(word完整版)二項(xiàng)式定理知識(shí)點(diǎn)和各種題型歸納帶答案,推薦文檔

1、二項(xiàng)式定理1 1二項(xiàng)式定理：(a b)nC0anC：an1b L QarbrL C；bn(n N),2.2. 基本概念：1二項(xiàng)式展開式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式。2二項(xiàng)式系數(shù)：展開式中各項(xiàng)的系數(shù)cn(r 0,1,2,n). .3項(xiàng)數(shù)：共(r 1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式4通項(xiàng)：展開式中的第r 1項(xiàng)Can rbr叫做二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)。用Tr 1C；an rbr表示。3.3. 注意關(guān)鍵點(diǎn)：項(xiàng)數(shù)：展開式中總共有(n 1)項(xiàng)。2順序：注意正確選擇a, ,b, ,其順序不能更改。(a b)n與(b a)n是不同的。3指數(shù)：a的指數(shù)從n逐項(xiàng)減到0，是降幕排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n，

2、是升幕排列。各項(xiàng)的次數(shù)和等于n. .系數(shù)：注意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是數(shù)是a與b的系數(shù)(包括二項(xiàng)式系數(shù))4.4.常用的結(jié)論：令a 1,b x, (1 x)nC0C：x C；x2L QxrL C；xn(n N )5 5.性質(zhì):二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等， 即C C, CnkCn1二項(xiàng)式系數(shù)和：令a b 1, ,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為C0C：C L CnL C；2n,變形式C1C2L CnrL c：2n1。奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和= =偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和：在二項(xiàng)式定理中，令a1,b1，則C0C：C2Cn3L(1)nc：(1 1)n0從而得到：Cn

3、CnCnC：rcnC；L2r 1Cn丄2n2n 12奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和:Cn, Cn,Cn, Cn, Cn-項(xiàng)的系令a 1,bx, (1 x)nC C1x C2x2L C：xrL(1)nC：xn(n N )(ax)nC0an 0 xcnan1xCnan2 2xLC：0 n1a xaoa1X2na2XLa；x(xa)nC0a0 nx1Cnaxn 1C；a2n 2xLc：n 0nia x anx L2 1a?x ax ao令 x1,則 aoa1a2asLan(a1)n令 x1,則 aoa1a2a3L an(a 1)n得,aoa2a4Lan(a1)n(a21)n-(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)得,a

4、1a3a5Lan(a1)n(a21)n(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和)n5二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)Cn2取得最大值。n 1 n 1如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C 仔,C仔同時(shí)取得最大值。6系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a bx)n展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別題型一：二項(xiàng)式定理的逆用;例:cnC26C362L C：6n 1_ .題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù);例：在二項(xiàng)式(413x2)n的展開式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？解：由條件知c；22 245,即Cn45,n n 90 0，解得n9(舍去)

5、或 n 10，由為A,A2, An i，設(shè)第r 1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有6 6二項(xiàng)式定理的十一種考題的解法：Ar 1Ar 1Ar，從而解出r來。Ar 2解:(16)nc0cnc1cn6Cn62c1c2cncn6c3cn62Lc：6cn6 c；62L練：c1 2n3Cn9C3nL3n1C：C；63L C；6n與已知的有一些差距，6n 1(cn6 Cn 62L Cn 6n)6C：6n1) 1(1 6)n1 1(7n1)6 69C；L 3n1Cn，則3SnC：32C；33L C：3nCn Cn3 c：32C；33L C；3；1(1 3)n1Sn(13)n13解:3C；C：設(shè)Sn解：設(shè)（.x7具）n展開式中

6、各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a,a1, an,&x2Tr 11210 rC；0(X4)10 r(X3)rC；0X F，由題意-r433,解得 r 6，則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6 1C-oX3210 x3,系數(shù)為210。1練：求（X2一）9展開式中X2x的系解：Tr 1C9（X2）9 r（丄）2x1故x9的系數(shù)為C9（ -）32題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng);亠r 18 2r “C9X(212例:解:Tr1C；o(X2)1Or練:解:練:解:1、r r亠r “1、r 18 3r2)xC9(2)x，1求二項(xiàng)式（2x）6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?2xr6 rr, 1、rTr1C6(2x)(EL（畑冷嚴(yán)，令62r

7、令18 3r8， 所以T90，得r9,則r 33，所以33T4( 1) C620若（x2-）n的二項(xiàng)展開式中第x5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則nT5c：(x2)n 4(-)4C：xx4 2n12，令2n 12題型四：利用通項(xiàng)公式，再討論而確定有理數(shù)項(xiàng);例：求二項(xiàng)式3X）9展開式中的有理項(xiàng)?1 1解：Tr 1C；(X 勺9 r( X3)r27 r(1)rC；x丁，令27 r丁Z，(09)得r3 或 r 9，27r所以當(dāng)r 3時(shí)，27-6當(dāng)r 9時(shí)，27 r3,633444,T4( 1) C9X84x,3 9 3 30( 1)C9X X題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和;n展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為

8、256，求n.求二項(xiàng)式（x210的展開式中的常數(shù)項(xiàng)?r.5r1r20 rC10( ) x，令20 2例：若（、x2令 x 1,則有aoa1an0,，令 x1,則有a。a1a2a3( 1)an2n,將-得:2(a1a3a5n)2 ,a1a3a52n1,有題意得，2n125682，n 9。練：若（3匸52廣的展開式中， 所有的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024，求它的中間項(xiàng)。 x x解：Q CC；C4Ccnc；L2r 1Cn2n 1，2n 11024，解得n 11所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n 6,n 7,T5 1C；（?1）6（5! ）5462 x4,T6 1462 x花題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)；1例：已知（2x

9、）n，若展開式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二2項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？解:QC：C；2C；, n221n 980,解出n 7 或 n 14，當(dāng)n 7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T4和 T5T4的系數(shù)C3（42335,，T5的系數(shù)C；（丄）32470,當(dāng)n 142 2 2時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8，T8的系數(shù)C74（丄）7273432。2練：在（a b）2n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？解：二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)2n,則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2nTn 1，也就是第n 1項(xiàng)。-21解：只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則-15，即n 8,所以展開

10、式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于2C86（1）272例：寫出在（a b）7的展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？解：因?yàn)槎?xiàng)式的幕指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)（第 4,5 項(xiàng)）的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從而有T4C?a b的系數(shù)最小，T5C7a b系數(shù)最大。1例：若展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求（2x）n的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)？2解：由CCnC79,解出n 12,假設(shè)1項(xiàng)最大，Q （丄2x）12（丄）12（1 4x）122 2x練：在（23丁的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是多少?Ar 1A C124C12141，化簡(jiǎn)得到9.4 r 10.4，又Q0 r 12,r

11、 10,Ar 1Ar2C；24rC；%1展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T11. .有T11(丄)12。；/02練：在(12x)10的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少?題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng);25(x 3x 2)的展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)?它的系數(shù)為C；C：243240o題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘;例：求(1 2X)3(1 x)4展開式中 X2的系數(shù).解:Q (1 2x)3的展開式的通項(xiàng)是 cm(2x)mcm2m(1 x)4的展開式的通項(xiàng)是C4(x)nC；1nxn,其中 m0,1,2,3, n1016896x解：假設(shè)Tr 1項(xiàng)最大,r r rQTr 1C102 xAr 1AAr 1Ar 2r 1 r 1C102r

12、 r.C102C102解得2(11C；2rC1r012r1,r 1r)丿，化簡(jiǎn)得到6.32(10 r)k 7.3，又Q0 r 10,r 7,展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為C7027x715360 x7.例：求當(dāng)解法:(x23x 2)5(x22) 3x5,Tr 1C5(5 rr2)(3x)，當(dāng)且僅當(dāng)r1時(shí),Tr 1的展開式中才有 x x 的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr1T2c5(x241442) 3x，所以x得一次項(xiàng)為C5C42 3x解法:(x23x 2)5(x 1)5(X2)5(C?X5C5X4Cs)(c5)x5C；X42C；25)故展開式中含x的項(xiàng)為C4XC5254 4C5X2240 x，故展開式中x的系數(shù)為

13、240.240.練：求式子(x32)的常數(shù)項(xiàng)?解：(xx2)3C.x)6， 設(shè)第r 1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則rrTr 1C6(1)6 r1r6 r(x)(1)C66 2r，得62r 0, ,r 3, ,T31(1)3C6320. .0,1,2,3,4,x)413令 m n 2,則 m 0 且 n 2, m 1 且 n 1,m 2 且 n 0,因此(1 2x) (1的展開式中X2的系數(shù)等于C3020C：( 1)2C321C4(1)1C；22C：(1)0練：求(13x)6(141)10展開式中的常數(shù)項(xiàng)Jxmn4m 3n解:(13x)6(14L)10展開式的通項(xiàng)為 cjx3C；0X4C(mC；0 x12Vx

14、其中 m 0,1,2, ,6,n0,1,2, ,10，當(dāng)且僅當(dāng)4m 3n,即卩m0,或m3,或m6,n 0,n4,n8,時(shí)得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C；C10C；C；0C；C04246.練：1已知(1 x x2)(x丄)n的展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)，n N 且 2 n 8,則 n.x解:(x )n展開式的通項(xiàng)為 Cnxn rx3rCnxn 4r,通項(xiàng)分別與前面的三項(xiàng)相乘可得xcnxn4r,cnxn4r1,cnxn4r2,Q 展開式中不含常數(shù)項(xiàng),2 n 8n 4r 且 n 4r 1 且 n 4r 2,即 n 4,8 且 n 3,7 且 n 2,6, n 5.題型九：奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；例：在(x

15、 ,2)2006的二項(xiàng)展開式中,含 x 的奇次幕的項(xiàng)之和為 S,當(dāng) x 三時(shí),S解：設(shè)(x2)2006=兔a1x1a2x2a3x3La2006x2006- 得 2(a1x 盼3a5X5La2oo5X2005)(x 2)2006(xx2)2006(x, 2 )2006展開式的奇次幕項(xiàng)之和為S(x) (x v 2 )2006(x門)200623 2006當(dāng) x &時(shí),S(、2) (V V)2006(VJ)2006匚230082 2題型十：賦值法；例：設(shè)二項(xiàng)式(33匸 丄廣的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為p，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為s,若xp s 272,則n等于多少？解:若(33x)na0a1xa2x

16、2anxn，有Paaia*，S C：C：2n，x令x 1得P 4n，又p s 272,即4n2n272(2n17)(2：16) 0解得2n16 或 2n17(舍去)，n 4.3.a3XL2006a2006x2a2xn練：若3jX丄 的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為多少?Vx項(xiàng)為C；(3X)3( -1二)3540. .Vxc 2009123例：若(1 2x)aax a?x a3X解:令 x 1,可得 ao01 |疑在令 x 0 可得 ao1,因而a1卑2 255432練：右(x 2) a5x a4x a3x a2xaa2a3a4a531.題型十一：整除性；例：證明：32n 28n 9(n N*)能被 6464 整除證：32n 28n 99n 18n 9(8 1)n 18n 9解：令x 1，則3：x