1直線的點(diǎn)斜式方程

1、第三章直線與方程§3.2直線的方程3 . 2.1直線的點(diǎn)斜式方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解由斜率公式推導(dǎo)直線方程的點(diǎn)斜式的過程;2掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程；3會利用直線的點(diǎn)斜式與斜截式方程解決有關(guān)的實際問題.問題導(dǎo)學(xué)新知探究點(diǎn)點(diǎn)落實知識點(diǎn)一直線的點(diǎn)斜式方程思考1如圖，直線I經(jīng)過點(diǎn)Po(xo, yo)，且斜率為k,設(shè)點(diǎn)P(x, y)是直線I上不同于點(diǎn)Po的任意一點(diǎn)，那么x,答案由斜率公式得k=j,x xo則 x, y 應(yīng)滿足 y yo= k(x xo).思考2經(jīng)過點(diǎn)Po(xo，yo)的所有直線是否都能用點(diǎn)斜式方程來表示?答案 斜率不存在的直線不能用點(diǎn)斜式表示，過點(diǎn)Po斜率不存在的直線為

2、 x=x0.點(diǎn)斜式已知條件點(diǎn) P(xo,yo)和斜率k圖示J11 XJ方程形式y(tǒng) yo= k(xxo)知識點(diǎn)二直線的斜截式方程適用條件斜率存在思考1已知直線I的斜率為k,且與y軸的交點(diǎn)為(0, b)，得到的直線I的方程是什么？ 答案 將k及點(diǎn)(0，b)代入直線方程的點(diǎn)斜式得：y= kx+ b.思考2方程y= kx+ b,表示的直線在 y軸上的截距b是距離嗎？ b可不可以為負(fù)數(shù)和零? 答案 y軸上的截距b不是距離，可以是負(fù)數(shù)和零.思考 3 對于直線 li: y= kix+ bi, I2： y= k2x+ b2. li / I2? , ll2? .答案ki = k2且bi工b2kik2 = 1斜截

3、式已知條件斜率k和直線y軸上的截距b圖示1方程式y(tǒng)= kx+ b適用條件斜率存在題型探究類型一直線的點(diǎn)斜式方程例i (i)經(jīng)過點(diǎn)(-3,i)且平行于y軸的直線方程是 .直線y= 2x+ i繞著其上一點(diǎn) P(i,3)逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得直線I，則直線I的點(diǎn)斜式方程是(3)直線li過點(diǎn)A( i, 2)，其傾斜角等于直線12：y = Jx的傾斜角的2倍，則li的點(diǎn)斜式方程為 答案(i)x= 3i(2) y 3 = 2(x i)(3) y+ 2 = . 3(x+ i)解析(i) 直線與y軸平行，該直線斜率不存在，直線方程為x= 3.一 一 一 1(2) 由題意知，直線I與直線y= 2x + 1垂直，則

4、直線I的斜率為勺1由點(diǎn)斜式方程可得I的方程為y 3= -(x 1)./直線I2的方程為y= fx,設(shè)其傾斜角為 a，則tan a= ¥得a= 30° °那么直線I1的傾斜角為2X 30° = 60°則I1的點(diǎn)斜式方程為y+ 2= tan 60 (X+ 1)，即 y+ 2 = 3(x+ 1).跟蹤訓(xùn)練1寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：(1) 經(jīng)過點(diǎn)A(2,5)，斜率是4;經(jīng)過點(diǎn)B(2,3)，傾斜角是45 °經(jīng)過點(diǎn)C( 1， 1)，與x軸平行.解(1)y 5 = 4(x 2);直線的斜率k= tan 45 =1，直線方程為y 3= x 2;(3

5、) y= 1.類型二直線的斜截式方程例2 (1)傾斜角為 60°，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3的直線的斜截式方程是答案 y=%：3x+ 3 或 y= . 3x 3解析/直線的傾斜角是60°，其斜率 k= tan 60 = 3，直線與y軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是3，直線在y軸上的截距是3或3，所求直線方程是 y= . 3x+ 3或y= ,3x 3.已知直線I1的方程為y= 2x+ 3，I2的方程為y= 4x 2，直線I與I1平行且與I2在y軸上 的截距相同，求直線I的方程.解由斜截式方程知直線I1的斜率k1= 2，又因為I /11.由題意知I2在y軸上的截距為一2, 所以I在

6、y軸上的截距b =- 2,由斜截式可得直線I的方程為y= 2x 2.反思與感悟(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在.當(dāng)b = 0時，y= kx表示過原點(diǎn)的直線；當(dāng)k= 0時，y= b表示與x軸平行(或重合)的直線.(2) 截距不同于日常生活中的距離，截距是一個點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是一個實數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)和零，而距離是一個非負(fù)數(shù).1跟蹤訓(xùn)練2 (1)已知直線I的斜率為-，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求I的斜截式6方程；已知直線li的方程為y= 2x+ 3, I2的方程為y= 4x 2，直線I與I-垂直且與I2在y軸上 的截距互為相反數(shù)，求直線 I的方程.1解(1)設(shè)直線方程

7、為y= &x+ b,貝V x= 0時，y= b;1y = 0 時，x= 6b.由已知可得 2 |b| | 6b|= 3,即 6|b|.傾斜角是30 °且過(2,1)點(diǎn)的直線方程是 .= 6, b = ±1.1 1故所求直線方程為 y= §x+1或y= 6x 1.1T1丄I，直線1仁y= 2x+ 3, I的斜率為2,t I與I2在y軸上的截距互為相反數(shù)，直線12： y = 4x 2, I在y軸上的截距為2,1直線I的方程為y=2x+ 2.類型三平行與垂直的應(yīng)用例3 (1)當(dāng)a為何值時，直線11： y= x+ 2a與直線S： y= (a2 2)x+ 2平行？(

8、2)當(dāng)a為何值時，直線I1: y= (2a 1)x + 3與直線I2: y= 4x 3垂直？解(1)由題意可知，人=一1,心=a 一2,a2 2= 1,-I1 H I2, 解得 a = 1.l2a工 2,故當(dāng)a= 1時，直線I1： y= x+ 2a與直線S：y= (a2 2)x+ 2 平行.由題意可知，&=2a 1, ki2=4,3 h 丄 I2,二 4(2a 1) = 1,解得 a=.83故當(dāng)a=-時，直線li: y= (2a 1)x+ 3與直線I2:8y= 4x 3 垂直.反思與感悟 設(shè)直線h和I2的斜率k1, k2都存在，其方程分別為 h : y= &x+ b1, I2：

9、 y= k2x + b2,那么：(1)11 /12?& =k2,且 S 工b?;(2)k1 = k2,且 b = b2?兩條直線重合；(3)h 丄 I?kk2=1.跟蹤訓(xùn)練 3 已知在 ABC 中，A(0,0), B(3,1), C(1,3).(1) 求AB邊上的高所在直線的方程；(2) 求BC邊上的高所在直線的方程；(3) 求過A與BC平行的直線方程.1 一 0 1解(1)直線AB的斜率k1= 1, AB邊上的高所在直線斜率為一 3且過點(diǎn)C,所以AB邊3 03上的高所在直線的方程為 y 3= 3(x 1).3 1直線BC的斜率k2= 1, BC邊上的高所在直線的斜率為1且過點(diǎn)A，所以

10、BC邊1 3上的高所在直線的方程為 y= x.(3)由(2)知，過點(diǎn)A與BC平行的直線的斜率為一1，其方程為y= x達(dá)標(biāo)檢測岀堂檢測鞏固圧叢 .方程y= k(x 2)表示()A .通過點(diǎn)(一2,0)的所有直線B .通過點(diǎn)(2,0)的所有直線C.通過點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線D .通過點(diǎn)(2,0)且除去x軸的所有直線答案 C解析 易驗證直線通過點(diǎn)(2,0)，又直線斜率存在，故直線不垂直于x軸. 2答案 y i = f(x_ 2)解析斜率為tan 30 =黑直線的方程為y 1(x 2).33.已知直線y= ax2和y= (a + 2)x+ 1互相垂直，則a =；2 1(2)若直線li :

11、 y= x -與直線12 : y= 3x 1互相平行，則a =.a a2答案1(2) -解析 由題意可知a(a+ 2)= 1,解得a = 1.(2)由題意可知-a=3，2解得a= 3.4. (1)求經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且與直線y= 2x+ 7平行的直線的方程； 求經(jīng)過點(diǎn)(2, 2)，且與直線y= 3x 5垂直的直線的方程.解(1) 與直線y= 2x+ 7平行， 該直線斜率為2, 由點(diǎn)斜式方程可得 y 1 = 2(x 1),即卩 y= 2x 1 所求直線的方程為 y= 2x 1.所求直線與直線 y= 3x 5垂直，1該直線的斜率為一3，由點(diǎn)斜式方程得:1y+ 2= 3(x+ 2),1 8即 y=

12、3x 3.1 8故所求的直線方程為 y= §x孑規(guī)律與方法1. 求直線的點(diǎn)斜式方程的方法步驟2 直線的斜截式方程的求解策略(1) 用斜截式求直線方程，只要確定直線的斜率和截距即可，同時要特別注意截距和距離的區(qū)別.(2) 直線的斜截式方程 y= kx + b不僅形式簡單，而且特點(diǎn)明顯，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距，只要確定了k和b的值，直線的圖象就一目了然因此，在解決直線的圖象問題時，常通過把直線方程化為斜截式方程，利用k, b的幾何意義進(jìn)行判斷.3 判斷兩條直線位置關(guān)系的方法直線 li: y = kix+ bi，直線 12： y= k2x+ b2.(1) 若kik2,則兩直

13、線相交.(2) 若ki = k2,則兩直線平行或重合，當(dāng)bi* b2時，兩直線平行；當(dāng)bi= b2時，兩直線重合.特別地，當(dāng)kii時，兩直線垂直.(4) 對于斜率不存在的情況，應(yīng)單獨(dú)考慮.40分鐘課時作業(yè)強(qiáng)化訓(xùn)練拓展提升一、選擇題i .過點(diǎn)(4, 2)，傾斜角為i50。的直線方程的點(diǎn)斜式為()A . y 2= y(x+ 4)雖B y ( 2)= y(x 4)C y( 2)打(x-4)D y - 2=#(x+ 4)答案 B解析 由題意知k=tan 150°申，所以直線的點(diǎn)斜式方程為y（ 2）=習(xí)（x- 4）.3 32. 已知直線的方程是y+ 2= x 1,則（）A .直線經(jīng)過點(diǎn)（1,2

14、），斜率為1B .直線經(jīng)過點(diǎn)（2, 1），斜率為1C .直線經(jīng)過點(diǎn)（1, 2）,斜率為1D .直線經(jīng)過點(diǎn)（2, 1）,斜率為1 答案 C 解析方程變形為y+ 2= （x+ 1）, 直線過點(diǎn)（1, 2），斜率為1.13 .已知直線 11： y= x + 尹,12: y= （a2 3）x+ 1,若 h/ 12,則 a 的值為（）A . 4B. 2C. 2D. ±答案 C解析因為11 / 12，所以a2 3 = 1, a2= 4，所以a= ±:,1又由于11 / 12,兩直線1 1與12不能重合，則 尹工1 ,即 2，故 a= 2.4 .下列選項中，在同一直角坐標(biāo)系中，表示直線y

15、= ax與y= x+ a正確的是（）答案 C解析 當(dāng)a>0時，直線y= ax的傾斜角為銳角， 直線y= x+ a在y軸上的截距a>0, A , B,C, D都不成立；當(dāng)a = 0時，直線y= ax的傾斜角為0° A , B , C, D都不成立；當(dāng)a<0 時，直線y= ax的傾斜角為鈍角，直線 y= x+ a的傾斜角為銳角且在 y軸上的截距a<0，只 有C成立.5 .直線y= kx+ b通過第一、二、四象限，則有()A. k>0, b>0B. k>0, b<0C. k<0 , b>0D. k<0, b<0答案 B

16、解析直線經(jīng)過第一、三、四象限，圖形如圖所示，由圖知， k>0, b<0.6.已知直線kx-y+ 1 3k= 0，當(dāng)k變化時，所有的直線恒過定點(diǎn)()A . (1,3)B. ( 1, 3)C. (3,1)D . ( 3, 1)答案 C解析 直線 kxy+ 1 3k = 0 變形為 y 1 = k(x 3), 由直線的點(diǎn)斜式可得直線恒過定點(diǎn)(3,1).二、填空題7 .將直線y= 3x繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90 °再向右平移1個單位長度，所得到的直線方程為1 1答案 y=§x+ 3解析 直線y = 3x繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得到的直線方程為y= gx,再將該直線向

17、右平移31 1 11個單位得到的直線方程為y= 3(x 1)，即y= 3< + 3.8 .直線y= ax 3a+ 2(a R)必過定點(diǎn) .答案(3,2)解析 t y= a(x 3) + 2,即卩 y 2= a(x 3),直線過定點(diǎn)(3,2).9 .已知直線y= (3 2k)x 6不經(jīng)過第一象限，則k的取值范圍為 .答案k> 36 w 0,解析由題意知，需滿足它在y軸上的截距不大于零，且斜率不大于零，則得1.3 2kw 0,k> 3.1的直線11的方程為310 .與直線 I: y= 4X + 1平行，且在兩坐標(biāo)軸上截距之和為 答案y = 3x -直線AB的點(diǎn)斜式方程為 y= ；

18、(x+ 5),3解析根據(jù)題意知直線1的斜率kp33故直線11的斜率k1 = 4，設(shè)直線11的方程為y= 4x+ b1,4則令y= 0得它在x軸上的截距a1 =守仁4 1.-a1 + b1= §3+ B= 1, - - b1= 3.3直線11的方程為y= x 3.311.斜率為4,且與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的周長是12的直線方程是3答案y = -x±3解析設(shè)所求直線方程為y=糸+ b,令y= 0得x=如=12,由題意得：|b|+4 5|b|+ 3|b|+3|b|= 12, 4|b|= 12, b =± 所求直線方程為y= 4x±3.三、解答題12.已知三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A( 5,0), B(3, 3), C(0,2)，試求這個三角形的三條邊所在 的斜截式方程.38,過點(diǎn) A( 5,0),3 0 解直線AB的斜率kAB =3 8)315即所求的斜截式方程為 尸3x罟.8 85 5同理，