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文檔簡介

1、 高等數(shù)學(2)試題答案以及復習要點匯總一. 選擇題 (每題3分,共15分)1. 設具有一階連續(xù)偏導數(shù),若,則 A (A) ; (B) ; (C) ; (D) 。解:選A 。 兩邊對 求導:,將 代入得 ,故 。2已知為某二元函數(shù)的全微分,則a和b的值分別為 C (A) 2和2;(B) 3和3;(C)2和2;(D) 3和3; 解:選C 。 3. 設為曲面z=2(x2+y2)在xoy平面上方的部分,則= D ; 。解:選D 。 。4. 設有直線,曲面在點(1,1,1)處的切平面,則直線與平面的位置關系是: C (A) ; (B) ; (C) ; (D) 與斜交 。解:選C 。的方向向量 ,曲面在

2、點(1,1,1)處的切平面的法向量。由于,因此 。5. 設,則下面結論正確的是 B (A) 點(,)是 的駐點且為極大值點 ;(B) 點(,)是極小值點 ; (C) 點(0,0)是 的駐點但不是極值點 ; (D) 點(0,0)是極大值點 。 解:選B 。二. 填空題 (每題3分,共15分)1 設 ,則 。解:或。2函數(shù) ,則 。解:。3. 曲線在點(2,4,5)處的切線方程 。 解:切線方程 。4設L是圓周x2+y2=a2 (a>0)負向一周,則曲線積分= _。 解:曲線積分。5交換二次積分的次序:= 。解:=。三.求解下列各題(每題8分,共16分)1設,f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求及。解:

3、 (2分) (2分) (2分) (2分)2設函數(shù) 具有一階連續(xù)偏導數(shù), 是由方程 所確定的隱函數(shù),試求表達式 。解法一:方程 兩端對求導:,同理可求,(6分) 。 (2分)解法二:令 ,則 , (3分)于是, (3分) (2分)四計算下列各題(每題8分,共32分)1計算積分。 解:極坐標:令 ,則 (3分) (2分) (3分)2計算三重積分,其中為曲面及所圍成的閉區(qū)域。解:聯(lián)立的兩曲面方程,得交線:,;投影柱面:;在面的投影域為:,用柱面坐標: (2分) (2分) (2分) (2分)3計算曲線積分,其中L是由點A(a,0)到點O(0,0)的上半圓周 解:設, 由格林公式得到 (4分) (4分)

4、4計算,其中曲面S為球面上的部分。解:曲面S的方程為z =,其在xoy坐標面上的投影區(qū)域為:,=, (3分) =+ (3分)由積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性得=0,且,所以=。 (2分)五(8分)求冪級數(shù) 的和函數(shù),并求數(shù)項級數(shù) 的和。解: (2分) (2分), (2分)取 ,得 。 (2分)六(8分)求解微分方程 。解:對應齊次微分方程的特征方程為: (2分)故特征根 ,從而齊次微分方程的通解為: (2分)令非齊次方程特解為:代入方程解得 ,于是特解為 (2分)則原方程通解為: 。 (2分)七(6分)某企業(yè)生產甲、乙兩種產品,其銷售單價分別為10萬元/件、9萬元/件,若生產件甲產品和件乙產品的總

5、成本為(萬元),又已知兩種產品的總產量為100件,試建立這一問題的數(shù)學模型,并分析兩種產品的產量各為多少時企業(yè)獲得最大利潤。解:因為企業(yè)獲得的總利潤應為總收入與總成本之差,因此這一問題的數(shù)學模型應描述如下: (3分)這是有條件極值問題,利用Lagrange乘數(shù)法,令求對各個變量的偏導數(shù),并令它們都等于0,得 (3分)解上述方程組得到唯一駐點,依題意知所求最大利潤一定存在。故當產品甲產量為70件,產品乙產量為30件時企業(yè)獲得最大利潤。二. 選擇題 (每題3分,共15分)1. 函數(shù)在原點(0,0)處間斷,是因為: (A) 函數(shù)在原點無定義; (B) 函數(shù)在原點無極限;(C) 在原點極限存在,但該點

6、無定義; (D) 在原點極限存在,但不等于它的函數(shù)值。選B。2. 曲面在點(2,1,0)處的切平面方程是: (A) ; (B) ;(C) ;(D) 。選C。3. 旋轉拋物面在部分的曲面面積為: (A); (B);(C) ;(D)。選B 。4. 若冪級數(shù)的收斂半徑是2,則的收斂半徑為: (A) ; (B) ;(C) ; (D) 。選D 。5. 若連續(xù)函數(shù)滿足,則等于 (A) ; (B) ;(C) ; (D) 。 選A 。二. 填空題 (每題3分,共15分)1. 設,其中為可微函數(shù),則 x 。2設可微,其中, 。3曲線在點(2,4,5)處的切線與軸所夾銳角。4交換二次積分的次序: 。5. 若為的外

7、側,且是其外法線向量的方向余弦,則。注:三.求解下列各題(每題8分,共16分)1設,其中具有二階連續(xù)偏導數(shù),求。解:, (2分) (2分) (2分) (2分)2設求和 (已知)。解:將所給方程兩邊對求導并移項,得 (4分)由已知,可得, (2分)。 (2分) 四計算下列各題(每題8分,共32分)1計算二重積分,其中: 。解:利用極坐標變換 (3分) (3分) (2分) 2計算三重積分其中W為球面所圍成的閉區(qū)域。解:應用球面坐標計算。即為,則 (3分) (3分) (2分) 3計算, 其中L為圓周, 直線及軸在第一象限內所圍成的扇形的整個邊界。解:所求積分的曲線可分為三段:線段OA、弧AB、線段O

8、B。線段OA:,; (2分)弧AB:,O yBAxx所以 ; (2分)線段OB:,所以 。 (2分)綜上,。 (2分)4計算曲面積分, 其中S是柱面被平面及所截得的在第一卦限內的部分的前側。z = 3z = 0zoyxS解:由于曲面S在坐標面上的投影區(qū)域為0,所以;(2分)曲面S在坐標面上的投影區(qū)域為,=; (2分)同理,曲面S在坐標面上的投影區(qū)域為0 £ x £ 1, 0 £ z £ 3,=; (2分) 故,=2·=。 (2分) 五(8分)求冪級數(shù)()的和函數(shù),并求數(shù)項級數(shù) 的和。解:在(-1,1)上,令= (3分)上式兩邊積分得: , (3

9、分) = (2分)六(8分)求微分方程滿足初始條件的特解。解:對應齊次微分方程的特征方程為: 故特征根 ,從而齊次微分方程的通解為: (2分) (2分)因 不是特征根,故可令非齊次方程特解為:代入方程解得 ,于是原方程通解為: (2分)代入初始條件得,所以滿足初始條件的特解為:。 (2分)七(6分)證明:,其中是正向一周。解:因曲線為封閉曲線,,滿足Green公式條件,從而直接應用Green公式有:原式 (2分) (1分) (2分) (1分)高等數(shù)學試題一、填空題(每小題3分,共計15分)1設由方程確定,則 。2函數(shù)在點沿方向 的方向導數(shù)最大。3為圓周,計算對弧長的曲線積分= 。4已知曲線上點

10、處的切線平行于平面,則點的坐標為 或 。5設是周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間的定義為,則的傅里葉級數(shù)在收斂于 。二、解答下列各題(每小題7分,共35分)1 設連續(xù),交換二次積分的積分順序。2 計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區(qū)域。3 設是由球面與錐面圍成的區(qū)域,試將三重積分化為球坐標系下的三次積分。 4 設曲線積分與路徑無關,其中具有一階連續(xù)導數(shù),且,求。5 求微分方程的通解。三、(10分)計算曲面積分,其中是球面的上側。四、(10分)計算三重積分,其中由與圍成的區(qū)域。五、(10分)求在下的極值。六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。七、(10分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間

11、與和函數(shù)。高等數(shù)學試題解答一、填空題(每小題3分,共計15分)1設由方程確定,則。2函數(shù)在點沿方向(4,0,-12) 的方向導數(shù)最大。3為圓周,計算對弧長的曲線積分=。4已知曲線上點處的切線平行于平面,則點的坐標為或。5設是周期為2的周期函數(shù),它在區(qū)間的定義為,則的傅里葉級數(shù)在收斂于。二、解答下列各題(每小題7分,共35分)6 設連續(xù),交換二次積分的積分順序。解:7 計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區(qū)域。 解:8 設是由球面與錐面圍成的區(qū)域,試將三重積分化為球坐標系下的三次積分。 解:9 設曲線積分與路徑無關,其中具有一階連續(xù)導數(shù),且,求。 解:,。由與路徑無關,得,即。解

12、微分方程,得其通解。又,得。故10 求微分方程的通解。解:的通解為。設原方程的一個特解,代入原方程,得。其通解為 三、(10分)計算曲面積分,其中是球面的上側。解:補上下側。四、(10分)計算三重積分,其中由與圍成的區(qū)域。解:五、(10分)求在下的極值。解:令,得。,為極小值點。故在下的極小值點為,極小值為。六、(10分)求有拋物面與平面所圍立體的表面積。解:的面積為 平面部分的面積為。故立體的表面積為。七、(10分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。解:收斂區(qū)間為。設,。故。1.微分方程的一個特解形式可以設為 .1.選擇題1. 已知曲面上點處的切平面平行于平面,則點的坐標是 ( ).A. (1,-

13、1,2); B. (-1,1,2); C. (1,1,2); D. (-1,-1,2).2. 級數(shù)為( ).A.絕對收斂; B. 條件收斂; C.發(fā)散; D. 收斂性不確定.3. 若是錐面被平面與所截下的部分,則曲面積分( ).A. ; B. ;C. ; D. .4. 冪級數(shù)的收斂半徑為( ).A. B. C. D.選擇題1. C; 2. A; 3.D. 4.D.解答題1 (7分) 設求.2 (7分) 計算三重積分其中為三個坐標面及平面所圍成的閉區(qū)域.3 (7分) 求,其中是平面被圓柱面截出的有限部分.4 (7分) 求冪級數(shù)的收斂域.5 (7分) 將展開為麥克勞林級數(shù).6 (7分) 求曲線積分

14、,其中為上從到的上半圓周.7 (7分) 求微分方程在初始條件下的特解.8 (7分) 求曲面積分 ,其中為曲面的內側.9(7分) 計算曲線積分,其中是以,為頂點的三角形折線一、 1.解 3 分 3 分 7分2.解 3 分5分6分7分3.解 1分 2分 4分6分 7分4. 解 2分當時收斂4分當時發(fā)散6分收斂域為. 7分5.解 2分 3分5分6分7分6.解, 1分3分由格林公式得6分 7分7.解3分 4分 5分 將代入上式得 6分所求特解為7分8.解 利用高斯公式得4分6分7分9.解 2分4分6分7高等數(shù)學(下)試卷一一、 填空題(1)已知函數(shù),則 (2)交換積分次序, (3)已知是連接兩點的直線

15、段,則 (4)已知微分方程,則其通解為 二、選擇題(1)設直線為,平面為,則( )A. 平行于 B. 在上 C. 垂直于 D. 與斜交(2)已知是由曲面及平面所圍成的閉區(qū)域,將在柱面坐標系下化成三次積分為( ) A. B. C. D. 三、計算題(每題8分,共48分)1、 求過直線:且平行于直線:的平面方程2、 已知,求, 3、 設,利用極坐標求4、 求函數(shù)的極值 5、計算曲線積分, 其中為擺線從點到的一段弧6、求微分方程 滿足 的特解四.解答題(共22分)1、利用高斯公式計算,其中由圓錐面與上半球面所圍成的立體表面的外側 2、(1)判別級數(shù)的斂散性,若收斂,判別是絕對收斂還是條件收斂;()(

16、2)在求冪級數(shù)的和函數(shù)()高等數(shù)學(下)模擬試卷一參考答案一、填空題: 1、 2、 3、 4、 二、選擇題1.2. 三、計算題(每題8分,共48分)1、解: 平面方程為 2、解: 令 3、解:, 4解: 得駐點 極小值為 5解:,有曲線積分與路徑無關 積分路線選擇:從,從 6解: 通解為 代入,得,特解為 四、解答題1、解: 方法一: 原式 方法二: 原式 2、解:(1)令收斂, 絕對收斂。 (2)令 高等數(shù)學(下)試卷二一填空題(1)已知函數(shù),則在處的全微分 ;(2)交換積分次序, ;(3)已知是拋物線上點與點之間的一段弧,則 ;(4)已知微分方程,則其通解為 .二選擇題(每空3分,共15分

17、)(1)設直線為,平面為,則與的夾角為( );A. B. C. D. (2)設是由方程確定,則( );A. B. C. D. (3)微分方程的特解的形式為( ); A. B. C. D.(4)已知是由球面所圍成的閉區(qū)域, 將在球面坐標系下化成三次積分為( );A B.C. D.5、 求過且與兩平面和平行的直線方程 .6、 已知,求, .7、 設,利用極坐標計算 .得分8、 求函數(shù)的極值.9、 利用格林公式計算,其中為沿上半圓周、從到的弧段.6、求微分方程 的通解.四解答題(共22分)1、(1)()判別級數(shù)的斂散性,若收斂,判別是絕對收斂還是條件收斂; (2)()在區(qū)間內求冪級數(shù)的和函數(shù) . 2

18、、利用高斯公式計算,為拋物面的下側高等數(shù)學(下)模擬試卷二參考答案一、填空題: 1、 2、 3、 4、 二、選擇題:(每空3分,共15分) 1. 2.3. 4.三、計算題(每題8分,共48分)1、解: 直線方程為 2、解: 令 3、解:, 4解: 得駐點 極小值為 5解:,有 取從 原式 6解: 通解為 四、解答題 1、解:(1)令收斂, 絕對收斂 (2)令 , 2、解:構造曲面上側 高等數(shù)學(下)模擬試卷三一 填空題(每空3分,共21分)1已知,則 。2設L為上點到的上半弧段,則 。3交換積分順序 。4.級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂? 。5微分方程的通解為 。二選擇題(每空3分,共15分) 函

19、數(shù)在點的全微分存在是在該點連續(xù)的( )條件。 A充分非必要 B必要非充分 C充分必要 D既非充分,也非必要平面與的夾角為( )。A B C D冪級數(shù)的收斂域為( )。A B C D設是微分方程的兩特解且常數(shù),則下列( )是其通解(為任意常數(shù))。A BC D在直角坐標系下化為三次積分為( ),其中為,所圍的閉區(qū)域。A B C D三計算下列各題(共分,每題分)1、已知,求。2、求過點且平行直線的直線方程。3、利用極坐標計算,其中D為由、及所圍的在第一象限的區(qū)域。四求解下列各題(共分,第題分,第題分) 、利用格林公式計算曲線積分,其中L為圓域:的邊界曲線,取逆時針方向。、判別下列級數(shù)的斂散性: 五、求解下列各題(共分,第、題各分,第題分) 、求函數(shù)的極值。、求方程滿足的特解。、求方程的通解。高等數(shù)學(下)模擬試卷三參考答案一、填空題:(每空3分,共21分)1、,2、,3、,4、條件收斂, 5、(為常數(shù)),二、選擇題:(每空3分,共15分)、,、,、,、,、三、解:、令 、所求

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