期權(quán)定價理論方法研究

1、    期權(quán)定價理論方法研究    徐喆【摘要】本文對現(xiàn)有的期權(quán)定價方法進(jìn)行了梳理，重點分析了不同定價方法的核心思想和歷史發(fā)展歷程，分析和總結(jié)了現(xiàn)有方法中的優(yōu)勢和不足，以此為基礎(chǔ)提出了期權(quán)定價理論未來的研究方向?！娟P(guān)鍵詞】期權(quán)定價；鞅測度；數(shù)值計算1期權(quán)定價問題對于一普通歐式看漲期權(quán)，我們假設(shè)該期權(quán)約定在時刻t，買方可以以事先定好的價格l購買1股給定的股票，我們稱t和l分別為期權(quán)的執(zhí)行時刻和執(zhí)行價格。到時刻t時，該股票的市場價格為st，因此，將會出現(xiàn)兩種可能：st>l，則期權(quán)生效，期權(quán)所有人將以價格l購買股票，獲得利潤st-p；stl，則期權(quán)所有人

2、將放棄購買權(quán)力。由此可見，該期權(quán)為期權(quán)所有人在時刻t帶來的收益為maxst-l，0，而如果考慮到收支平衡，期權(quán)賣方定下的期權(quán)價格期望就將與收益期望持平，有e（ct）=p·estst>l-l+1-p·0=p·estst>l-l其中，p為st>l的概率，estst>l為在st>l條件下st的期望值，將期權(quán)到期期望值按有效期無風(fēng)險連續(xù)復(fù)利rt貼現(xiàn)，即可得期權(quán)初始合理價格c=pe-rtestst>l-l這樣期權(quán)定價問題也就轉(zhuǎn)化為確定p和estst>l。2期權(quán)定價方法的分類期權(quán)定價理論是解決期權(quán)定價問題的核心內(nèi)容，而由于期權(quán)價格和其

3、標(biāo)的物價格變動的概率和收益率的多少有著直接關(guān)系。本節(jié)主要探討解決期權(quán)定價問題的不同角度，一般而言，如今期權(quán)定價的方法主要有三種：偏微分方程定價法，鞅測度定價法和數(shù)值定價法。2.1偏微分方程定價法偏微分方程定價法的基礎(chǔ)是blackscholes期權(quán)定價模型。而由于對于期權(quán)定價理論方法的開創(chuàng)性，bs模型在期權(quán)定價理論中具有崇高的地位。bs模型要求基礎(chǔ)資產(chǎn)價格服從幾何布朗運動，即假設(shè)市場是完全且無套利的，市場的交易方式是完全理想化的。通過構(gòu)建一個無風(fēng)險資產(chǎn)組合，消去微分方程中資產(chǎn)價格波動幅度的影響，使該資產(chǎn)組合的收益等于無風(fēng)險利率，由此得到衍生資產(chǎn)價格的bs微分方程：p（x，t）t-rp（x，t）+

4、rxp（x，t）x+122x22p（x，t）2x=0p（x，t）=max0，x-k，x>0其中，p（x，t）表示t時刻標(biāo)的價格為x時看漲期權(quán)的價值，t為期權(quán)的有效期限，r為無風(fēng)險利率，2為標(biāo)的資產(chǎn)收益率變化速度的方差，k表示期權(quán)的執(zhí)行價格。該方程的下式即是期權(quán)所滿足的邊界條件，利用該邊界條件求解bs微分方程就能得到期權(quán)的價格。bs模型對條件有嚴(yán)格的假設(shè)，該模型要求期權(quán)是歐式期權(quán)，其標(biāo)的物的價格服從對數(shù)正態(tài)分布，無風(fēng)險利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的，而且不存在稅收、交易成本和紅利等其它所得等等，在新型期權(quán)不斷涌現(xiàn)的今天，具有一定的局限性。2.2鞅測度定價法1979年，哈里森和克雷普斯提出了

5、鞅測度定價法，在鞅測度定價方法下，我們可以將真實世界的概率轉(zhuǎn)換成等價鞅測度（也叫做無風(fēng)險概率測度），通過求解出未來回報的貼現(xiàn)值在等價鞅測度下取得的條件期望，估計出期權(quán)的當(dāng)前價格。引入風(fēng)險中性概率測度q，得到股票價格的隨機過程：dstst=rdt+dwq該微分方程的解為st=s0e（r-122）t+wq，之后利用girsanov定理，經(jīng)過推導(dǎo)得到股票價格的動態(tài)過程，從而得出股價在st>l時的期望eqstst>l，則期權(quán)定價公式為：c=s0nd1-e-rtlnd2其中，d1=lns0l+r+122tt，d2=lns0l+r-122tt，nd1=d1-e-12u2·12du鞅理

6、論在期權(quán)定價中的應(yīng)用，改進(jìn)了bs模型求解復(fù)雜的缺點，簡化了bs模型的推導(dǎo)過程。鞅與金融資產(chǎn)價格運動過程特征的相似性，使得鞅在20世紀(jì)80年代后成為了主流金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中不可或缺的一員。此后，一些學(xué)者不斷的對鞅方法進(jìn)行了不斷的探索，研究出了包括指數(shù)半鞅、對偶鞅、連續(xù)鞅等運用鞅進(jìn)行期權(quán)定價的方法。2.3數(shù)值計算方法常用的數(shù)值計算方法有三種：二叉樹方法，蒙特卡羅模擬方法和有限差分方法。2.3.1二叉樹方法二叉樹模型又被稱為crr模型，在該模型中，期權(quán)的有效期被分為n個足夠小的時間間隔。在每一個時間間隔內(nèi)，假定標(biāo)的物的價格從x只運動到比現(xiàn)價高的xup和比現(xiàn)價低的xdown，概率分別為p和1-p。這樣我

7、們就能建立一顆crr樹，樹的第m層就會有m+1種價格狀態(tài)，樹的最后一層就對應(yīng)著該期權(quán)到期日股票價格的各種可能狀態(tài)。crr模型假設(shè)了期權(quán)到期時的支付和路徑無關(guān)，因此它僅僅只依賴于股價上升和下降的次數(shù)，而并不依賴于上升或下降的順序。該模型利用數(shù)學(xué)歸納法，將期權(quán)到期日的所有可能狀態(tài)，倒推至期初得出期權(quán)在0時刻的價格。c0=e-rnni=0cinpi1-pn-icnicni為在n期中有i次上升情況下期權(quán)在n時刻的價值，c0即是期權(quán)在n時刻所有可能價格狀態(tài)期望值的貼現(xiàn)，也就是0時刻的價格。而crr模型在n足夠大時，所得到的就是bs方程定價的結(jié)果。ccr模型的最大優(yōu)點在于它是一個離散的數(shù)學(xué)模型，可以把給定

8、的時間段更加細(xì)分，因而可以處理更為復(fù)雜的期權(quán)。自crr模型問世以來，經(jīng)過眾多研究者在實踐中的不斷修正，已經(jīng)使其更加符合金融市場的實際情況，各大金融市場已將其作為期權(quán)定價的重要工具。2.3.2蒙特卡羅模擬方法蒙特卡羅模擬方法同樣將時間區(qū)間分成n個子區(qū)間，并在每個區(qū)間內(nèi)隨機抽取樣本，得到每個子區(qū)間內(nèi)的一個股票價格，這樣就可以模擬出股價的一個可能的運行路徑。在風(fēng)險中性測度下，計算出這條路徑下期權(quán)的到期回報，根據(jù)無套利定價原則用無風(fēng)險利率得到回報的貼現(xiàn)值。這個結(jié)果可以看作是期權(quán)價格全部可能結(jié)果集合中的其中一個隨機樣本，所以如果重復(fù)足夠多的次數(shù)，可以得到一個樣本數(shù)量足夠多的期權(quán)價格集合，我們對這個集合的

9、價格求得期望值，就可以得到蒙特卡羅模擬值，得出最終期權(quán)價格的近似結(jié)果。 蒙特卡羅模擬法是在假設(shè)風(fēng)險中立、市場完美的條件下，利用隨機數(shù)抽樣的方式，模擬出一條條資產(chǎn)價值變化的可能途徑。而根據(jù)大數(shù)定律的定義，隨著隨機抽樣次數(shù)的不斷增加，可以使計算出來的值的誤差不斷縮小，最后收斂于期權(quán)價格。近些年來，以朗斯塔夫和施瓦茨于2001年提出的最小二乘蒙特卡羅模擬法最為著名。他們提出的方法在模擬出路徑后，在每一個可以提前執(zhí)行期權(quán)的結(jié)點處，都可以利用比較提前執(zhí)行的價值和到期日模擬價值大小，選擇是否在該結(jié)點提前執(zhí)行終止，這符合美式期權(quán)的特點。2.3.3有限差分方法有限差分方法可以用于求解微分方程，因此利用有限差分

10、法解決bs方程也成為了解決期權(quán)定價問題的一個重要方法。該方法將bs方程進(jìn)行離散化，用很多個差分代替微分，從而求解微分方程就變成了求解線性方程組，將復(fù)雜的積分求解方法改為運用迭代法求解，借助計算機的運算能力將整個過程進(jìn)行了簡化。因為美式期權(quán)可以提前支付，所以不存在解析形式的定價公式，對美式期權(quán)進(jìn)行定價必須通過數(shù)值方法進(jìn)行處理。e.clement等人結(jié)合變網(wǎng)格的思想給出了關(guān)于股價步長的變網(wǎng)格差分方法，d.y.tangman等人則提出了快速有限差分方法。在諸多數(shù)值方法中，有限差分方法更易實施并且能獲得更可信的數(shù)值結(jié)果，是解決美式期權(quán)定價問題最有效的方法之一。三種數(shù)值計算方法擁有相似的方法思路，利用足

11、夠多次的模擬計算，得到期權(quán)價格的數(shù)值近似解。這種方法隨著計算機和計算方法本身的飛速發(fā)展，逐漸的簡單化和精確化，而且它們在解決美式期權(quán)、奇異期權(quán)等定價問題上的表現(xiàn)，使得數(shù)值計算方法成為期權(quán)定價理論中最有效的方法之一。利用新型的數(shù)值計算方法，提高計算方法的效率解決各類期權(quán)定價問題，將會是期權(quán)定價今后研究的重要方向。3期權(quán)定價方法存在的問題期權(quán)是當(dāng)今金融市場研究中的一個重點，而正是因為研究的不斷深入，各種新型期權(quán)的誕生也使得期權(quán)定價方法的局限性越來越強。例如對比普通歐式期權(quán)的美式期權(quán)，涉及了不少的不確定因素。由于美式期權(quán)可以提前執(zhí)行，具有更復(fù)雜的時間價值，它所包含的獲利機會比同樣條件下的歐式期權(quán)多很多，因此在對美式期權(quán)進(jìn)行定價時需要對時間價值進(jìn)行更加細(xì)致的分析。對時間價值的分析需要考慮標(biāo)的物的現(xiàn)價、價格波動情況、距到期日的時間等等，需要涉及到偏導(dǎo)數(shù)、邊界條件、最優(yōu)停止理論等等諸多的可能方法，目前尚沒有一般的公式予以描述，而這正是近些年各學(xué)者研究的重點。而比起常規(guī)期權(quán)（標(biāo)準(zhǔn)歐式或美式期權(quán)），奇異期權(quán)是更加復(fù)雜的新型期權(quán)，他們花樣繁多，通常在常規(guī)期權(quán)的基礎(chǔ)上加以變化或者組合而成。具有隨機波動率、隨機分紅、交易費用、執(zhí)行價格浮動