灰色系統(tǒng)模型1

1、灰色系統(tǒng)模型灰色系統(tǒng)模型 研究一個(gè)系統(tǒng)，一般應(yīng)首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對系統(tǒng)的整體功能，協(xié)調(diào)功能以及系統(tǒng)各因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，因果關(guān)系進(jìn)行具體的量化研究。這種研究必須以定性分析為先導(dǎo)，定量與定性緊密結(jié)合。系統(tǒng)模型的建立，一般要經(jīng)過思想開發(fā)，因素分析，量化，動(dòng)態(tài)化，優(yōu)化五個(gè)步驟。即語言模型，網(wǎng)絡(luò)模型，量化模型，動(dòng)態(tài)模型，優(yōu)化模型。 在建模過程中，要不斷的將下一階段中所得的結(jié)果回饋，經(jīng)過多次循環(huán)往返，使整個(gè)模型逐步趨于完善。本節(jié)主要內(nèi)容 一、一、 GM(1,1)模型模型 二二、灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的精度檢驗(yàn)、灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的精度檢驗(yàn) 三、三、數(shù)列預(yù)測舉例數(shù)列預(yù)測舉例一、一、 GM(1,1)模型模

2、型 G表示grey（灰色），M表示model（模型），GM（1，1）表示1階的、1個(gè)變量的模型。 定義定義1.1設(shè) 原始數(shù)列 為 ，為 的一次累加生成數(shù)列，則稱為GM(1,1)模型的原始形式，其中 為待定參數(shù)。0000(1),( 2 ),()Xxxxn1111(1),( 2 ),()Xxxxn01( )( )xkaxkb, a b0Xnkixkki, 2 , 1, )(x101）（ 設(shè) 其中 則稱 為GM(1,1)模型的基本形式。0000(1),( 2 ),()Xxxxn1111(1),( 2 ),()Xxxxn1111( 2 ),(3 ),()Zzzzn01( )( )xkaz kbnkkx

3、kxkz, 3 , 2),1()(21)(111nkixkki,2 , 1, )(x101）（ 定理定理1.1 設(shè)有非負(fù)序列： 為 的1-AGO（即一次累加）序列： 其中 為 的緊鄰均 值生成序列： 其中 0000(1),(2 ),()Xxxxn1111(1),( 2 ),()Xxxxn101( )( )1,2,kixkxikn；1Z1X1111( 2 ),(3 ),()Zzzzn1X0Xnkkxkxkz, 3 , 2),1()(21)(111 若 為參數(shù)列， 且 則GM(1,1)模型 的最小二乘估 計(jì)參數(shù)列滿足 , Taa b010101(2)(2)1(3)(3)1,( )( )1xZxZY

4、Bx nZ n01( )( )x kaz kb1 , ()TTTaa bB BB Y參數(shù)計(jì)算公式為參數(shù)計(jì)算公式為,)()(112120nknkkzakxnbnknknknknkkznkzkzkxkzkxna2221212102120) )(11)()()()()(11 定義定義1.2設(shè) 為非負(fù)序列， 為 的1-AGO（即一次累加）序列， 為 的緊鄰均值生成序列，則稱微分方程 為（，）模型（灰色方程） 的白化方程，也叫影子方程。0X1X0X1Z1X11d xa xbd t01( )( )x kaz kb 定理定理.2設(shè) 如定理1.1中所述， 其中 ,則 . 白化方程 的解（也稱時(shí)間 響應(yīng)函數(shù)）為

5、 . GM(1,1)模型 的時(shí)間響應(yīng)序列為, ,B Y a1 , ()TTTaa bB BB Y11101()(1)d xa xbd txtx 11( )(1)atbbx txeaa01( )( )x kaz kb 10(1)(1)1,2,akbbx kxeknaa .還原值 0110(1)(1)( )11;1,2,aakxkx kx kbexekna二二、灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的精度檢驗(yàn)、灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的精度檢驗(yàn) 預(yù)測就是借助于過去的探討去推測、了解未來?；疑A(yù)測就是通過原始數(shù)據(jù)的處理和灰色模型的建立，發(fā)現(xiàn)、掌握系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律，對系統(tǒng)未來狀態(tài)做出科學(xué)定量預(yù)測。 定義2.1 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 相應(yīng)的預(yù)

6、測模型模擬序列: 殘差序列: 相對誤差序列:0000(1),( 2 ),()Xxxxn 00001 ,2 ,Xxxxn 00000000001 ,2 ,(1)1 ,(2)2 ,( )nxxxxxnxn 00000012,112knnxxxn 則 1.對于 ，稱， 為 點(diǎn)的模擬相 對誤差，稱 為平均相對誤差。 2.稱 為平均相對精度， 為 點(diǎn)的模擬精度。 3.給定 ，當(dāng) 成立時(shí)，稱模型為殘差合格模型 kn 00kkxkk11nkkn 11kn 且k 定義定義2.2 設(shè) 為原始序列， 為相應(yīng)的模擬序列， 為 與 的絕對關(guān)聯(lián)度，若對于給定的 ，有 ，則稱模型為關(guān)聯(lián)度合格模型。 定義定義2.3設(shè) 為原

7、始序列， 為相應(yīng)的模擬序列， 為 與 的殘差序列，則 分別為 的均值、方差； 分別為殘差的均值、方差。0X0X0X0X0000X0X00X0X 202011111,nnkkxxkSxkxnn0X 202021111,nnkkkSknn絕對關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式：絕對關(guān)聯(lián)度計(jì)算公式：)(,),2(),1 (0000nxxxX)(,),2(),1 (1111nxxxX，為始點(diǎn)零化的數(shù)列，, )(21)(12000ninxixs12111)(21)(ninxixs12010101)()(21)()(ninxixixixss0110100111ssssss和和 的絕對關(guān)聯(lián)度為的絕對關(guān)聯(lián)度為0X1X 1. 稱為

8、均方差比值，對于給定 的 ,當(dāng) 時(shí)，稱模型為均方差比合格模型。 2. 稱為小誤差概率，對 于給定的 ,當(dāng) ，稱模型為小誤差概率合格模型。21sCs00C 0CC 010.6745ppkS00p 0pp精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表00C0p 指標(biāo)精度等級(jí)相對誤差關(guān)聯(lián)度均方差比值小誤差概率一級(jí)0.010.900.350.95二級(jí)0.050.800.500.80三級(jí)0.100.700.650.70四級(jí)0.200.600.800.60三、三、數(shù)列預(yù)測舉例數(shù)列預(yù)測舉例 數(shù)列預(yù)測是對系統(tǒng)變量的未來行為進(jìn)行預(yù)測，灰色系統(tǒng)基本模型GM（1，1）是較常用的數(shù)列預(yù)測模型。根據(jù)實(shí)際情況，也可以考慮采用其他灰色模型，在定性分析

9、的基礎(chǔ)上，定義適當(dāng)?shù)乃阕?，對算子作用后的序列建立GM模型，通過精度檢驗(yàn)后，即可用于預(yù)測。 例1河南省長葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值（數(shù)據(jù)來源于長葛縣統(tǒng)計(jì)局）。 解 ：由統(tǒng)計(jì)資料查得產(chǎn)值序列為 引入二階弱化算子 ，令 其中 以及00000(1),(2),(3),(4)10155 12588 23480 35388Xxxxx，2D00000(1),( 2 ),( 3 ),( 4 )XDxdxdxdxd00001()()(1)(4);41xk dxkxkxk2222200000(1),(2 ),(3),(4 )XDxdxdxdxd 其中 于是 X的1-AGO序列為 設(shè) 按最小二乘法求得參數(shù)的 估計(jì)值為20000

10、1( )( )(1)(4) );41xk dxk dxkdxdk 20(27260,29547,32411,35388)1 ,2 ,3 ,4X DXxxxx127260,56807,89218,124606X 11d xa xbd t, a b0.089995,25790.28ab 得GM（1，1）模型白化方程 其時(shí)間響應(yīng)式為 得模擬序列110 . 0 8 9 9 9 52 5 7 9 0 . 2 8d xxd t 0.089995111131383428657411kxkex kxkxk 1 ,2 ,427260,29533,32337,35381Xxxx 殘差序列 相對誤差序列 平均相對誤

11、差 模擬誤差 ，精度為一級(jí)。00, 6,74,7 0000001,2,3412,120,0.0002,0.00228,0.0002,nxxxn 4110.000670.067%0.014kk 40.00020.01 計(jì)算 的灰色絕對關(guān)聯(lián)度 ： 從而 X與x 321141115022ksx kxxx 32114111430.52ksx kxxx 32111414171.52ks sx kxx kxxxxx 1 | |1 11502 11430.50.997 0.901 11502 11430.5 71.51 | | |ssssss 關(guān)聯(lián)度為一級(jí) 計(jì)算均方差比C 41242111131151.5,

12、4137252465,6103.484kkxxkSxkxS 41242221118.75,414154.75,64.464kkkSkS 所以 ,均方差比值為一級(jí)。 計(jì)算小誤差概率： 所以 ,小誤差概率 為一級(jí)，故可用2164.460.010.356103.48SCS 10.67454116.80118.75,224.75355.25,411.75S 10.674510.95ppkS 故可用 進(jìn)行預(yù)測。這里給出5個(gè)預(yù)測值 0.0899951011131383428657411kxkexkxkxk 5 ,6 ,938714,42359,46349,50712,55488Xxxx練習(xí) 某大型企業(yè)1997-2000年四年產(chǎn)值資料 試建立Gm(1,1)模型的白化方程及時(shí)間響應(yīng)式，并對Gm(1,1)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測該企業(yè)2001-2005年產(chǎn)值。年份199719981992000產(chǎn)值（萬元）27260295473241135388練習(xí)2某地區(qū)平均降雨量數(shù)據(jù)（單位：毫米）序列為 ，其中 分別為 年共17年的數(shù)據(jù)，取 毫米為下限異常值（即旱災(zāi)），試作旱災(zāi)預(yù)測，即下一次旱災(zāi)發(fā)生的年份。)17