指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的重點知識

1、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的重點知識重點、難點：重點：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。難點：指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的相互關(guān)系及性質(zhì)的應(yīng)用，以及邏輯劃分思想討論函數(shù)xy a , y log a x在a 1及0 a 1兩種不同情況。1、指數(shù)函數(shù):定義：函數(shù)y ax a 0且a 1叫指數(shù)函數(shù)。定義域為R底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。為什么要求函數(shù)y中的a必須a0且a因為若a 0時，y 4 x,當(dāng)x 時，函數(shù)4值不存在。a 0, y 0x,當(dāng)x 0,函數(shù)值不存在。a 1時，y 1x對一切x雖有意義，函數(shù)值恒為1,但y 1x的反函數(shù)不存在，因為要求函數(shù)y ax中的a 0且a 1。1 x1、對三個指數(shù)函數(shù) y 2x

2、 , y -, y 10x的圖象的認(rèn)識。圖象特征與函數(shù)性質(zhì):圖象特征函數(shù)性質(zhì)(1)圖象都位于x軸上方；(1) x取任何實數(shù)值時，都有 ax 0 ；(2)圖象都經(jīng)過點(0, 1);(2)無論a取任何正數(shù)，x 0時，y 1；(3) y 2x, y 10x在第一象限內(nèi)的縱坐標(biāo)都大于1,在第二象限內(nèi)的縱坐標(biāo)都小于1,1 xy 的圖象正好相反；2,“ x 0,貝Uax 1(3)當(dāng)a 1時，x 0,則 ax 1x 0,則 ax 1當(dāng)0 a 1時，x 0,則 ax 1，一、xx (4) y 2 , y 10的圖象自左到右逐漸x1上升，y 1 的圖象逐漸下降。2(4)當(dāng)a 1時，y ax是增函數(shù)， 當(dāng)0 a

3、1時，y ax是減函數(shù)。對圖象的進(jìn)一步認(rèn)識，(通過三個函數(shù)相互關(guān)系的比較)所有指數(shù)函數(shù)的圖象交叉相交于點(0, 1),如y 2x和y 10x相交于(0, 1),當(dāng)x 0時，y 10x的圖象在y 2x的圖象的上方，當(dāng)x 0,剛好相反，故有102 22及2-2102 。y 2x與y通過y 2x,x11 的圖象關(guān)于y軸對稱。2y i0x, yx1- 三個函數(shù)圖象，可以回出任意一個函數(shù)2yax（a 0且a 1）的示意圖，如間，且過點（0, 1）,從而yy 3x的圖象，一定位于 y 2x和yx1, I 也由關(guān)于y軸的對稱性，可得 y310x兩個圖象的中x11 的示意圖，即3通過有限個函數(shù)的圖象進(jìn)一步認(rèn)識

4、無限個函數(shù)的圖象。2、對數(shù)：定義：如果ab N（a 0且a 1）,那么數(shù)b就叫做以a為底的對數(shù)，記作b loga N（a是底數(shù)，N是真數(shù)，log a N是對數(shù)式。）由于N ab 0故loga N中N必須大于0。當(dāng)N為零的負(fù)數(shù)時對數(shù)不存在。（1）對數(shù)式與指數(shù)式的互化。由于對數(shù)是新學(xué)的，常常把不熟悉的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式解決問題，如：十5 2log 0.32 T分析：對于初學(xué)者來說,對上述問題一般是束手無策，若將它寫成10g032變2x,U.OM4再改寫為指數(shù)式就比較好辦。解：設(shè) 10go.32則 0,32 x4524即25825即 log 0.3212評述：由對數(shù)式化為指數(shù)式可以解決問題，反之由指

5、數(shù)式化為對數(shù)式也能解決問題，因此必須因題而異。如求 3x 5中的x,化為對數(shù)式x log 35即成。（2）對數(shù)恒等式：由 ab N （1） b loga N （2）將（2）代入（1）得 alogaN N運用對數(shù)恒等式時要注意此式的特點，不能亂用，特別是注意轉(zhuǎn)化時必須備的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同。計算：,3log 1 2解：原式 312哈2310g 1,l-2. 23o(3)對數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)是零；底數(shù)的對數(shù)等于1。(4)對數(shù)的運算法則： log a MNlog a log a log aM N Nnlog a MlOg aN M, N log anNnloga1 logn3、對

6、數(shù)函數(shù)：定義：指數(shù)函數(shù)y數(shù) y log a x x (0,1、對三個對數(shù)函數(shù)y Igx的圖象的認(rèn)識。圖象特征與函數(shù)性質(zhì)：圖象特征函數(shù)性質(zhì)(1)圖象都位于 y軸右側(cè)；(1) 7E義域：值或：R；(2)圖象都過點(1,0);(2) x 1 時，y 0。即 log a 1 0 ；(3) y log 2 x , y lg x 當(dāng) x 1 時，圖象在x軸上方，當(dāng)0 x 0時，圖象在x軸下 方，y log 1 x與上述情況剛好相反；2(3)當(dāng)a 1時，若x 1 ,則y 0,若0 x 1,則 y 0;當(dāng)0 a1時，若x 0,則y 0,若0 x 1 時，則 y 0;(4) y log2 x, y lgx從左向

7、右圖象是上 升，而y log 1x從左向右圖象是下降。2(4) a 1時，y logax是增函數(shù)；0 a 1時，y log ax是減函數(shù)。對圖象的進(jìn)一步的認(rèn)識(通過三個函數(shù)圖象的相互關(guān)系的比較)：(1)所有對數(shù)函數(shù)的圖象都過點(1,0),但是y 10g 2*與丫 lg x在點(1,0)曲線是交叉白即當(dāng) x 0時，y 10g 2*的圖象在y lgx的圖象上方；而0 x 1時， y 10g2*的圖象在y lg x的圖象的下方，故有：log 215 lg15； log 2 01 lg 01 o(2) y 嘮2*的圖象與y log 1x的圖象關(guān)于x軸對稱。2(3)通過y log 2 x , y 1g

8、x , y log 1 x三個函數(shù)圖象，可以作出任意一個對數(shù)2函數(shù)的示意圖，如彳y 1og3x的圖象，它一定位于y 1og2x和y 1gx兩個圖象的中間, 且過點(1,0) , x 0時，在y 1g x的上方，而位于 y 1og2x的下方，0 x 1時, 剛好相反，則對稱性，可知 y 1og1 x的示意圖。3因而通過課本上的三個函數(shù)的圖象進(jìn)一步認(rèn)識無限個函數(shù)的圖象。4、對數(shù)換底公式:10gb Nloga NlogabLnNlogeN(其中e 2.71828)稱為N的自然對數(shù)Lg Nlog10 N稱為常數(shù)對數(shù)由換底公式可得：L N ”nlg elg N0.43432.303lg N由換底公式推出一些常用的結(jié)論:1(1) logab 或 logab Tog balog ba(2) log an bm(3) logan bn(4) log. am am.,-logab nloga bm n5、指數(shù)方程與對數(shù)方程*定義：在指數(shù)里含有未知數(shù)的方程稱指數(shù)方程。在對數(shù)符號后面含有未知數(shù)的方程稱對數(shù)方程。由于指數(shù)運算及對數(shù)運算不是一般的代數(shù)運算，故指數(shù)方程對數(shù)方程不是代數(shù)方程而屬于超越方程。名稱題型解法基本型同底數(shù)型f Xabf (x)(x)aa取以a為底的對數(shù)f x loga b取以a為底的對數(shù)f xx指數(shù)方程的題型與解法:不同底數(shù)型f x ab x取同底的對數(shù)化為 f x T