上海黃浦2020屆4月高三數(shù)學(xué)二模(理科)

1、黃浦區(qū) 2019 年高考模擬考數(shù)學(xué)試卷(理科)2019 年 4 月 11 日1若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足  z-1考生注意：1每位考生應(yīng)同時(shí)收到試卷和答題紙兩份材料，解答必須在答題卷上進(jìn)行，寫(xiě)在試卷上的解答一律無(wú)效；2答卷前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息在答題卷上填寫(xiě)清楚；3本試卷共 23 道試題，滿(mǎn)分 150 分；考試時(shí)間 120 分鐘.一填空題（本大題滿(mǎn)分 56 分）本大題共有 14 題

2、，考生應(yīng)在答題卷相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每題填對(duì)得 4 分，否則一律得零分9z= 0 ，則 z 的值為_(kāi).2函數(shù) f ( x) =x + 1 + lg(4 - 2 x) 的定義域?yàn)開(kāi).3若直線 l 過(guò)點(diǎn) A(-1,3) ，且與直線 x - 2 y - 3 = 0 垂直，則直線

3、0;l 的方程為_(kāi).4等差數(shù)列a 的前 10 項(xiàng)和為 30，則 a + a + a + a = _.n147105執(zhí)行右邊的程序框圖，則輸出的 a 值是_.6設(shè) a 為常數(shù)，函數(shù) f ( x) = x2 - 4 x + 3 ，若 f ( x + a) 

4、;在 0, +¥) 上是增函數(shù)，則 a 的取值范圍是_.7在極坐標(biāo)系中，直線 l : r cosq = 1 被圓 C : r = 4cos q 所截得的線段長(zhǎng)為_(kāi).開(kāi)始a ¬ 1a ¬ 3a + 1a > 100是輸出 a結(jié)束否8已知點(diǎn) P(2, -3) 

5、;是雙曲線x2  y 2-a 2 b2= 1(a > 0, b > 0) 上一點(diǎn)，雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離等于 4，則該雙曲線方程是_.9在平行四邊形 ABCD 中，若 AB = 2, AD = 1,ÐBAD = 60 ，則 AB × BD = _.10已知 A,

6、60;B, C 是球面上三點(diǎn)，且 AB = AC = 4cm, ÐBAC = 90 ，若球心 O 到平面 ABC的距離為 2 2 ，則該球的表面積為_(kāi) cm3.·1·11在 DABC 中， ÐA = 120 , AB = 5, BC = 7 ，則si

7、n Bsin C的值為_(kāi).12已知 x + x 2 + x3 + x n = a + a ( x - 3) + a ( x - 3)2 + a ( x - 3)3 +0 1 2 3+ a ( x - 

8、3)nn4nn®¥14已知 f ( x) = 4 -  1(n Î N * ) 且 A = a + a + a + a ，則 lim An = _.n012n13一廠家向用戶(hù)提供的一箱產(chǎn)品共 10 件，其中有 1 件次品. 用戶(hù)先對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行隨機(jī)抽檢以

9、決定是否接受. 抽檢規(guī)則如下：至多抽檢 3 次，每次抽檢一件產(chǎn)品(抽檢后不放回)，只要檢驗(yàn)到次品就停止繼續(xù)抽檢，并拒收這箱產(chǎn)品；若 3 次都沒(méi)有檢驗(yàn)到次品，則接受這箱產(chǎn)品，按上述規(guī)則，該用戶(hù)抽檢次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是_.1，若存在區(qū)間a, b Í ( , +¥) ，使得x3y y = f ( x), x Í a, b= ma, mb ，則實(shí)數(shù)&

10、#160;m 的取值范圍是_.二、選擇題（本大題滿(mǎn)分 20 分）本大題共有 4 題，每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題卷的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律得零分.15已知 cos q2=45，且 sin q < 0 ，則 tanq 的值為24242424A -B. ±C. -D.25777116函數(shù) f ( x) =x2

11、 + 1(x < -2) 的反函數(shù)是2A y =2 x - 2(1 £ x < 3)B. y =2 x - 2( x > 3)C y = - 2 x - 2(1 £ x < 3)D. y = -&

12、#160;2 x - 2( x > 3)17下列命題：“ 0 < a £1                   1”是“存在 n Î N * ，使得 ( )n = a 成立”的充

13、分條件；“ a > 0 ”2                   2111是“存在 n Î N * ，使得 ( )n < a 成立”的必要條件；“ a >”是“不等式 ( )n <

14、60;a 對(duì)222一切 n Î N * 恒成立”的充要條件. 其中所以真命題的序號(hào)是AB. C. D. 18如果函數(shù) y = x - 2 的圖像與曲線 C : x 2 + l y 2 = 4 恰好有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù) l的取值范圍是A -1,1)B. -1,0C. (-&#

15、165;, -1 0,1)D. -1,0·2·(1,+¥)三、解答題（本大題滿(mǎn)分 74 分）本大題共 5 題，解答下列各題必須在答題卷相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟19（本題滿(mǎn)分 12 分）本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿(mǎn)分 6 分，第 2 小題滿(mǎn)分 6 分.已知正四棱柱 ABCD - A B C D 

16、;的底面邊長(zhǎng)為 2， A D = 13 .11111D1C1（1）求該四棱柱的側(cè)面積與體積；A1B1（2）若 E 為線段 A D 的中點(diǎn)，求 BE 與平面 ABCD 所成角的大小.1EAD          CB20（本題滿(mǎn)分 14 分）本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿(mǎn)分 6

17、 分，第 2 小題滿(mǎn)分 8 分.已知復(fù)數(shù) z = sin x + l i, z = (sin x + 3cos x) - i ( l , x Î R, i 為虛數(shù)單位)12（1）若 2 z = z i ，且 x 

18、6; (0, p ) ，求 x 與 l 的值；12（2）設(shè)復(fù)數(shù) z , z 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的向量分別為 OZ , OZ ，若OZ  OZ ，且l = f ( x) ，求 f ( x)121212的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間.ìaxïï x2 + aï 

19、 a × 2x-121（本題滿(mǎn)分 14 分）本題共有 2 個(gè)小題，第 1 小題滿(mǎn)分 6 分，第 2 小題滿(mǎn)分 8 分.某醫(yī)藥研究所開(kāi)發(fā)一種新藥，在實(shí)驗(yàn)藥效時(shí)發(fā)現(xiàn)：如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥(0 < x < 1)后每毫升血液中的含藥量 y （微克）與時(shí)間 x （小時(shí)）之間滿(mǎn)足 y = í，( 

20、x > 1)ïî 4x-1 + 1其對(duì)應(yīng)曲線（如圖所示）過(guò)點(diǎn) (2, 16 ) .5y（1）試求藥量峰值（ y 的最大值）與達(dá)峰時(shí)間（ y 取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的 x 值）；（2）如果每毫升血液中含藥量不少于 1 微克時(shí)治療疾病有效，那么成人按規(guī)定劑量服用該藥一次后能維持多長(zhǎng)的有效時(shí)間？（精確到 0.01 小時(shí)）達(dá)峰時(shí)間藥量峰值x·3·22(本題滿(mǎn)分 16&

21、#160;分) 本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿(mǎn)分 4 分，第 2 小題滿(mǎn)分 6 分，第 3 小題滿(mǎn)分 6分.設(shè)拋物線 C : y 2 = 2 px( p > 0) 的焦點(diǎn)為 F ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的動(dòng)直線 l 交拋物線 C 于點(diǎn)A( x ,&

22、#160;y ) ， B( x , y ) 且 y y = -4 .112212（1）求拋物線 C 的方程；（2）若 OE = 2(OA + OB ) ( O 為坐標(biāo)原點(diǎn))，且點(diǎn) E 在拋物線 C 上，求直線 l 傾斜角；（3）若點(diǎn) M 是拋物線 C 的準(zhǔn)線上

23、的一點(diǎn)，直線 MF , MA, MB 的斜率分別為 k , k , k .求證：012當(dāng) k 為定值時(shí)， k + k 也為定值.01223(本題滿(mǎn)分 18 分) 本題共有 3 個(gè)小題，第 1 小題滿(mǎn)分 4 分，第 2 小題滿(mǎn)分 6 分，第 3 小題滿(mǎn)分 8分.已知數(shù)列a

24、n具有性質(zhì)： a 為整數(shù)；對(duì)于任意的正整數(shù) n ，當(dāng) a1n 為偶數(shù)時(shí)，n+1  =  an+1  =n  .2                      2a - 1an ；當(dāng) a 為奇數(shù)

25、時(shí)， an（1）若 a 為偶數(shù)，且 a , a , a 成等差數(shù)列，求 a 的值；11231（2）設(shè) a = 2m + 3 ( m > 3 且 m ÎN)，數(shù)列a1n的前 n 項(xiàng)和為 Sn，求證： S £ 2m+1 + 3 ；n（3）若 a&#

26、160;為正整數(shù)，求證：當(dāng) n > 1 + log a ( n Î N)時(shí)，都有 a = 0 .121n·4·一、填空題1. ±3i2.  -1,2 )3. y = -2x +14. 125. 1216.  2, +¥)7. 2 38. x2&

27、#160;-y 23= 1        9. -310.  64p               11.   3412.5313.2714. 3,4 10二、選擇題15. C16. D17. B18. A三、解答題【題目 

28、;19】【解析】根據(jù)題意可得：在 Rt DAA D 中，高 AA =11 S = (2 ´ 2 + 2 ´ 3 + 2 ´ 3) ´ 2 = 32A D2 - AD2 = 31V = 2 ´ 2 ´ 

29、3 = 12過(guò) E 作 EF  AD ，垂足為 F ，連結(jié) BF ，則 EF  平面 ABCD ， BE Ì 平面 ABCD ， EF  BF在 Rt DBEF 中， ÐEBF 就是 BE 與平面 ABCD 所成的角·5·

30、; EF =  1 EF  AD, AA  AD ， EFAA ，11又 E 是 A D 的中點(diǎn)， EF 是 DAA D 的中位線，113AA =122在 Rt DAFB 中 BF =AF 2 + AB2 = 12 + 22 =&

31、#160;533 5 tan ÐEBF =¸ 5 =210 ÐEBF = arctan3 510【題目 20】【解析】 2 z = z i ， 2sin x + 2l i = 1 + (sin x + 3 cos x)i12ìï2sin&#

32、160;x = 1 í，ïî2l = sin x + 3 cos x6  或p5 x Î (0, p ) ， x =p6 l = 1 或 l = -12根據(jù)題意可知： OZ = (sin x, l ),OZ = 

33、;(sin x + 3cos x, -1),12 OZ  OZ ， OZ × OZ = 01212 sin 2 x + 3sin x cos x - l = 0 l = sin 2 x + 3 sin x cos x&#

34、160;， l =1                           p   1(1- cos2 x + 3sin 2 x) = sin(2 x - ) +

35、2                           6  2  sin x 在 + 2kp ,  + 2kp , k Î Z 上單調(diào)減2p最小正周

36、期： T = p2p3p22根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：2 x -p p      3pΠ+ 2kp ,  + 2kp , k Î Z6   2      2p5p x Î + kp ,+ kp 

37、;, k Î Z36·6·  f ( x) 在 + kp ,  5p  + kp , k Î Z 上單調(diào)減ïï x2 + 1 ,0 < x < 1【解析】將 (2,  ) 代入函數(shù)可得： 

38、a = 8 ， f ( x) = íp36【題目 21】ì 8x165ï 2x+2 , x ³ 1ïî 4x-1 + 1當(dāng) x Î (0,1) 時(shí)， f ( x) =8xx2 + 1 x + 1 >

39、60;2 ， 0 < f ( x) < 4x=8x + 1x1      14x-1 + 1  4x22 x當(dāng) x Î 1,+¥) 時(shí)， f ( x) = 2x ³ 22x+2    4 

40、× 2 x   4 × 2 x       4= = =+ 1     + 1 ´ 2x +4      4 4     2x1 1´ 2x 

41、;+4     2x³ 1 ， 0 < f ( x) £ 4當(dāng) x = 1 時(shí)，有最大值為 ymax= f (1) = 4 f ( x) 在 (0,1) 上單調(diào)增，在1,+¥) 上單調(diào)減，最大值為 4 f ( x) 

42、;= 1 在 (0,1) 和 1,+¥) 各有一解當(dāng) x Î (0,1) 時(shí)， f ( x) =8x= 1 ，解得： x = 4 - 15x 2 + 1當(dāng) x Î 1,+¥) 時(shí)， f ( x) =42x+2x-1 + 

43、1= 1 ，解得： x = log (8 + 2 15)2當(dāng) x Î4 - 15,log (8 + 2 15) 時(shí)，為有效時(shí)間區(qū)間2有效的持續(xù)時(shí)間為： log (8 + 2 15) - (4 - 15) » 3.85小時(shí)2【題目 22】設(shè)拋物線 C ：

44、0;y 2 = 2 px( p > 0) 的焦點(diǎn)為 F ，經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的動(dòng)直線交拋物線與A( x , y ) ， B( x , y ) 兩點(diǎn)，且 y y = -4 ；112212·7·【解析】根據(jù)題意可知： F (  p,0) ，設(shè)直線

45、0;l 的方程為： x = ky +  ，則：求拋物線的方程；若 OE = 2(OA + OB ) （ O 為坐標(biāo)原點(diǎn)），且點(diǎn) E 在拋物線 C 上，求直線 l 的傾斜角；若點(diǎn) M 是拋物線 C 的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，直線 MF , MA, MB 的斜率分別為 k ,

46、0;k , k ，012求證：當(dāng) k 為定值時(shí)， k + k 也為定值。012p22ìï聯(lián)立方程： íx = ky +p，2 ，消去 x 可得： y 2 - 2 pky - p 2 = 0 （*）îï y 2 = 2 px根據(jù)韋達(dá)

47、定理可得： y y = - p 2 = -4 ， p = 2 ， C ： y 2 = 4 x12設(shè) E ( x , y ) ，則： í   0y  = 2( y + y )î000ì

48、0;x = 2( x + x )1 21 2，由（*）式可得： y + y = 2 pk = 4k1 2ïï   1     2ï x  = ky  + pïî   222k y 

49、= 8k ，0ìpx = ky +1又 í， x + x = k ( y + y ) + p = 2 pk 2 + p = 4k 2 + 212122 x = 8k 2 + 40 y 2 = 

50、;4 x ， 64k 2 = 4(8k 2 + 4) ， 2k 2 = 1 ， k = ±200直線 l 的斜率 k = 1 = tan a = ± 2 ，傾斜角為 arctan 2 或 p - arctan 

51、2l可以驗(yàn)證該定值為 2k ，證明如下：022  =2設(shè) M (-1, y ) ，則： k =M0- yM ， k =1y - y y - y1 M ， k Mx + 1        x + 11 2 í&#

52、236; x  = ky + 1， í   1ì x + 1 = ky + 2111î x2 = ky2 + 1î x2 + 1 = ky2 + 2·8· k  + k  = &#

53、160;y  - yx  + 1    x  + 1   ky  + 2  ky  + 2y - yy - yy - y1M +2M =1M +2M121212= ( y1 - yM )(ky2 + 

54、2) + ( y2 - yM )(ky1 + 2)(ky + 2)(ky + 2)12=2ky y + 2( y + y ) - y (k ( y + y ) + 4)1 2 1 2 M 1 2k 2 y y 

55、+ 2k ( y + y ) + 41 2 1 2-8k + 8k - y (4k 2 + 4)M= - y-4k 2 + 8k 2 + 4 k + k = 2k 為定值120Mn+1  =  an+1  =n

56、  ；2                      2【題目 23】已知數(shù)列a  具有性質(zhì)： a 為整數(shù)；對(duì)于任意的正整數(shù) n ，當(dāng) a 為偶數(shù)時(shí)，n1na - 1an ；當(dāng) a 為奇數(shù)時(shí)， an若 a 為偶數(shù)，且 a , a , a 成等差數(shù)列，求 a 的值；11231設(shè) a = 2m + 3 （ m > 3 且 m Î N ），數(shù)列a  的前 n 項(xiàng)和為 S ，1nn求證： S £ 2m+1 + 3&#