冊)試題答案以及復習要點匯總(完整版)

1、 高等數(shù)學(2)試題答案以及復習要點匯總一. 選擇題 (每題3分,共15分)1. 設具有一階連續(xù)偏導數(shù)，若，則 A (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。解：選A 。 兩邊對 求導：，將 代入得 ，故 。2已知為某二元函數(shù)的全微分，則a和b的值分別為 C (A) 2和2；(B) 3和3；(C)2和2；(D) 3和3； 解：選C 。 3. 設為曲面z=2(x2+y2)在xoy平面上方的部分，則= D ； 。解：選D 。 。4. 設有直線，曲面在點(1,1,1)處的切平面，則直線與平面的位置關系是： C (A) ； (B) ； (C) ； (D) 與斜交 。解：選C 。的方向向量 ，曲面在

2、點(1,1,1)處的切平面的法向量。由于，因此 。5. 設，則下面結論正確的是 B (A) 點（，）是 的駐點且為極大值點 ；(B) 點（，）是極小值點 ； (C) 點（0，0）是 的駐點但不是極值點 ； (D) 點（0，0）是極大值點 。 解：選B 。二. 填空題 (每題3分,共15分)1 設 ，則 。解：或。2函數(shù) ，則 。解：。3. 曲線在點(2,4,5)處的切線方程 。 解：切線方程 。4設L是圓周x2+y2=a2 (a>0)負向一周,則曲線積分= _。 解：曲線積分。5交換二次積分的次序：= 。解：=。三.求解下列各題（每題8分，共16分）1設，f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求及。解：

3、 （2分） （2分） （2分） （2分）2設函數(shù) 具有一階連續(xù)偏導數(shù)， 是由方程 所確定的隱函數(shù)，試求表達式 。解法一：方程 兩端對求導：，同理可求，（6分） 。 （2分）解法二：令 ，則 ， （3分）于是， （3分） （2分）四計算下列各題（每題8分，共32分）1計算積分。 解：極坐標：令 ，則 （3分） （2分） （3分）2計算三重積分，其中為曲面及所圍成的閉區(qū)域。解：聯(lián)立的兩曲面方程，得交線：，；投影柱面：；在面的投影域為：，用柱面坐標： （2分） （2分） （2分） （2分）3計算曲線積分，其中L是由點A（a，0）到點O（0，0）的上半圓周 解：設， 由格林公式得到 （4分） （4分）

4、4計算，其中曲面S為球面上的部分。解：曲面S的方程為z =，其在xoy坐標面上的投影區(qū)域為：，=， （3分） =+ （3分）由積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性得=0，且，所以=。 （2分）五（8分）求冪級數(shù) 的和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù) 的和。解： （2分） （2分）， （2分）取 ，得 。 （2分）六（8分）求解微分方程 。解：對應齊次微分方程的特征方程為： （2分）故特征根 ，從而齊次微分方程的通解為： （2分）令非齊次方程特解為：代入方程解得 ，于是特解為 （2分）則原方程通解為： 。 （2分）七（6分）某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，其銷售單價分別為10萬元/件、9萬元/件，若生產件甲產品和件乙產品的總

5、成本為（萬元），又已知兩種產品的總產量為100件，試建立這一問題的數(shù)學模型，并分析兩種產品的產量各為多少時企業(yè)獲得最大利潤。解：因為企業(yè)獲得的總利潤應為總收入與總成本之差，因此這一問題的數(shù)學模型應描述如下： （3分）這是有條件極值問題，利用Lagrange乘數(shù)法，令求對各個變量的偏導數(shù)，并令它們都等于0,得 （3分）解上述方程組得到唯一駐點，依題意知所求最大利潤一定存在。故當產品甲產量為70件，產品乙產量為30件時企業(yè)獲得最大利潤。二. 選擇題 (每題3分,共15分)1. 函數(shù)在原點（0，0）處間斷，是因為： (A) 函數(shù)在原點無定義； (B) 函數(shù)在原點無極限；(C) 在原點極限存在，但該點

6、無定義； (D) 在原點極限存在，但不等于它的函數(shù)值。選B。2. 曲面在點（2，1，0）處的切平面方程是： (A) ； (B) ；(C) ；(D) 。選C。3. 旋轉拋物面在部分的曲面面積為: (A)； (B)；(C) ；(D)。選B 。4. 若冪級數(shù)的收斂半徑是2，則的收斂半徑為： (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。選D 。5. 若連續(xù)函數(shù)滿足，則等于 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。 選A 。二. 填空題 (每題3分,共15分)1. 設，其中為可微函數(shù)，則 x 。2設可微，其中， 。3曲線在點（2，4，5）處的切線與軸所夾銳角。4交換二次積分的次序： 。5. 若為的外

7、側，且是其外法線向量的方向余弦，則。注：三.求解下列各題（每題8分，共16分）1設，其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求。解：， （2分） （2分） （2分） （2分）2設求和 （已知）。解：將所給方程兩邊對求導并移項，得 （4分）由已知，可得， （2分）。 （2分） 四計算下列各題（每題8分，共32分）1計算二重積分，其中： 。解：利用極坐標變換 （3分） （3分） （2分） 2計算三重積分其中W為球面所圍成的閉區(qū)域。解：應用球面坐標計算。即為，則 （3分） （3分） （2分） 3計算, 其中L為圓周, 直線及軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界。解：所求積分的曲線可分為三段：線段OA、弧AB、線段O

8、B。線段OA：，； （2分）弧AB：，O yBAxx所以 ； （2分）線段OB：，所以 。 （2分）綜上，。 （2分）4計算曲面積分, 其中S是柱面被平面及所截得的在第一卦限內的部分的前側。z = 3z = 0zoyxS解：由于曲面S在坐標面上的投影區(qū)域為0，所以；（2分）曲面S在坐標面上的投影區(qū)域為,=; （2分）同理，曲面S在坐標面上的投影區(qū)域為0 £ x £ 1, 0 £ z £ 3,=; （2分） 故，=2·=。 （2分） 五（8分）求冪級數(shù)（）的和函數(shù)，并求數(shù)項級數(shù) 的和。解：在（-1，1）上，令= （3分）上式兩邊積分得： ， （3

9、分） = （2分）六（8分）求微分方程滿足初始條件的特解。解：對應齊次微分方程的特征方程為： 故特征根 ，從而齊次微分方程的通解為： （2分） （2分）因 不是特征根，故可令非齊次方程特解為：代入方程解得 ，于是原方程通解為： （2分）代入初始條件得，所以滿足初始條件的特解為：。 （2分）七（6分）證明：，其中是正向一周。解：因曲線為封閉曲線，,滿足Green公式條件，從而直接應用Green公式有：原式 （2分） （1分） （2分） （1分）高等數(shù)學試題一、填空題（每小題3分，共計15分）1設由方程確定，則 。2函數(shù)在點沿方向 的方向導數(shù)最大。3為圓周，計算對弧長的曲線積分= 。4已知曲線上點

10、處的切線平行于平面，則點的坐標為 或 。5設是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間的定義為，則的傅里葉級數(shù)在收斂于 。二、解答下列各題（每小題7分，共35分）1 設連續(xù)，交換二次積分的積分順序。2 計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區(qū)域。3 設是由球面與錐面圍成的區(qū)域，試將三重積分化為球坐標系下的三次積分。 4 設曲線積分與路徑無關，其中具有一階連續(xù)導數(shù)，且，求。5 求微分方程的通解。三、(10分)計算曲面積分，其中是球面的上側。四、(10分)計算三重積分，其中由與圍成的區(qū)域。五、(10分)求在下的極值。六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。七、(10分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間

11、與和函數(shù)。高等數(shù)學試題解答一、填空題（每小題3分，共計15分）1設由方程確定，則。2函數(shù)在點沿方向(4,0,-12) 的方向導數(shù)最大。3為圓周，計算對弧長的曲線積分=。4已知曲線上點處的切線平行于平面，則點的坐標為或。5設是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間的定義為，則的傅里葉級數(shù)在收斂于。二、解答下列各題（每小題7分，共35分）6 設連續(xù)，交換二次積分的積分順序。解：7 計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區(qū)域。 解：8 設是由球面與錐面圍成的區(qū)域，試將三重積分化為球坐標系下的三次積分。 解：9 設曲線積分與路徑無關，其中具有一階連續(xù)導數(shù)，且，求。 解：，。由與路徑無關，得，即。解

12、微分方程，得其通解。又，得。故10 求微分方程的通解。解：的通解為。設原方程的一個特解，代入原方程，得。其通解為 三、(10分)計算曲面積分，其中是球面的上側。解：補上下側。四、(10分)計算三重積分，其中由與圍成的區(qū)域。解：五、(10分)求在下的極值。解：令，得。，為極小值點。故在下的極小值點為，極小值為。六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。解：的面積為 平面部分的面積為。故立體的表面積為。七、(10分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。解：收斂區(qū)間為。設，。故。1.微分方程的一個特解形式可以設為 .1.選擇題1. 已知曲面上點處的切平面平行于平面,則點的坐標是 ( ).A. (1,-

13、1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2).2. 級數(shù)為（ ）.A.絕對收斂; B. 條件收斂; C.發(fā)散; D. 收斂性不確定.3. 若是錐面被平面與所截下的部分,則曲面積分( ).A. ; B. ;C. ; D. .4. 冪級數(shù)的收斂半徑為( ).A. B. C. D.選擇題1. C; 2. A; 3.D. 4.D.解答題1 (7分) 設求.2 (7分) 計算三重積分其中為三個坐標面及平面所圍成的閉區(qū)域.3 (7分) 求,其中是平面被圓柱面截出的有限部分.4 (7分) 求冪級數(shù)的收斂域.5 (7分) 將展開為麥克勞林級數(shù).6 (7分) 求曲線積分

14、,其中為上從到的上半圓周.7 (7分) 求微分方程在初始條件下的特解.8 (7分) 求曲面積分 ,其中為曲面的內側.9(7分) 計算曲線積分,其中是以,為頂點的三角形折線一、 1.解 3 分 3 分 7分2.解 3 分5分6分7分3.解 1分 2分 4分6分 7分4. 解 2分當時收斂4分當時發(fā)散6分收斂域為. 7分5.解 2分 3分5分6分7分6.解, 1分3分由格林公式得6分 7分7.解3分 4分 5分 將代入上式得 6分所求特解為7分8.解 利用高斯公式得4分6分7分9.解 2分4分6分7高等數(shù)學（下）試卷一一、 填空題（1）已知函數(shù)，則 （2）交換積分次序， （3）已知是連接兩點的直線

15、段，則 （4）已知微分方程，則其通解為 二、選擇題（1）設直線為，平面為，則（ ）A. 平行于 B. 在上 C. 垂直于 D. 與斜交（2）已知是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域，將在柱面坐標系下化成三次積分為（ ） A. B. C. D. 三、計算題（每題8分，共48分）1、 求過直線:且平行于直線：的平面方程2、 已知，求， 3、 設，利用極坐標求4、 求函數(shù)的極值 5、計算曲線積分， 其中為擺線從點到的一段弧6、求微分方程 滿足 的特解四.解答題（共22分）1、利用高斯公式計算，其中由圓錐面與上半球面所圍成的立體表面的外側 2、（1）判別級數(shù)的斂散性，若收斂，判別是絕對收斂還是條件收斂；（）（

16、2）在求冪級數(shù)的和函數(shù)（）高等數(shù)學（下）模擬試卷一參考答案一、填空題： 1、 2、 3、 4、 二、選擇題1.2. 三、計算題（每題8分，共48分）1、解： 平面方程為 2、解： 令 3、解：， 4解： 得駐點 極小值為 5解：，有曲線積分與路徑無關 積分路線選擇：從，從 6解： 通解為 代入，得，特解為 四、解答題1、解： 方法一： 原式 方法二： 原式 2、解：（1）令收斂， 絕對收斂。 （2）令 高等數(shù)學（下）試卷二一填空題（1）已知函數(shù)，則在處的全微分 ；（2）交換積分次序， ；（3）已知是拋物線上點與點之間的一段弧，則 ；（4）已知微分方程，則其通解為 .二選擇題（每空3分，共15分

17、）（1）設直線為，平面為，則與的夾角為（ ）；A. B. C. D. （2）設是由方程確定，則（ ）；A. B. C. D. （3）微分方程的特解的形式為（ ）； A. B. C. D.（4）已知是由球面所圍成的閉區(qū)域, 將在球面坐標系下化成三次積分為（ ）；A B.C. D.5、 求過且與兩平面和平行的直線方程 .6、 已知，求， .7、 設，利用極坐標計算 .得分8、 求函數(shù)的極值.9、 利用格林公式計算，其中為沿上半圓周、從到的弧段.6、求微分方程 的通解.四解答題（共22分）1、（1）（）判別級數(shù)的斂散性，若收斂，判別是絕對收斂還是條件收斂； （2）（）在區(qū)間內求冪級數(shù)的和函數(shù) . 2

18、、利用高斯公式計算，為拋物面的下側高等數(shù)學（下）模擬試卷二參考答案一、填空題： 1、 2、 3、 4、 二、選擇題：（每空3分，共15分） 1. 2.3. 4.三、計算題（每題8分，共48分）1、解： 直線方程為 2、解： 令 3、解：， 4解： 得駐點 極小值為 5解：，有 取從 原式 6解： 通解為 四、解答題 1、解：（1）令收斂， 絕對收斂 （2）令 ， 2、解：構造曲面上側 高等數(shù)學（下）模擬試卷三一 填空題（每空3分，共21分）1已知，則 。2設L為上點到的上半弧段，則 。3交換積分順序 。4.級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂？ 。5微分方程的通解為 。二選擇題（每空3分，共15分） 函

19、數(shù)在點的全微分存在是在該點連續(xù)的（ ）條件。 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分，也非必要平面與的夾角為（ ）。A B C D冪級數(shù)的收斂域為（ ）。A B C D設是微分方程的兩特解且常數(shù)，則下列（ ）是其通解（為任意常數(shù)）。A BC D在直角坐標系下化為三次積分為（ ），其中為，所圍的閉區(qū)域。A B C D三計算下列各題（共分，每題分）1、已知，求。2、求過點且平行直線的直線方程。3、利用極坐標計算，其中D為由、及所圍的在第一象限的區(qū)域。四求解下列各題（共分，第題分，第題分） 、利用格林公式計算曲線積分，其中L為圓域：的邊界曲線，取逆時針方向。、判別下列級數(shù)的斂散性： 五、求解下列各題（共分，第、題各分，第題分） 、求函數(shù)的極值。、求方程滿足的特解。、求方程的通解。高等數(shù)學（下）模擬試卷三參考答案一、填空題：（每空3分，共21分）1、,2、，3、，4、條件收斂， 5、（為常數(shù)），二、選擇題：（每空3分，共15分）、，、，、，、，、三、解：、令 、所求