平面向量奔馳定理與三角形四心(1)

1、平面向量奔馳定理與三角形四心文檔副標(biāo)題曰期MICROSOFT公司地址平面向量奔馳定理與三角形四心已知O是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，BOC,AOC,AO3的面積分別為S, Sc,求證:ISA OA + OB + SC OC = 0如圖2延長OA與BC邊相交于點(diǎn)D則BDDCC _ CACD ACODSBOCSB +Sf.OD OAJBODSQCODCOAC + QBOD T QIODLJliOA T COASB + SC：.OD =OAs+scSASB十 SCOA =SBB + -S B + ScS B 七 ScOC/. S、OA + S OB + SC OC = 0推論：o是abc內(nèi)的一點(diǎn)，且x4+y+

2、zc=o,則S'Bg : Sg:Xy:Z有此上理可得三角形四心向量式L 0是ABC的重心OOC : ACOASSAOB 1<>OA + OB+ OC=O2、0是ABC的內(nèi)心O Soc ： SSCOA ：SOB = a:b:c<>aOA + bOB + cOC = 03、0是MBC的外心O SsBOC: coa : SsAOB = Sin 2A: Sirl 2B: Sin 2C<=>sin 2A + sin 2BB + sin 2COC = O4、0是ABC的垂心O SSBOC: ScoA: SAAOB = tan A: tan B AanCu>

3、 tan A X+ tan B S +tan C = 0CDCD證明：如圖0為三角形的垂心，tan A = AanB = -=> tan AitanB = DB: AD ADDBABOC' Scoa = DB: ADSBOC : SCOA=tan A: tan B同理得 SSCOA : SMoB = tn B: tan C, SBOC: SMoB = tan A: tan C:S 乂OA :=tan A: tan B: tanC奔馳左理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一三角形“四心”的相關(guān)向量問題四心的概念介紹：(1) 重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2： 1：(2) 垂心：髙線的

4、交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直；(3) 內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等：(4) 外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。 與“重心”有關(guān)的向量問題1. 已知G是/XABC所在平面上的一點(diǎn)，若GA + GB + GC = O,則G是ZXABC的().A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心2. 已知O是平面上一定點(diǎn)，A B, C是平而上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP = OA+ (AB +AC) 9 e( + ),則 P 的軌跡一建通過 ZA3C 的().A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心3 .O是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足

5、OP=OX+ (ABIABlSLnBACIAClSinC( (0, +),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過AABC的()A內(nèi)心 B.重心 C.外心 D.垂心 與“垂心”有關(guān)的向量問題4 P是ZXABC所在平而上一點(diǎn)，若7¼. = 7¾ PC = PC 7¾,則P是AABC的()A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心5已知O是平而上一定點(diǎn)，A B, C是平而上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP = OA+ ACIABlCOSBIAqCOSC 丿/I E (0, + S),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一立通過ZXABC的().A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心6 若 H 為 AABC 所在平

6、面內(nèi)一點(diǎn)，且 hA + BC2 = HB + CA2 = Hc AB則點(diǎn)H是ZXABC的()A-重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心 與“內(nèi)心”有關(guān)的向量問題7已知O是平面上一總點(diǎn)，A B, C是平而上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP= OA + 蘭+竺H MJ,（O,+<z>）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一泄通過ZiABC的（)A重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心8若 O 在 ZkABC 所 在 的 平 面 內(nèi)： 耳（r-71）=OC （卡與一r）=0,則 O 是AABCIACllABlIBellBAJICAl ICB |的（）A.垂心 B.重心 C.內(nèi)心 D.外心 與“外心”有關(guān)的向量問題9.已知O是443C所在平面上一點(diǎn)，若OA2' = OB- = OC-,則0是厶ABC的（）.A.重點(diǎn) B.外心 C.內(nèi)心 D.垂心10已知O是平面上的一定點(diǎn)，A B, C是