上. .又 ， . . .由題意，又. . .在Rt中，. ， . （3）.【例8】 如圖，D是ABC中AB邊的中點(diǎn)，BCE和ACF都是等邊三角形，M、N分別是CE、CF的中點(diǎn).（1）求證：DMN是等邊三角形；（2）連接EF，Q是EF中點(diǎn)，CPEF于點(diǎn)P. 求證：DPDQ. 同學(xué)們，如果你覺(jué)得解決本題有困難，可以閱讀下面 兩位同學(xué)的解題思路作

13、為參考： 小聰同學(xué)發(fā)現(xiàn)此題條件中有較多的中點(diǎn)，因此考慮構(gòu)造 三角形的中位線，添加出了一些輔助線；小慧同學(xué)想到要 證明線段相等，可通過(guò)證明三角形全等，如何構(gòu)造出相應(yīng)的三角形呢？她考慮將NCM繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到要證的對(duì)應(yīng)線段的位置，由此猜想到了所需構(gòu)造的三角形的位置.（12年朝陽(yáng)二模）【答案】（1）取AC的中點(diǎn)G，連接NG、DG.DGBC，DGBC；NGC是等邊三角形. NG = NC，DG = CM. 1 + 2 = 180º，NGD + 2 = 240º.2 + 3 = 240º，NGD =3.NGDNCM . ND = NM ，GND =CNM. DNM =GNC =

14、 60º.DMN是等邊三角形. （2）連接QN、PM.QN =CE= PM. RtCPE中，PM =EM，4= 5. MNEF，5= 6，7= 8.NQCE，7= 4.6= 8.QND= PMD. QNDPMD. DQ= DP. 【例9】 在ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，在三角形內(nèi)部取一點(diǎn)P，使得ABP=ACP過(guò)點(diǎn)P作PEAB于點(diǎn)E，PFAC于點(diǎn)F （1）如圖1，當(dāng)AB=AC時(shí)，判斷的DE與DF的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論；（2）如圖2，當(dāng)ABAC，其它條件不變時(shí)，（1）中的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由（12年豐臺(tái)二模） 圖1 圖2【答案】（1）DE=DF （2）DE=DF不發(fā)生改變理

15、由如下：分別取BP、CP的中點(diǎn)M、N，聯(lián)結(jié)EM、DM、FN、DN D為BC的中點(diǎn)， 同理 四邊形MDNP為平行四邊形 EMDDNF DE=DF【例10】 探究問(wèn)題：已知AD、BE分別為ABC 的邊BC、AC上的中線，且AD、BE交于點(diǎn)O.（1）ABC為等邊三角形，如圖1，則AOOD=_；（2）當(dāng)小明做完（1）問(wèn)后繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若ABC為一般三角形（如圖2），中的結(jié)論仍成立，請(qǐng)你給予證明.（3）運(yùn)用上述探究的結(jié)果，解決下列問(wèn)題：如圖3，在ABC中，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，AD平分BAC, ADBE于點(diǎn)F，若AD=BE=4.求：ABC的周長(zhǎng).（2012年房山二模試題） 圖1 圖2 圖3【答案】（1）2

16、：1 （2）證明略（3）方法一：過(guò)點(diǎn)C作CGBE，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，故是的中位線，點(diǎn)為重心，,故周長(zhǎng)為方法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，易證四邊形為菱形，故為重心，=，故周長(zhǎng)為【例11】 如圖1，在四邊形中，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，分別與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則（不需證明）（溫馨提示：在圖1中，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，根據(jù)三角形中位線定理，證明，從而，再利用平行線性質(zhì)，可證得）問(wèn)題一：如圖2，在四邊形中，與相交于點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，分別交于點(diǎn)，判斷的形狀，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論問(wèn)題二：如圖3，在中，點(diǎn)在上，分別是的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，連結(jié)，判斷的形狀并證明（13年延慶一模） 圖1

17、 圖2 圖3【答案】（1）等腰三角形（2）判斷出直角三角形證明：如圖連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)， 是的中點(diǎn)，ABCDFGHE123，同理，60°，是等邊三角形 ，即是直角三角形 【例12】 我們知道三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心經(jīng)過(guò)證明我們可得三角形重心具備下面的性質(zhì)： 重心到頂點(diǎn)的距離與重心到該頂點(diǎn)對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為請(qǐng)你用此性質(zhì)解決下面的問(wèn)題.已知：如圖，點(diǎn)為等腰直角三角形的重心，直線過(guò)點(diǎn),過(guò)三點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn). （1）當(dāng)直線與平行時(shí)（如圖1），請(qǐng)你猜想線段和三者之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不平行時(shí)，分別探究在圖2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段三者之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論，不需證明（10年石景山一模）【答案】（1）猜想：證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，點(diǎn)為等腰直角三角形的重心且又 （2）圖2結(jié)論：證明：聯(lián)結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn) 過(guò)做于由重心性質(zhì)可得, 為重心為中點(diǎn)為中點(diǎn) (3)如圖2，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，（梯形中位線），【例13】 以平面上一點(diǎn) 為直角頂點(diǎn)，分別畫(huà)出兩個(gè)直角三角形，記作 和 ，其中 （1） 點(diǎn) 、 、 分別是 、 、 的中點(diǎn)，連接 、 （2） 如圖1，當(dāng)點(diǎn) 、 分別在 、 的延長(zhǎng)線上時(shí)，=_；如圖2，將圖1中