二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

1、3.3 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)凡用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。標(biāo)準(zhǔn)形式的二階系統(tǒng)的微分方程是(3.27)(3.28)上兩式中， T稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。 稱為系統(tǒng)的阻尼系數(shù)或阻尼比， 稱為系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩 頻率或自然頻率。 K 為放大系數(shù)。圖 3.9 是標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖 3.9 二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖標(biāo)準(zhǔn)形式二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(3.29)階系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(3.30)(3.31)(3.31) 在式（ 3.30 ）和式（ 3.31 ）中，設(shè) K=1,u（t） 為輸入函數(shù)。 二階系統(tǒng)是控制系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛、最具代表性的系統(tǒng)。同時(shí)，二階系統(tǒng)的分析方法也是分析高階系 統(tǒng)的基礎(chǔ)。二階

2、系統(tǒng)的單位躍階響應(yīng) 二階系統(tǒng)的特征方程為(3.32)特征方程的二個(gè)根為(3.33)這也是二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。從式（3.33 ）可以看出，二階系統(tǒng)的參數(shù) ， 是變化的， 取值不同，特征方程的根 （即閉環(huán)極點(diǎn)） 可能是復(fù)數(shù)，也可能是實(shí)數(shù)。系統(tǒng)的響應(yīng)形式也因此會(huì)有較大的區(qū)別。在單位階躍函數(shù)輸入下，二階系統(tǒng)的輸出為(3.34)下面分幾種不同的情況來討論二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。1. 無阻尼狀態(tài)（ =0） 當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼比 時(shí)，我們稱二階系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)或無阻尼情況。時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程的根是共軛純虛數(shù)根閉環(huán)極點(diǎn)在 s 平面上的分布如圖 3.10 所示。 隨 變動(dòng)， 閉環(huán)極點(diǎn)的位置沿虛軸變化。系統(tǒng)的單

3、位階躍響應(yīng)為(3.35)響應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為(3.36)的變化這是一個(gè)等幅的正弦振蕩。這說明在無阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)不可能跟蹤單位階躍輸入的變化 曲線如圖 3.15 所示。圖 3.11 欠阻尼狀態(tài)下的閉環(huán)極點(diǎn)2. 欠阻尼狀態(tài)（ ）當(dāng)二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù) 時(shí)，我們稱二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是欠阻尼情況或者說二階系統(tǒng) 處于欠阻尼狀態(tài)。當(dāng) 時(shí)，二階系統(tǒng)特征方程的根是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根：(3.37)閉環(huán)極點(diǎn)在 s 平面上的分布如圖 3.11 所示。特征方程的根具有相同的實(shí)部 。特征方程的根的虛部為，我們定義稱為阻尼頻率。在圖系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為3.11 中，設(shè)閉環(huán)極點(diǎn)與 s 平面原點(diǎn)的連線和實(shí)軸的夾角為，則有把式（

4、3.41 ）展開為部分分式對(duì)式（ 3.42 ）求拉普拉斯變換，得到(3.39)(3.41)(3.42)(3.43)式（3.43 ）還可以進(jìn)一步寫成：(3.44)式（ 3.44 ）表明，這是一個(gè)振幅按指數(shù)規(guī)律衰減的正弦振蕩過程。圖3.12 是 y（t） 在欠阻尼情況下的響應(yīng)曲線。圖 3.12 欠阻尼情況下二階系統(tǒng)的響應(yīng)曲線式（ 3.44 ）中，正弦振蕩的振幅為, 可以看出，若 越大，振幅衰減得就越快。從圖 3.11閉環(huán)極點(diǎn)分布上，可以看出閉環(huán)極點(diǎn)離虛軸越遠(yuǎn)，振幅衰減得越快。 是正弦振蕩的頻率。圖 3.11 表明，閉環(huán)極點(diǎn)離實(shí)軸越遠(yuǎn)，振蕩頻率就越高。欠阻尼響應(yīng)隨 變化的曲線見圖 3.15 。圖 3

5、.13 臨界阻尼情況下的閉環(huán)極點(diǎn)3. 臨界阻尼狀態(tài)（ ）當(dāng)阻尼比 時(shí)，我們稱二階系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)或臨界阻尼情況。在 時(shí)，二階系統(tǒng)的特征根為即二階系統(tǒng)具有相等的負(fù)實(shí)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)。圖 3.13 給出了閉環(huán)極點(diǎn)在 S 平面上的分布。圖中用雙星號(hào) 表示特征方程的重根。臨界阻尼狀態(tài)下的單位階躍響應(yīng)為(3.45)對(duì)上式進(jìn)行拉普拉斯反變換得：（3.46）其響應(yīng)曲線見圖 3.15 ，在臨界阻尼狀態(tài)下，系統(tǒng)的響應(yīng)開始失去振蕩特性，成為單調(diào)變化的曲線。圖 3.14 過阻尼狀況下的閉環(huán)極點(diǎn)4. 過阻尼狀態(tài)（ ）當(dāng)阻尼比大于 1 時(shí), 我們稱二階系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)或過阻尼情況。 在這種狀態(tài)下，二階系統(tǒng)特征方程的根是

6、兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。圖 的分布。系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為3.14 給出了這種情況下閉環(huán)極點(diǎn)過阻尼狀態(tài)下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3.47)對(duì)式（ 3.47 ）進(jìn)行拉普拉斯反變換得其響應(yīng)曲線見圖 3.15 ，這是兩個(gè)衰減指數(shù)項(xiàng)的疊加。這種情況下，二階系統(tǒng)的特征方程可以改寫為其中 于是閉環(huán)傳遞函數(shù)可寫為(3.49)式(3.49 )表明，過阻尼狀態(tài)下的二階系統(tǒng)可以看成是兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。過阻尼 狀態(tài)下的兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸的距離不同。 離虛軸近的閉環(huán)極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 (3.48 )式的指數(shù)項(xiàng)衰減得慢， 因而對(duì)輸出影響大。而離虛軸遠(yuǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的指數(shù)項(xiàng)則衰減得很快，對(duì)輸出的影響較小。當(dāng)時(shí)，可以將遠(yuǎn)離虛

7、軸的閉環(huán)極點(diǎn)忽略，把系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)：(3.50)其相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為(3.51)圖 3.15 給出了二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的形式隨阻 尼比 變化的情況，阻尼比越大，響應(yīng)振蕩越弱。反之，阻尼比越小，響應(yīng)的振蕩越強(qiáng)烈。圖 3.15 中的橫坐標(biāo)采用 ，主要是為了使縱坐標(biāo)的輸出 y(t) 僅僅成為阻尼比的函數(shù)。二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)1. 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的優(yōu)劣， 是通過動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)來評(píng)價(jià)的。 控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的性能指標(biāo)通常是 按系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的某些特征量來定義的。 多數(shù)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程都具有振蕩特性。 因此我們 選擇

8、欠阻尼振蕩過程為典型代表， 來定義動(dòng)態(tài)特性的性能指標(biāo)， 并用這些指標(biāo)來描述控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài) 過程品質(zhì)。這些指標(biāo)主要有：上升時(shí)間、峰值時(shí)間、最大超調(diào)量、衰減率、調(diào)節(jié)時(shí)間、振蕩頻率與周 期、振蕩次數(shù)等。圖 3.16 是一個(gè)典型的欠阻尼振蕩過程。它代表了系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。之所以選用單位階躍響應(yīng)來 定義動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，是因?yàn)殡A躍信號(hào)變化的突然性具有代表意義。若系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)品質(zhì)良好， 對(duì)其它信號(hào)的響應(yīng)一般也較好。 上升時(shí)間 。指從動(dòng)態(tài)過程開始到輸出第一次達(dá)到階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值 所需的時(shí)間。這個(gè)指標(biāo)反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性或靈敏程度。峰值時(shí)間 。是指瞬態(tài)響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值的時(shí)間。圖 3.16 欠阻尼振蕩過

9、程最大超調(diào)量 。最大超調(diào)量定義為(3.52)式中 是指系統(tǒng)階躍響應(yīng)的第一個(gè)峰值。 是指系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量表 示了系統(tǒng)振蕩特性的強(qiáng)弱。阻尼系數(shù)較小的系統(tǒng)，振蕩較強(qiáng)，因而最大超調(diào)量也大。最大超調(diào)量也表 示了控制系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)過程中被控對(duì)象的輸出瞬時(shí)上沖得最大程度。 這是輸出量變化的極值。 這一點(diǎn)在 控制系統(tǒng)的運(yùn)行中非常重要。 因?yàn)橄到y(tǒng)中某些有一定限制的參數(shù)在動(dòng)態(tài)過程中可能會(huì)因?yàn)槌{(diào)而越出 允許范圍。如材料的極限溫度、電子元件的擊穿電壓、瞬時(shí)電流，化工生產(chǎn)中化合物的爆炸極限等， 這將會(huì)造成設(shè)備的損壞，影響生產(chǎn)的安全。最大超調(diào)量一般也可以簡(jiǎn)稱為超調(diào)量。 衰減率和衰減比。衰減率的定義為(3

10、.53)式（3.53 ）中，是瞬態(tài)響應(yīng)曲線上同方向相鄰兩個(gè)波峰值高出穩(wěn)態(tài)值得部分。衰減比的定義是(3.54)衰減率和衰減比與超調(diào)量一樣， 反映了系統(tǒng)振蕩的強(qiáng)弱， 或者說反映了系統(tǒng)的阻尼特性。 在化工過程、 熱工過程的控制中，常用來描述系統(tǒng)克服擾動(dòng)時(shí)的動(dòng)態(tài)特性。在工業(yè)生產(chǎn)過程控制中，常常把系統(tǒng)設(shè) 計(jì)成具有 75%的衰減率，此時(shí)的衰減比為 4： 1 。調(diào)節(jié)時(shí)間 。調(diào)節(jié)時(shí)間也稱為調(diào)整時(shí)間，過渡過程時(shí)間。其定義為：從動(dòng)態(tài)過程開始到系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)入 規(guī)定的誤差帶內(nèi)并不再超出的時(shí)間，即：(3.55)式中 指規(guī)定的允許誤差范圍。工業(yè)上常取誤差 的相對(duì)值為 5%或 2%。 此外，延遲時(shí)間、振蕩次數(shù)、振蕩周期等也是

11、動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。這里不再詳述。 以上性能指標(biāo)是按系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特性來定義的。 所有的性能指標(biāo)綜合在一起， 才能表明控制系 統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的品質(zhì)，因此，稱為單向性指標(biāo)?？刂葡到y(tǒng)也可以用一個(gè)指標(biāo)來表示系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)品質(zhì)， 稱為綜合性指標(biāo)。 誤差準(zhǔn)則就是這樣一種性能指 標(biāo)。控制系統(tǒng)的特性通過誤差的積分來評(píng)定。在誤差準(zhǔn)則中，通常應(yīng)用的有4 種：平方誤差積分準(zhǔn)則（ ISE）時(shí)間乘平方誤差積分準(zhǔn)則（ITSE)(3.56)(3.57)絕對(duì)誤差積分準(zhǔn)則（ IAE）(3.58)時(shí)間乘絕對(duì)值誤差準(zhǔn)則（ ITAE）（3.59）這些積分準(zhǔn)則可以稱為目標(biāo)函數(shù)。通過對(duì)控制系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)選取，使某種目標(biāo)函數(shù)的值最小，則所選 擇的這

12、些參數(shù)就稱為最優(yōu)參數(shù)。按最優(yōu)參數(shù)組成的控制系統(tǒng)就稱為最優(yōu)系統(tǒng)。2. 二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性性能指標(biāo)上升時(shí)間 ：根據(jù)上升時(shí)間的定義，從（ 3.44 ）式可得因而則有所以（3.60）峰值時(shí)間 對(duì)式（ 3.44 ）式求導(dǎo)可得（3.61）最大超調(diào)量 ，將式（ 3.61 ）代入（ 3.44 ）式，為簡(jiǎn)便運(yùn)算，令 K=1則有由圖 3.11 可以得出因此按最大超調(diào)量的定義（3.62）用類似的方法，可得到其他性能指標(biāo)。衰減率衰減比 n調(diào)節(jié)時(shí)間一般取近似表達(dá)式；按 2%誤差(3.65)(3.63)按 5%誤差(3.66)從以上二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)可以看出，提高 ，可以提高系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，減小 和 。增大 ， 可以減弱系統(tǒng)的振蕩性能，降低最大超調(diào)量。例 1 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3.17 所示，求 K=1.62,T=0.5s 時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)表達(dá)式及動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) 及 。解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為上式中系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為sss（2%誤差）s（5%誤差）例 2 控制系統(tǒng)如圖 3.18 所示。要使該系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量為25%，峰值時(shí)間等于 2s, 系統(tǒng)中的 K和 T