《常微分方程》期末模擬試題

1、常微分方程模擬練習題及參考答案一、填空題（每個空格4分，共80分）1、n階線性齊次微分方程基本解組中解的個數(shù)恰好是 n 個。2、一階微分方程的通解為 （c為任意常數(shù)） ，方程與通過點（2，3）的特解為 ，與直線y=2x+3相切的解是 ，滿足條件的解為 。3、李普希茲條件是保證一階微分方程初值問題解惟一的 必要 條件。4、對方程作變換 ，可將其化為變量可分離方程，其通解為 。5、方程過點共有 無數(shù) 個解。6、方程的通解為 ，滿足初始條件的特解為 。7、方程 無 奇解。8、微分方程可化為一階線性微分方程組 。9、方程的奇解是 y=0 。10、是 3 階常微分方程。11、方程滿足解得存在唯一性定理條

2、件的區(qū)域是 。12、微分方程通解為 ，該方程可化為一階線性微分方程組 。13、二階線性齊次微分方程的兩個解成為其基本解組的充要條件是 線性無關(guān) 。14、設(shè)，則線性微分方程組有基解矩陣 。二、解方程（每個小題8分，共120分）1、答案：方程化為 令，則，代入上式，得 分離變量，積分，通解為 原方程通解為2、答案：特征方程為 即。特征根為 ，對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足 可確定出 同樣可算出對應(yīng)的特征向量為 原方程組的通解為 。 3、答案：齊次方程的通解為 令非齊次方程的特解為代入原方程，確定出原方程的通解為+ 4、；答案：是一個變量分離方程 變量分離得 兩邊同時積分得（其中c為任意常數(shù)）5、答案： 積分：

3、 故通解為：6、答案： 兩邊同除以得，即，故原方程的解為7、 .答案：方程組的特征方程為 即，即 特征根為， 對應(yīng)特征向量應(yīng)滿足，可得 同樣可算出時，對應(yīng)特征向量為 原方程組的通解為8、答案：線性方程的特征方程故特征根 是特征單根，原方程有特解代入原方程a=-b=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程b=0 所以原方程的解為9、答案：，令z=x+y，則所以 z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即10、 答案：所給方程是二階常系數(shù)齊線性方程。 其特征方程為 特征根為， 方程的通解為11、答案： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3d

4、y=0即d-d(xy)+dx-3dy=0所以三、證明題（共160分）1、（12分）證明如果滿足初始條件的解，那么 。證明：設(shè)的形式為=（1）（c為待定的常向量） 則由初始條件得=又= 所以c=代入（1）得= 即命題得證。2、（12分）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為。證明 ：由已知條件，該方程在整個平面上滿足解的存在唯一及解的延展定理條件。顯然是方程的兩個常數(shù)解。任取初值，其中,。記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮遠處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿過，否則與惟一性矛盾；故該解的存在區(qū)間必為。3、（12分）設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試

5、證明：存在常數(shù)c使得=c證明：設(shè)，是方程的兩個解，則它們在上有定義，其朗斯基行列式為 由已知條件，得故這兩個解是線性相關(guān)的；由線性相關(guān)定義，存在不全為零的常數(shù)，使得，由于，可知否則，若，則有，而，則，這與，線性相關(guān)矛盾故 4、（12分）敘述一階微分方程的解的存在唯一性定理的內(nèi)容，并給出唯一性的證明。定理：設(shè).（1）在上連續(xù)，（2）在上關(guān)于滿足利普希茨條件：，總有.則初值問題存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初值條件，這里.唯一性：設(shè)是積分方程在區(qū)間上的解，則.證明：，首先估計.， 設(shè)成立，則 這就證明了對任意的，總成立估計式：.因此，一致收斂于，由極限的唯一性，必有.5、（10分）求解方程

6、組的奇點，并判斷奇點的類型及穩(wěn)定性。解：令，得，即奇點為（2，-3）令，代入原方程組得，因為，又由，解得，為兩個相異的實根，所以奇點為不穩(wěn)定鞍點，零解不穩(wěn)定。6、（12分）求方程組滿足初始條件的解.解：方程組的特征方程為，所以特征根為（二重），對應(yīng)齊次方程組的基解矩陣，滿足初始條件的特解7、（10分）假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如 其中，是常數(shù)向量。證明：設(shè)方程有形如的解，則是可以確定出來的。事實上，將代入方程得，因為，所以， （1）又不是矩陣的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解8、（12分）試求方程組的一個基解矩陣，并計算，其中.解：，均為單根，設(shè)對應(yīng)的特

7、征向量為，則由，得，.取，同理可得對應(yīng)的特征向量為，則，均為方程組的解，令，又， 即為所求基解矩陣.9、（12分）試證明：對任意及滿足條件的，方程 的滿足條件的解在上存在證明： ，在全平面上連續(xù) 原方程在全平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延展定理條件又顯然是方程的兩個特解現(xiàn)任取，記為過的解，那么這個解可以唯一地向平面的邊界無限延展，又上不能穿越，下不能穿越，因此它的存在區(qū)間必為10、（10分）求平面上過原點的曲線方程，該曲線上任一點處的切線與切點和點的連線相互垂直.解：設(shè)曲線方程為，切點為，切點到點的連線的斜率為，則由題意可得如下初值問題：分離變量，積分并整理后可得，代入初始條件可得，因此得

8、所求曲線為.11、（12分） 在方程中，已知，在上連續(xù)，且求證：對任意和，滿足初值條件的解的存在區(qū)間必為證明：由已知條件可知，該方程在整個平面上滿足解的存在惟一及延展定理條件，又存在常數(shù)解 對平面內(nèi)任一點，若，則過該點的解是，顯然是在上有定義 若,則,記過該點的解為，那么一方面解可以向平面的無窮遠無限延展；另一方面在條形區(qū)域內(nèi)不能上、下穿過解和，否則與解的惟一性矛盾因此解的存在區(qū)間必為12、（10分）設(shè)是方程的任意兩個解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù).證明：由已知條件，該方程在整個平面上滿足解的存在唯一性及解的延展定理條件.顯然是方程的兩個常數(shù)解.任取初值，其中，記過該點的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無窮處無限延展；另一方面又上方不能穿過，下方不能穿