人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：合情推理、演繹、直接間接證明

1、合情推理、演繹、直接間接證明知識(shí)講解一、合情推理與演繹推理1.推理 概念：根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)事實(shí)(或假設(shè))得出一個(gè)判斷，這種思維方式叫推理從結(jié)構(gòu)上說(shuō)，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫結(jié)論2.合情推理概念：根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出的推理叫合情理合情推理分類(lèi)：1）歸納推理：由某類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理2）類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象具有的某些已知特征

2、，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理3.演繹推理概念：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理三段論包括：1）大前提-已知的一般原理；2）小前提-所研究的特殊情況；3）結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷4.演繹法：概念：如果一般的命題是已經(jīng)證明了的，或者是未經(jīng)證明而作為真理用的，那么以這個(gè)一般命題推出的每一個(gè)特殊命題也就是正確的象這樣由一般到特殊的推理方法，通常稱(chēng)為演繹推理或者演繹法一般模式：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷二、直接證明與間接證

3、明1.綜合法概念：綜合法是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法2.分析法概念：分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過(guò)程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、公理、定理等）為止的證明方法3.反證法概念：假設(shè)原命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，由此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法；它是一種間接的證明方法證明的一般步驟：1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 2）根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止 ；3）斷

4、言假設(shè)不成立(4) 肯定原命題的結(jié)論成立三常見(jiàn)結(jié)論結(jié)論：關(guān)于空間問(wèn)題與平面問(wèn)題的類(lèi)比，通?？勺プ缀我氐娜缦聦?duì)應(yīng)關(guān)系作對(duì)比： 多面體 多邊形； 面 邊； 體 積 面 積 ； 二面角 平面角； 面 積線段長(zhǎng)； 典型例題一選擇題（共10小題）1廟會(huì)是我國(guó)古老的傳統(tǒng)民俗文化活動(dòng)，又稱(chēng)“廟市”或“節(jié)場(chǎng)”廟會(huì)大多在春節(jié)、元宵節(jié)等節(jié)日舉行廟會(huì)上有豐富多彩的文化娛樂(lè)活動(dòng)，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一顆金蛋，如果有獎(jiǎng)品，則“中獎(jiǎng)”）今年春節(jié)期間，某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)相約來(lái)到某廟會(huì)，每人均獲得砸一顆金蛋的機(jī)會(huì)游戲開(kāi)始前，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對(duì)游戲中獎(jiǎng)結(jié)果進(jìn)行了預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果如下：甲說(shuō)：“我或乙能中獎(jiǎng)

5、”；乙說(shuō)：“丁能中獎(jiǎng)”；丙說(shuō)：“我或乙能中獎(jiǎng)”；丁說(shuō)：“甲不能中獎(jiǎng)”游戲結(jié)束后，這四位同學(xué)中只有一位同學(xué)中獎(jiǎng)，且只有一位同學(xué)的預(yù)測(cè)結(jié)果是正確的，則中獎(jiǎng)的同學(xué)是（）a甲b乙c丙d丁【解答】解：由四人的預(yù)測(cè)可得下表：中獎(jiǎng)人預(yù)測(cè)結(jié)果甲乙丙丁甲乙丙丁1）若甲中獎(jiǎng)，僅有甲預(yù)測(cè)正確，符合題意2）若乙中獎(jiǎng)，甲、丙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意3）若丙中獎(jiǎng)，丙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意4）若丁中獎(jiǎng)，乙、丁預(yù)測(cè)正確，不符合題意故只有當(dāng)甲中獎(jiǎng)時(shí)，僅有甲一人預(yù)測(cè)正確故選：a2觀察一列數(shù)：1，2，1，3，4，7，11，以此規(guī)律，第10個(gè)數(shù)是（）a27b29c45d47【解答】解：一列數(shù)：1，2，1，3，4，7，11，可得從第

6、三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的差所得，第8個(gè)數(shù)為18，第9個(gè)數(shù)為29，第10個(gè)數(shù)為47故選：d3“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法，干支是天干和地支的總稱(chēng)把干支順序相配正好六十為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱(chēng)的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)叫地支，如：公元1 984年農(nóng)歷為甲子年，公元1 985年農(nóng)歷為乙丑年，公元1 986年農(nóng)歷為丙寅年，則公元2032年農(nóng)歷為（）a乙丑年b丙寅年c辛亥年d壬子年【解答】解：從1984開(kāi)始算起，公元2031年為第49個(gè)數(shù)，天干表10個(gè)為一個(gè)周期

7、，地支表12個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，則公元2032年對(duì)應(yīng)的天干為任，地支為子，故應(yīng)為壬子年，故選：d4為了提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息設(shè)原信息為a1a2a3，傳輸信息為h1a1a2a3h2，其中h1=a1a2，h2=h1a3，運(yùn)算規(guī)則為：00=0，01=1，10=1，11=0例如：原信息為111，則傳輸信息為01111傳輸信息在傳輸過(guò)程中受到干擾可能導(dǎo)致接收信息出錯(cuò)，則下列接收信息出錯(cuò)的是（）a01100b11010c10110d11000【解答】解：a.01100；知原信息a1a2a3=110，則h1=a1a2=11=0，h2=h1a3=00=0，傳

8、輸后信息應(yīng)為01100故a是對(duì)的b.11010；知原信息a1a2a3=101，則h1=a1a2=10=1，h2=h1a3=11=0，傳輸后信息應(yīng)為11010，故b是對(duì)的c.10110；知原信息a1a2a3=011，則h1=a1a2=01=1，h2=h1a3=11=0，傳輸后的信息為10110，故c是對(duì)的d.11000；知原信息a1a2a3=100，則h1=a1a2=10=1，h2=h1a3=10=1，傳輸后的信息為11001，故d是錯(cuò)誤的故選：d5甲、乙、丙三人各買(mǎi)了一輛不同品牌的新汽車(chē)，汽車(chē)的品牌為奇瑞、傳祺、吉利甲、乙、丙讓丁猜他們?nèi)烁髻I(mǎi)的什么品牌的車(chē)，丁說(shuō)：“甲買(mǎi)的是奇瑞，乙買(mǎi)的不是奇

9、瑞，丙買(mǎi)的不是吉利”若丁的猜測(cè)只對(duì)了一個(gè)，則甲、乙所買(mǎi)汽車(chē)的品牌分別是（）a吉利，奇瑞b吉利，傳祺c奇瑞，吉利d奇瑞，傳祺【解答】解：因?yàn)槎〉牟聹y(cè)只對(duì)了一個(gè)，所以甲買(mǎi)的是奇瑞，乙買(mǎi)的不是奇瑞這兩個(gè)都是錯(cuò)誤的，否則甲買(mǎi)的不是奇瑞，乙買(mǎi)的不是奇瑞或者甲買(mǎi)的是奇瑞，乙買(mǎi)的是奇瑞是正確的，這與三人各買(mǎi)了一輛不同的品牌矛盾，丙買(mǎi)的不是吉利”是正確的，所以乙買(mǎi)的是奇瑞，甲買(mǎi)的是吉利，故選：a6正方形abcd的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)e在邊ab上，點(diǎn)f在邊bc上，ae=12，bf=14動(dòng)點(diǎn)p從e出發(fā)沿直線向f運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)點(diǎn)p第一次碰到e時(shí)，p與正方形的邊碰撞的次數(shù)為（）a3

10、b4c6d8【解答】解：根據(jù)已知中的點(diǎn)e，f的位置，可知入射角的正切值為12，第一次碰撞點(diǎn)為f，在反射的過(guò)程中，直線是平行的，利用平行關(guān)系及三角形的相似可得第二次碰撞點(diǎn)為g，g在da上，且dg=14，第三次碰撞點(diǎn)為h，h在dc上，且dh=12，第四次碰撞點(diǎn)為m，m在cb上，且cm=14，第五次碰撞點(diǎn)為n，n在da上，且an=14，第六次回到e點(diǎn)，ae=12故需要碰撞6次即可故選：c7分析法又稱(chēng)執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設(shè)abc，且a+b+c=0”，求證b2-ac3a”索的因應(yīng)是（）aab0bac0c（ab）（ac）0d（ab）（ac）0【解答】解：由abc，且a+b+c=0可得 b=ac，

11、a0，c0要證b2-ac3a，只要證 （ac）2ac3a2，即證 a2ac+a2c20，即證a（ac）+（a+c）（ac）0，即證 a（ac）b（ac）0，即證（ac）（ab）0故求證“b2-ac3a”索的因應(yīng)是 （ac）（ab）0，故選：c8要證明8-510-7，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（）a綜合法b分析法c比較法d歸納法【解答】解：（1）要證85107，只要證8+710+5，即證（8+7）2（10+5）2，即證15+25615+250即證5650，即證5650，顯然成立，故85107，故選：b9德國(guó)數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個(gè)著名的猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n，如果n是偶數(shù)，就

12、將它減半（即n2）；如果n是奇數(shù)，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過(guò)有限步后，一定可以得到1對(duì)于科拉茨猜想，目前誰(shuí)也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請(qǐng)你研究：如果對(duì)正整數(shù)n（首項(xiàng)）按照上述規(guī)則施行變換后的第8項(xiàng)為1（注：1可以多次出現(xiàn)），則n的所有不同值的個(gè)數(shù)為（）a4b6c32d128【解答】解：如果正整數(shù)n按照上述規(guī)則施行變換后的第八項(xiàng)為1，則變換中的第7項(xiàng)一定是2，變換中的第6項(xiàng)一定是4；變換中的第5項(xiàng)可能是1，也可能是8；變換中的第4項(xiàng)可能是2，也可是16，變換中的第4項(xiàng)是2時(shí)，變換中的第3項(xiàng)是4，變換中的第2項(xiàng)是1或8，變換中的第1項(xiàng)是2或16變換中的第4項(xiàng)是16時(shí)，變

13、換中的第3項(xiàng)是32或5，變換中的第2項(xiàng)是64或108，變換中的第1項(xiàng)是128，21或20，3則n的所有可能的取值為2，3，16，20，21，128共6個(gè)，故選：b10若abc，則使1a-b+1b-cka-c恒成立的最大的正整數(shù)k為（）a2b3c4d5【解答】解：abc，ab0，bc0，ac0，且ac=ab+bc又a-ca-b+a-cb-c=a-b+b-ca-b+a-b+b-cb-c=2+b-ca-b+a-bb-c2+2=4，ka-ca-b+a-cb-c，k4，故k的最大整數(shù)為4，故選：c二解答題（共3小題）11設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：bca+cab+abca+b+c【解答】證明：2（bca

14、+acb+abc）=（bca+acb）+（bca+abc）+（acb+abc）2abc2ab+2acb2ac+2bca2bc=2c+2b+2a，bca+acb+abca+b+c當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立12設(shè)非等腰abc的內(nèi)角a、b、c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c，且a、b、c成等差數(shù)列，用分析法證明：1a-b+1c-b=3a-b+c【解答】證明：要證明：1a-b+1c-b=3a-b+c，只要證明a+c-2b(a-b)(c-b)=3a-b+c，只要證明（a+c2b）（ab+c）=3（ab）（cb），只要證明（a+cb）2b（a+cb）=3（ac+b2bcab），只要證明b2=a2+c2ac，只要證明cosb=a2+c2-b22ac=12，只要證明b=60°，只要證