潮流計算的數(shù)學(xué)模型及基本解法實用教案

1、2021-12-117.1 7.1 潮流潮流(choli)(choli)計算問題的數(shù)學(xué)計算問題的數(shù)學(xué)模型模型一、一、 潮流方程潮流方程 對于對于N N個節(jié)點的電力網(wǎng)絡(luò)（地作為參考節(jié)點個節(jié)點的電力網(wǎng)絡(luò)（地作為參考節(jié)點不包括在內(nèi)），如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)已知，不包括在內(nèi)），如果網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)已知，則網(wǎng)絡(luò)方程可表示為則網(wǎng)絡(luò)方程可表示為 （7-17-1） 式中，式中，Y Y為為 階節(jié)點導(dǎo)納矩陣；階節(jié)點導(dǎo)納矩陣； 為為 維節(jié)點電壓列矢量；維節(jié)點電壓列矢量； 為為 維節(jié)點注入電流維節(jié)點注入電流列矢量。如果不計網(wǎng)絡(luò)元件非線性，也不考慮列矢量。如果不計網(wǎng)絡(luò)元件非線性，也不考慮(kol)(kol)移相變壓器

2、，則移相變壓器，則Y Y為對稱矩陣。為對稱矩陣。 電力系統(tǒng)計算中，一般給定的運行變量電力系統(tǒng)計算中，一般給定的運行變量是節(jié)點注入功率，而不是節(jié)點注入電流，這兩是節(jié)點注入功率，而不是節(jié)點注入電流，這兩者之間有如下關(guān)系：者之間有如下關(guān)系： （7-27-2） IVYNNV1NI1NSIE第1頁/共47頁第一頁，共48頁。2021-12-12式中，式中， 為節(jié)點的注入復(fù)功率，是為節(jié)點的注入復(fù)功率，是 維列向量；維列向量； 為為 的的共軛共軛;是節(jié)點電壓的共軛組成是節(jié)點電壓的共軛組成(z chn)的的 階對角線矩陣。階對角線矩陣。由式（由式（7-1）和式（）和式（7-2），可得），可得 S1NSSNNV

3、YES上式就是潮流上式就是潮流(choli)方程的復(fù)數(shù)形式，是方程的復(fù)數(shù)形式，是N維的非線性附屬代維的非線性附屬代數(shù)方程組。將其展開，有數(shù)方程組。將其展開，有 N,1,2,j YVjPijiijiVQ（7-3）式中，式中， 表示所有和表示所有和 相連相連(xin lin)的節(jié)點的節(jié)點 ，包括，包括 。ijijij 如果節(jié)點電壓用直角坐標(biāo)表示，即令如果節(jié)點電壓用直角坐標(biāo)表示，即令 ，代入式（，代入式（7-3）中有中有iiijfeV N,1,2,i )jb(a )jf(e )jf(e)jB(G)jf -(ejPiiiiiiijijijiiiiQ第2頁/共47頁第二頁，共48頁。2021-12-13

4、式中式中ijijijijijij)B(G)B(Gijijiiefbfea故有故有iiiiiiiiiibeafQbfaeP（7-4）（7-5） N,1,2,i 式（式（7-4）和式（）和式（7-5）是直角坐標(biāo)）是直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系表示系表示的潮流方程。的潮流方程。 如果節(jié)點電壓用極坐標(biāo)表示，即令如果節(jié)點電壓用極坐標(biāo)表示，即令iiVV 第3頁/共47頁第三頁，共48頁。2021-12-14故有故有ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VV)sincos(VVP（7-6） N，2，1i 式（式（7-6）是極坐標(biāo)表示）是極坐標(biāo)表示(bios

5、h)的潮流的潮流方程。方程。第4頁/共47頁第四頁，共48頁。2021-12-15二、二、 潮流方程的討論和節(jié)點類型的劃分潮流方程的討論和節(jié)點類型的劃分 對于對于N N個節(jié)點的電力系統(tǒng)，每個節(jié)點有四個運行變個節(jié)點的電力系統(tǒng)，每個節(jié)點有四個運行變量（例如，對于節(jié)量（例如，對于節(jié) 點點 有有 ， ， 和和 ）故全系統(tǒng)共）故全系統(tǒng)共有有4N4N個變量。對于式（個變量。對于式（7-37-3）所描述的復(fù)數(shù)潮流方程，）所描述的復(fù)數(shù)潮流方程，共有共有2N2N個實數(shù)方程。要給定個實數(shù)方程。要給定2N2N個變量，另外個變量，另外2N2N個變量個變量才可以求解。但這絕不是說任意給定才可以求解。但這絕不是說任意給定

6、2N2N個變量潮流方個變量潮流方程都是可以解的。一般來說，每個節(jié)點的四個變量中程都是可以解的。一般來說，每個節(jié)點的四個變量中給定兩個，另外兩個待求。哪兩個作為給定量給定兩個，另外兩個待求。哪兩個作為給定量(dngling)(dngling)由該節(jié)點的類型決定。由該節(jié)點的類型決定。 對于負(fù)荷節(jié)點，該節(jié)點的對于負(fù)荷節(jié)點，該節(jié)點的P P，Q Q是由負(fù)荷需求決定是由負(fù)荷需求決定的，一般是不可控的。該類節(jié)點的特點是的，一般是不可控的。該類節(jié)點的特點是P P，Q Q是給定是給定的，則該節(jié)點的，則該節(jié)點 ， 待求。這類節(jié)點稱為待求。這類節(jié)點稱為PQPQ節(jié)點。無節(jié)點。無注入的聯(lián)絡(luò)節(jié)點也可以看作注入的聯(lián)絡(luò)節(jié)點也

7、可以看作P P，Q Q給定節(jié)點，其給定節(jié)點，其P P，Q Q值值都是零。都是零。 全系統(tǒng)還應(yīng)滿足功率平衡條件，即全網(wǎng)注入功率全系統(tǒng)還應(yīng)滿足功率平衡條件，即全網(wǎng)注入功率之和應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)損耗，由式（之和應(yīng)等于網(wǎng)絡(luò)損耗，由式（7-67-6）并考慮到）并考慮到 是是奇函數(shù)奇函數(shù)iPiQiViiVijsin第5頁/共47頁第五頁，共48頁。2021-12-16ijijijjilossiijijijjilossiBQGcosVVQcosVVPPN1iN1iN1iN1i（7-7）則有則有可見，系統(tǒng)有功網(wǎng)損可見，系統(tǒng)有功網(wǎng)損 和無功網(wǎng)損和無功網(wǎng)損 都是節(jié)點電壓幅值和角都是節(jié)點電壓幅值和角度的函數(shù)，只有在度的函數(shù)

8、，只有在 和和 都計算出來之后，都計算出來之后， 和和 才能確才能確定，所以定，所以N個節(jié)點中至少有一個節(jié)點的個節(jié)點中至少有一個節(jié)點的P，Q不能預(yù)先給出，其值不能預(yù)先給出，其值要待潮流計算結(jié)束，要待潮流計算結(jié)束， 和和 確定之后才能確定，該節(jié)點稱為確定之后才能確定，該節(jié)點稱為松弛節(jié)點或平衡節(jié)點。松弛節(jié)點或平衡節(jié)點。 因為平衡節(jié)點的因為平衡節(jié)點的P，Q不能預(yù)先給出，所以該節(jié)點的不能預(yù)先給出，所以該節(jié)點的 ， 就應(yīng)預(yù)先給出，該節(jié)點也稱為就應(yīng)預(yù)先給出，該節(jié)點也稱為 節(jié)點，其節(jié)點，其P，Q值由潮流計算來值由潮流計算來確定。平衡節(jié)點的選取是一種計算上的需要，有多種選法。因為確定。平衡節(jié)點的選取是一種計算

9、上的需要，有多種選法。因為平衡節(jié)點的平衡節(jié)點的P，Q事先無法確定，為使潮流計算結(jié)果符合實際，常事先無法確定，為使潮流計算結(jié)果符合實際，常把平衡節(jié)點選在較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機節(jié)點。潮流計算結(jié)束時若把平衡節(jié)點選在較大調(diào)節(jié)余量的發(fā)電機節(jié)點。潮流計算結(jié)束時若平衡節(jié)點的有功功率、無功功率和實際情況不符，就要調(diào)整其他平衡節(jié)點的有功功率、無功功率和實際情況不符，就要調(diào)整其他(qt)節(jié)點的邊界條件以使平衡節(jié)點的功率在實際允許的范圍之內(nèi)。節(jié)點的邊界條件以使平衡節(jié)點的功率在實際允許的范圍之內(nèi)。lossPlossQVlossPlossQlossPlossQVV第6頁/共47頁第六頁，共48頁。2021-12-17 綜

10、上所述，若選第綜上所述，若選第N個節(jié)點為平衡節(jié)點，剩下個節(jié)點為平衡節(jié)點，剩下n個節(jié)點（個節(jié)點（n=N-1）中有中有r個節(jié)點是個節(jié)點是PV節(jié)點，則有節(jié)點，則有n-r個節(jié)點是個節(jié)點是PQ節(jié)點。因此除了平衡節(jié)點。因此除了平衡節(jié)點外，有節(jié)點外，有n個節(jié)點注入有功功率，個節(jié)點注入有功功率，n-r個節(jié)點注入無功功率以及個節(jié)點注入無功功率以及r個節(jié)點的電壓幅值是已知量。個節(jié)點的電壓幅值是已知量。 在直角坐標(biāo)在直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系，待求的狀態(tài)變量共系，待求的狀態(tài)變量共2n個，用個，用 以下表示，其潮流方程是以下表示，其潮流方程是式中，式中， 與與 是節(jié)點是節(jié)點i的有功和無功功率給定值。式（

11、的有功和無功功率給定值。式（7-8）共有）共有2n個方程，個方程，2n個待求狀態(tài)變量，兩者個數(shù)相等。個待求狀態(tài)變量，兩者個數(shù)相等。 在極坐標(biāo)系，由于在極坐標(biāo)系，由于PV節(jié)點的電壓幅值已知，所以待求的狀態(tài)節(jié)點的電壓幅值已知，所以待求的狀態(tài)變量是變量是Tn n TTT . fff . e ee fex2121,.,nrn ifeVV,.,n, ibeafQQ,.,n, ibfaePPiispiiiiiispiiiiiispii1012102102222（7-8）spiPspiQTrn n TTT . VVV . Vx2121第7頁/共47頁第七頁，共48頁。2021-12-18共共2n-r個待求量

12、。其潮流個待求量。其潮流(choli)方程是方程是ijijijijijjiiijijijijijjiiBGQBG)cossin(VVQ )sincos(VVPPspispi,.,n,i21r,.,n,i 21（7-9）共共2n-r個方程。待求量和方程個數(shù)相等。個方程。待求量和方程個數(shù)相等。 為了更清晰地表達(dá)潮流方程中給定量和待求量之間的關(guān)系，表為了更清晰地表達(dá)潮流方程中給定量和待求量之間的關(guān)系，表7.1中把每列中的兩個給定量用陰影部分表示中把每列中的兩個給定量用陰影部分表示(biosh)，另兩個無陰影字，另兩個無陰影字符表示符表示(biosh)待求量，平衡節(jié)點號為待求量，平衡節(jié)點號為s=N=n

13、+1?？梢娒苛卸加袃蓚€。可見每列都有兩個量給定，另兩個量待求。量給定，另兩個量待求。 表表7.1 潮流潮流(choli)方程中的給定量和待求量方程中的給定量和待求量節(jié)點PQ節(jié)點PV節(jié)點變量r-n21Q . Q Q節(jié)點Vr -n21P . P Pr -n21 . r -n21V . V Vn1nP . P rn1n . rn1nQ . Q rn1nV . V r Ps s Vs Qs第8頁/共47頁第八頁，共48頁。2021-12-197.27.2以高斯以高斯(o s)(o s)迭代法為基礎(chǔ)的迭代法為基礎(chǔ)的潮流計算方法潮流計算方法一、一、 高斯迭代法高斯迭代法 首先考察基于節(jié)點首先考察基于節(jié)點(

14、ji din)(ji din)導(dǎo)納矩陣的高斯迭導(dǎo)納矩陣的高斯迭 代法。在網(wǎng)絡(luò)方程代法。在網(wǎng)絡(luò)方程（7-17-1）中，將平衡節(jié)點）中，將平衡節(jié)點(ji din)s(ji din)s排在最后，并將導(dǎo)納矩陣寫成分塊的形排在最后，并將導(dǎo)納矩陣寫成分塊的形式，取出前式，取出前n n個方程有個方程有 高斯迭代法是最早在計算機上實現(xiàn)的潮流高斯迭代法是最早在計算機上實現(xiàn)的潮流(choli)(choli)計算方法。這種方法編程簡單，在某些計算方法。這種方法編程簡單，在某些應(yīng)用領(lǐng)域，如配電網(wǎng)潮流應(yīng)用領(lǐng)域，如配電網(wǎng)潮流(choli)(choli)計算中還有應(yīng)計算中還有應(yīng)用。另外，也用為牛頓用。另外，也用為牛頓- -

15、拉夫遜法提供初值。拉夫遜法提供初值。nssnnIVYVY第9頁/共47頁第九頁，共48頁。2021-12-110 平衡節(jié)點平衡節(jié)點s s的電壓的電壓(diny) (diny) 給定，給定，n n個節(jié)點的個節(jié)點的注入電流矢量注入電流矢量 已知，則有已知，則有 sVnIssnnnVYIVY（7-10） 實際電力系統(tǒng)給定量是實際電力系統(tǒng)給定量是n n個節(jié)點的注入功率個節(jié)點的注入功率(gngl)(gngl)。注入電流和注入功率。注入電流和注入功率(gngl)(gngl)之間的關(guān)之間的關(guān)系是系是iiiVSI,.,n,i21 寫成矢量寫成矢量(shling)(shling)形式為形式為 VSIi第10頁/

16、共47頁第十頁，共48頁。2021-12-111 再把再把 寫成對角線矩陣寫成對角線矩陣D D和嚴(yán)格和嚴(yán)格(yng)(yng)上三角矩陣上三角矩陣U U以及以及嚴(yán)格嚴(yán)格(yng)(yng)下三角矩陣下三角矩陣L L的和，即令的和，即令 nY0Y0YY0YYY0YYY0UDLYn1 -n1n12nn22111n，n1n21n， 代入代入(7-10)(7-10)式，經(jīng)整理式，經(jīng)整理(zhngl)(zhngl)后有后有nnssn1nVUVLVYIDV（7-11）第11頁/共47頁第十一頁，共48頁。2021-12-112 考慮到電流和功率的關(guān)系式，上式寫成迭代考慮到電流和功率的關(guān)系式，上式寫成迭代(

17、di di)(di di)格式為格式為）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-12）1k（iV 0iV 考給定考給定 ， ，代入上式可求得電壓新值，代入上式可求得電壓新值，逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某逐次迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。 每次迭代要從節(jié)點每次迭代要從節(jié)點1 1掃描到節(jié)掃描到節(jié)n n。在計算。在計算 時，時， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已經(jīng)求出，若迭代是一個已經(jīng)求出，若迭代是一個收斂過程收斂

18、過程(guchng)(guchng)，它們應(yīng)比，它們應(yīng)比 ， 更接近于真值。更接近于真值。,.,n,i21 考給定考給定 ， ，代入上式可求得電壓新值，代入上式可求得電壓新值，逐次逐次(zh c)(zh c)迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差迭代直到前后兩次遺代求得的電壓值的差小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。小于某一收斂精度為止。這是高斯法的基本解算步驟。 每次迭代要從節(jié)點每次迭代要從節(jié)點1 1掃描到節(jié)掃描到節(jié)n n。在計算。在計算 時，時， ，j=1j=1，2 2，i-1i-1已經(jīng)求出，若迭代是一已經(jīng)求出，若迭代是一）1k（jV）1k（jV121,i-,j第12頁/共47頁

19、第十二頁，共48頁。2021-12-113）k（jV 考所以，用考所以，用 代替代替 可出得到可出得到(d do)(d do)更好的更好的收斂果。這就是高斯，賽德爾收斂果。這就是高斯，賽德爾(Gauss-Seidel)(Gauss-Seidel)選代選代的基本思想，即一旦求出電壓新值，在隨后的迭代的基本思想，即一旦求出電壓新值，在隨后的迭代中立即使用。這種方法的選代格式是中立即使用。這種方法的選代格式是）1k（jV）k（jn1ijij）k（j1 - i1jijsskiiii）1k（iVYVYVYVSY1V,n,i21（7-13） 考高斯考高斯(o s)(o s)一賽德爾法比高斯一賽德爾法比高斯

20、(o s)(o s)迭代法迭代法收斂性要好。收斂性要好。 考在導(dǎo)納矩陣法的迭代公式考在導(dǎo)納矩陣法的迭代公式(gngsh)(gngsh)中，導(dǎo)納矩中，導(dǎo)納矩陣高度稀疏，每行只有少數(shù)幾個是非零元素，非對陣高度稀疏，每行只有少數(shù)幾個是非零元素，非對角非零元素個數(shù)與和節(jié)點角非零元素個數(shù)與和節(jié)點j j相聯(lián)的支路數(shù)相等。所以，相聯(lián)的支路數(shù)相等。所以，上一次上一次第13頁/共47頁第十三頁，共48頁。 考迭代后得到的電壓值，只有少數(shù)幾個對本次迭代中節(jié)點考迭代后得到的電壓值，只有少數(shù)幾個對本次迭代中節(jié)點電壓的改進有貢獻，這使得導(dǎo)納矩陣法在每次迭代中其節(jié)點電壓的改進有貢獻，這使得導(dǎo)納矩陣法在每次迭代中其節(jié)點電壓

21、向解點方向的變化十分緩慢，算法收斂性較差。電壓向解點方向的變化十分緩慢，算法收斂性較差。 高斯迭代法的法另一種高斯迭代法的法另一種(y zhn)(y zhn)迭代格式是以節(jié)點阻迭代格式是以節(jié)點阻抗陣為基礎(chǔ)。由于阻抗矩陣是滿陣，用阻抗矩陣設(shè)計的迭代抗陣為基礎(chǔ)。由于阻抗矩陣是滿陣，用阻抗矩陣設(shè)計的迭代格式可望獲得好的收斂性。式（格式可望獲得好的收斂性。式（7-107-10）可以改寫為）可以改寫為 ）（ssn1 -nnVYIYV（7-14）上式也可以上式也可以(ky)(ky)寫成寫成）（ssnnnVYIZV（7-15）nZnY其中其中 是是 的逆矩陣的逆矩陣(j zhn)(j zhn)，即以平衡，即

22、以平衡節(jié)點為電壓給定節(jié)點建立的節(jié)點阻抗矩陣節(jié)點為電壓給定節(jié)點建立的節(jié)點阻抗矩陣(j (j zhn)zhn)。第14頁/共47頁第十四頁，共48頁。2021-12-115 二、關(guān)于高斯法的討論二、關(guān)于高斯法的討論(toln)(toln) 對于形如對于形如的非線性代數(shù)方程組，總可以寫成的非線性代數(shù)方程組，總可以寫成 的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：的形式，于是，有如下的高斯迭代公式：高斯法迭代的收斂性主要由高斯法迭代的收斂性主要由 0 xf（7-16） xx k1k00 xxxx（7-17） *xxTxxdef*x（7-18）第15頁/共47頁第十五頁，共48頁。2021-12-116 的譜半

23、徑的譜半徑 或矩陣或矩陣 的最大特征值的最大特征值 決定。決定。 是是 的解的解點。當(dāng)點。當(dāng) 的譜半徑小于的譜半徑小于1 1時高斯法迭代可以收斂時高斯法迭代可以收斂(shulin)(shulin)；O(x)O(x)的譜半徑越小收斂的譜半徑越小收斂(shulin)(shulin)性性越好。越好。 求解求解( 7-27)( 7-27)式有兩種方法，即高斯洼和高斯式有兩種方法，即高斯洼和高斯一賽德爾法。高斯法的迭代格式是一賽德爾法。高斯法的迭代格式是 高斯一賽德爾法的迭代公式是高斯一賽德爾法的迭代公式是 *x*xx *x knk2k1i1ki，x，xxx,n,i21（7-19） kn1ki1k1 -

24、 i1k21k1i1kixxx，x，xx，,n,i21（7-20）即剛剛計算出的即剛剛計算出的x x的值就在下次迭代計算中立即使用的值就在下次迭代計算中立即使用當(dāng)當(dāng) 時，迭代收斂。時，迭代收斂。 對于連通對于連通的電力網(wǎng)絡(luò)，各節(jié)點的電壓是相關(guān)的，不管兩個節(jié)點之間的電力網(wǎng)絡(luò)，各節(jié)點的電壓是相關(guān)的，不管兩個節(jié)點之間是否是否(sh fu)(sh fu)有支路直接相聯(lián)。有支路直接相聯(lián)。 n 21i xxmaxki1ki，第16頁/共47頁第十六頁，共48頁。2021-12-117 由于由于Y Y矩陣中的元素代表的是短路參數(shù)，它是高度稀疏矩陣中的元素代表的是短路參數(shù)，它是高度稀疏的，由的，由(7-12)

25、(7-12)式可見，計算節(jié)點式可見，計算節(jié)點i i的電壓時，只有和節(jié)的電壓時，只有和節(jié)點點j j有支路直接相聯(lián)的節(jié)點有支路直接相聯(lián)的節(jié)點j j的電壓對的電壓對 有貢獻。這種有貢獻。這種方法利用的信息較少，收斂性較差。當(dāng)用阻抗矩陣法時，方法利用的信息較少，收斂性較差。當(dāng)用阻抗矩陣法時，由于阻抗矩陣是滿矩陣，由（由于阻抗矩陣是滿矩陣，由（7-157-15）式可見，網(wǎng)絡(luò)中所）式可見，網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的電壓都會對有節(jié)點的電壓都會對 的計算產(chǎn)生影響，這種方法利的計算產(chǎn)生影響，這種方法利用的信息較多，收斂性人大提高了，但由于占用內(nèi)存多，用的信息較多，收斂性人大提高了，但由于占用內(nèi)存多，目前已經(jīng)很少采用了。目

26、前已經(jīng)很少采用了。 從程序從程序(chngx)(chngx)角度看，如果使用式（角度看，如果使用式（7-7-1414），利用），利用 的因子表而不是直接使用式（的因子表而不是直接使用式（7-157-15）中）中 的矩陣，可大大節(jié)省內(nèi)存，缺點是不易組成高斯一賽德的矩陣，可大大節(jié)省內(nèi)存，缺點是不易組成高斯一賽德爾迭代的計算格式。爾迭代的計算格式。 iViVnYnZ第17頁/共47頁第十七頁，共48頁。2021-12-118 不論甩不論甩Y Y矩陣還是用矩陣還是用z z矩陣，對矩陣，對PVPV節(jié)點的處理都是節(jié)點的處理都是困難的。通常的處理方法是，給定困難的。通常的處理方法是，給定PVPV節(jié)點節(jié)點Q

27、Q的初值，在的初值，在高斯迭代過程中，高斯迭代過程中，PVPV節(jié)點的電壓幅值計算值和給定值節(jié)點的電壓幅值計算值和給定值不同，這時修正給定的不同，這時修正給定的Q Q，直到迭代收斂時，直到迭代收斂時，PVPV節(jié)點的節(jié)點的電壓幅值的計算值和給定值相等（小于某一允許的誤電壓幅值的計算值和給定值相等（小于某一允許的誤差差(wch)(wch)范圍）為止。高斯迭代法中關(guān)于范圍）為止。高斯迭代法中關(guān)于PVPV節(jié)點的處節(jié)點的處理可參考艾獻理可參考艾獻1616。 例例7.1 7.1 對于例對于例2.32.3的三母線電力系統(tǒng)，各網(wǎng)絡(luò)元的三母線電力系統(tǒng)，各網(wǎng)絡(luò)元件參數(shù)和節(jié)點導(dǎo)納矩陣已在該例中給出。假定節(jié)點件參數(shù)和節(jié)

28、點導(dǎo)納矩陣已在該例中給出。假定節(jié)點的注入功率是的注入功率是 節(jié)點的注入節(jié)點的注入功率是功率是 節(jié)點是節(jié)點是 節(jié)節(jié)點，點， 。試用節(jié)點導(dǎo)納矩陣和節(jié)點阻抗。試用節(jié)點導(dǎo)納矩陣和節(jié)點阻抗矩陣的高斯矩陣的高斯- -賽德爾迭代法計算潮流。賽德爾迭代法計算潮流。，0 . 1 j0 . 2S1，415. 0 j5 . 0S2V。00 . 1V3第18頁/共47頁第十八頁，共48頁。2021-12-119解 根據(jù)(gnj)例2，3的導(dǎo)納矩陣可寫出（7-11）式的表達(dá)式 1211nnssn121V9875. 4 j2494. 000 . 19505. 4 j49505. 0430. 9 j9430. 0V415.

29、 0 j5 . 0V0 . 1 j0 . 2908. 9 j74445. 09580.13j1474. 1 VUVLVYIDVVnV第19頁/共47頁第十九頁，共48頁。2021-12-1200V9875. 4 j2494. 02于是(ysh)有 9430. 0 j9430. 0V9875. 4 j2494. 0V0 . 1 j0 . 2 9580.13j1474. 1Vk2k111k1 49505. 0 j49505. 0V9875. 4 j2494. 0V415. 0 j5 . 0 .9089 j74445. 0V1k1k211k2第20頁/共47頁第二十頁，共48頁。2021-12-12

30、1將上式寫成簡單迭代(di di)法的高斯一賽德爾迭代(di di)格式： 121121221111kkkkkkV，VfVV，VfV給定初值 計算(j sun)過程如下： 0 . 1 0 . 10201VV 02086. 002165. 113596. 095010. 0002112120201111jV，VfVjV，VfVk第21頁/共47頁第二十一頁，共48頁。2021-12-122 02246. 001394. 113570. 093483. 0112212221211121jV，VfVjV，VfVk整個迭代(di di)過程如表7.1所示。表7.1導(dǎo)納矩陣(j zhn)為基礎(chǔ)的高斯一賽

31、德爾法的選代過程第22頁/共47頁第二十二頁，共48頁。2021-12-123 不論甩不論甩Y Y矩陣還是用矩陣還是用z z矩陣，對矩陣，對PVPV節(jié)點的處理都是由節(jié)點的處理都是由以上結(jié)果以上結(jié)果(ji gu)(ji gu)可見收斂過程是較慢的，可見收斂過程是較慢的，7 7次迭代仍次迭代仍未穩(wěn)定在一個固定的值上。若以前后兩次選代結(jié)果未穩(wěn)定在一個固定的值上。若以前后兩次選代結(jié)果(ji (ji gu)gu)相差相差0.00010.0001為收斂準(zhǔn)則，則為收斂準(zhǔn)則，則k=7k=7時收斂。此例如果時收斂。此例如果不采用高斯一賽德爾迭代格式，那么迭代次數(shù)還會大大不采用高斯一賽德爾迭代格式，那么迭代次數(shù)還

32、會大大增加。增加。 第23頁/共47頁第二十三頁，共48頁。2021-12-1247.37.3牛頓牛頓(ni dn)(ni dn)一拉夫遜法潮流計一拉夫遜法潮流計算算一、牛頓一拉夫遜法的一般描述一、牛頓一拉夫遜法的一般描述 求解潮流，數(shù)學(xué)上就是求解用潮流方程求解潮流，數(shù)學(xué)上就是求解用潮流方程(fngchng)(fngchng)表示的非線性代數(shù)方程表示的非線性代數(shù)方程(fngchng)(fngchng)組，因此可用數(shù)學(xué)上的逐次線性化的方法，即牛頓一拉夫遜法求解。組，因此可用數(shù)學(xué)上的逐次線性化的方法，即牛頓一拉夫遜法求解。 電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程(fngchng)(fngch

33、ng)可用可用 表示，式中表示，式中 是節(jié)點注入功率給定值是節(jié)點注入功率給定值y y是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓之間的函數(shù)表達(dá)式，達(dá)式，x x是節(jié)點電壓。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式是節(jié)點電壓。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式 xyysp（7-21）spy 0 xyyxfsp（7-22）第24頁/共47頁第二十四頁，共48頁。2021-12-125 牛頓一拉夫遜法求解步驟如下。在給定的初值牛頓一拉夫遜法求解步驟如下。在給定的初值 處處將式（將式（7-227-22）作一階泰勒展開）作一階泰勒展開 電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程可用電力網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點功率方程可用 表示，式中表示，式

34、中 是節(jié)點注入功率給定值是節(jié)點注入功率給定值y y是節(jié)點注入是節(jié)點注入功率和節(jié)點電壓功率和節(jié)點電壓(diny)(diny)之間的函數(shù)表達(dá)式，之間的函數(shù)表達(dá)式，x x是節(jié)是節(jié)點電壓點電壓(diny)(diny)。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式。當(dāng)然也可以寫成功率偏差的形式定義定義 為潮流方程的雅克比矩陣，為潮流方程的雅克比矩陣， 為為 在在處的值，則有處的值，則有 0 x 0 xxxfxf00T0TxfJ0JJ 0 x 010 xfxJ第25頁/共47頁第二十五頁，共48頁。2021-12-126 用用 修正修正 而得到而得到 的新值，如果的新值，如果(rgu)(rgu)迭代序列迭代序列收斂，它應(yīng)

35、當(dāng)更接近解點值。寫成一般的表達(dá)式，收斂，它應(yīng)當(dāng)更接近解點值。寫成一般的表達(dá)式， 有有 對于潮流收斂的情況，對于潮流收斂的情況， 比比 更接近于解點。更接近于解點。收斂條件為收斂條件為 0 xxx kk1kk1kkxxxfJxxx（7-23）1kx kx .fmaxkix第26頁/共47頁第二十六頁，共48頁。2021-12-127二、直角坐標(biāo)二、直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)的牛頓一的牛頓一拉夫遜法拉夫遜法 對于對于( 7-8)( 7-8)式所示的直角坐標(biāo)式所示的直角坐標(biāo)(zh (zh jio zu bio)jio zu bio)樂的潮流方程，樂的潮流方程

36、，(7-32)(7-32)式有式有下面的形式：下面的形式：狀態(tài)變量是狀態(tài)變量是 ，是，是2n2n維的。雅可比矩維的。雅可比矩陣是陣是2n2n2n2n階矩陣，其結(jié)構(gòu)是階矩陣，其結(jié)構(gòu)是 r feVVr-n feQQn fePP feVfeQfePxf22spspsp2，（7-24）TTT fex第27頁/共47頁第二十七頁，共48頁。2021-12-128 n n r fQ eQ r-n fQ eQn fP ePxfJTTTTTTT（7-25） 式式( 7- 23)( 7- 23)所示的修正方程中有所示的修正方程中有2n2n個未知量，有個未知量，有2n2n個方個方程，只要程，只要(zhyo)(zh

37、yo)式式( 7- 23)( 7- 23)中的中的J J非奇異非奇異 則可解。則可解。 在直角坐標(biāo)情況下，平衡節(jié)點是給定節(jié)點，即平在直角坐標(biāo)情況下，平衡節(jié)點是給定節(jié)點，即平衡節(jié)點衡節(jié)點s s的電壓的實部和虛部可用下式確定；的電壓的實部和虛部可用下式確定； 式中，式中， 和和 是平衡節(jié)點給定的電壓幅值和相角。是平衡節(jié)點給定的電壓幅值和相角。 xssssssjVVjesincos（7-26）sVs第28頁/共47頁第二十八頁，共48頁。2021-12-129三、極坐標(biāo)的牛頓三、極坐標(biāo)的牛頓(ni dn)-(ni dn)-拉夫遜法拉夫遜法 對于對于(7-9)(7-9)式所示的極坐標(biāo)系的潮流式所示的極

38、坐標(biāo)系的潮流方程，有下面的形式：方程，有下面的形式： 共共2n-r2n-r個方程，狀態(tài)變量是個方程，狀態(tài)變量是 共共2n-r2n-r個待求量。個待求量。r r個個PVPV節(jié)點的電壓幅值是節(jié)點的電壓幅值是給定量，不需求解。潮流雅可比矩陣的維數(shù)給定量，不需求解。潮流雅可比矩陣的維數(shù)（2n-r2n-r）（）（2n-r2n-r）階矩陣，其結(jié)構(gòu)是）階矩陣，其結(jié)構(gòu)是 r -n VQQn VPPVQVPxfspsp，（7-27）r -n21n21VVV VxTTT 第29頁/共47頁第二十九頁，共48頁。2021-12-130 r -n n r-n VQ Qn VP PxfJTTTTT 上式右側(cè)的電壓幅值的

39、偏導(dǎo)數(shù)項中的電壓幅值的上式右側(cè)的電壓幅值的偏導(dǎo)數(shù)項中的電壓幅值的階次減少階次減少(jinsho)(jinsho)了了1 1，為使雅克比矩陣的各部分，為使雅克比矩陣的各部分子矩陣具有一致形式，在實際計算中，常將該項乘子矩陣具有一致形式，在實際計算中，常將該項乘以電壓幅值，并選取以電壓幅值，并選取 作作為待求的修正量，則雅克比矩陣可寫成為待求的修正量，則雅克比矩陣可寫成r -nr -n2211VVVV VVTVV第30頁/共47頁第三十頁，共48頁。2021-12-131 r -n n r-n VVQ Qn VVP PxfJTTTTT（7-28） 將將(7-37)(7-37)式和式和(7-38)(

40、7-38)式代入式代入(7-33)(7-33)式的修正方程則可式的修正方程則可求得求得x x的修正量的修正量 ，用它修正，用它修正x x直到直到(zhdo) (zhdo) 為止。為止。x .fmaxkix第31頁/共47頁第三十一頁，共48頁。2021-12-132四、雅可比矩陣的討論四、雅可比矩陣的討論 雅克比矩陣是牛頓雅克比矩陣是牛頓- -拉夫遜的核心內(nèi)拉夫遜的核心內(nèi)容，需要認(rèn)真分析其特點。首先容，需要認(rèn)真分析其特點。首先(shuxin)(shuxin)考察直角坐標(biāo)系的雅可比矩陣，將考察直角坐標(biāo)系的雅可比矩陣，將(7-35)(7-35)式式寫成寫成 矩陣中各子塊的維數(shù)已在上式中示意地指矩陣

41、中各子塊的維數(shù)已在上式中示意地指出。其中各子塊的元素由下式計算：出。其中各子塊的元素由下式計算：r-nn rr-nnS L N RMHJ第32頁/共47頁第三十二頁，共48頁。2021-12-133（7-29） 下面再考察下面再考察(koch)(koch)極坐標(biāo)雅可比矩陣極坐標(biāo)雅可比矩陣(7-38)(7-38)式，式，可用下式表示：可用下式表示： r-nn r-nnL N MHJ第33頁/共47頁第三十三頁，共48頁。2021-12-134下面下面(xi mian)(xi mian)各子塊的計算公式是：各子塊的計算公式是： (7-30)(7-30)于是于是(ysh)(ysh)雅可比矩陣可寫成：

42、雅可比矩陣可寫成：QPQPV VL N MHV VJ第34頁/共47頁第三十四頁，共48頁。2021-12-135 等號右邊中間等號右邊中間(zhngjin)(zhngjin)項帶撇的量具有導(dǎo)納的量項帶撇的量具有導(dǎo)納的量綱。式中綱。式中 和和 分別是分別是n n維和維和n-rn-r維節(jié)點電壓幅值對角維節(jié)點電壓幅值對角線矩陣。代人牛頓一拉夫遜法修正方程線矩陣。代人牛頓一拉夫遜法修正方程(7-23)(7-23)式后有：式后有：PVQVQPVVV VL N MHV VQPQP 整理后有整理后有 式中，式中， ， ， 和和 分別表示以分別表示以 為元素的矢量為元素的矢量(shling)(shling)

43、，本書其余部，本書其余部分亦同。式分亦同。式（7-317-31）中系數(shù)矩陣與雅克比矩陣）中系數(shù)矩陣與雅克比矩陣J J不同，記為不同，記為 , ,即即VQVPVVL N MH(7-31)(7-31)VVVVPVQiiVViiViiVPiiVQL N MHJJ第35頁/共47頁第三十五頁，共48頁。2021-12-136 除了對角線元素之外，除了對角線元素之外，JJ中沒有電壓幅值項，它的中沒有電壓幅值項，它的計算公式在計算公式在(7-30)(7-30)中。中。(7-31)(7-31)式中右邊具有電流的量綱，式中右邊具有電流的量綱，左邊的相角修正項前乘一個電壓幅值項，使用時應(yīng)注意。左邊的相角修正項前

44、乘一個電壓幅值項，使用時應(yīng)注意。觀察觀察(7-30)(7-30)式的雅可比矩陣各元素中有余弦項、正弦項和式的雅可比矩陣各元素中有余弦項、正弦項和含含P P或或Q Q的項，我們把的項，我們把( 7-30)( 7-30)式描述的雅可比矩陣拆成三式描述的雅可比矩陣拆成三個矩陣的個矩陣的(7-31)(7-31)式的雅可比矩陣可寫成式的雅可比矩陣可寫成 上式中上式中 是矩陣的一種簡化是矩陣的一種簡化(jinhu)(jinhu)的寫法，它和的寫法，它和節(jié)點導(dǎo)納矩陣的虛部節(jié)點導(dǎo)納矩陣的虛部B B的結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于矩陣的結(jié)構(gòu)相同，區(qū)別在于矩陣B B中的元中的元素素 ，在這里是，在這里是 其它矩陣類同。另外，

45、其它矩陣類同。另外，Q P PQBsin Gsin GsinBsinBcos Gcos GcosBcosJ（7-32）Bcos;cosBijijijB2iiVQdiagQ2iiVPdiagP第36頁/共47頁第三十六頁，共48頁。2021-12-137 在正常情況下，在正常情況下， 很小，可令很小，可令 ；另外另外(ln wi)(ln wi)，(7-32)(7-32)式中右邊最后一項相對于式中右邊最后一項相對于前兩項數(shù)值較小，可忽略。于是前兩項數(shù)值較小，可忽略。于是(7-32)(7-32)式的雅可比式的雅可比矩陣可簡化成矩陣可簡化成 將式（將式（7-337-33）代入）代入(7-31)(7-3

46、1)式，就可以得到定雅可比式，就可以得到定雅可比法潮流計算的快速計算的公式，其修正方程是法潮流計算的快速計算的公式，其修正方程是 由于雅可比矩陣由于雅可比矩陣 是常數(shù)，所以只要在迭代開是常數(shù)，所以只要在迭代開始形成其因子表，在迭代過程中就可以連續(xù)使用。始形成其因子表，在迭代過程中就可以連續(xù)使用。定雅定雅可比法由于是一種固定斜率的牛頓一拉是定雅定雅可比法由于是一種固定斜率的牛頓一拉是遜法，所以只具有一階收斂速度，但由于每次迭代遜法，所以只具有一階收斂速度，但由于每次迭代 ij0sin, 1cosijijB G GBJ0J（7-33）VQVPVVB GGB（7-34）0J第37頁/共47頁第三十七

47、頁，共48頁。2021-12-138 計算的計算時間縮短計算的計算時間縮短(sudun)(sudun)了，所以總的計算速度了，所以總的計算速度比標(biāo)準(zhǔn)牛頓一拉夫遜法大大加快。比標(biāo)準(zhǔn)牛頓一拉夫遜法大大加快。 注意，在實際潮流汁箅中，由于有注意，在實際潮流汁箅中，由于有r r個節(jié)點是個節(jié)點是PVPV節(jié)節(jié)點，這時點，這時(7-34)(7-34)式中系數(shù)矩陣的四個子矩陣維數(shù)可能不式中系數(shù)矩陣的四個子矩陣維數(shù)可能不同，為區(qū)分這種情況，同，為區(qū)分這種情況，(7-34)(7-34)式也可寫成：式也可寫成：VQVPVVB GLNMHGB（7-35）例7.2 對于例2.3的三母線電力系統(tǒng)，假定節(jié)點是PQ母線，它的注入功率是 節(jié)點是PV母線，它的有功注入是 節(jié)點電壓給定值是1.01；節(jié)點是 母線 ，電壓是 試用牛頓-拉夫遜法計算(j sun)潮流，分直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)兩種情況分析。，0 . 1 j0 . 2QP115 . 0P2V。00 . 1V3第38頁/共47頁第三十八頁，共48頁。2021-12-139第39頁/共47頁第三