江西程峰《當(dāng)點(diǎn)在直角梯形上運(yùn)動》修改稿

1、當(dāng)點(diǎn)在直角梯形上運(yùn)動江西省彭澤縣楊梓中學(xué)（332713 ） 程峰筆者發(fā)現(xiàn)2010 年中考數(shù)學(xué)試卷中多次出現(xiàn)以直角梯形為背景的問題，而雙動點(diǎn)在梯形上運(yùn)動使這類問題成為亮點(diǎn)，下面筆者采擷幾道試卷加以解讀，從中體會這類試卷的特點(diǎn)。1 雙動點(diǎn)牽出等邊三角形例 1 如圖 1，在梯形 ABCD中， AD BC， B90°， BC6， AD 3， DCB30° . 點(diǎn) E、F同時從 B 點(diǎn)出發(fā)，沿射線 BC向右勻速移動 . 已知 F 點(diǎn)移動速度是E 點(diǎn)移動速度的 2 倍，以EF為一邊在的上方作等邊設(shè) E 點(diǎn)移動距離為x（ x 0） .CBEFG（ 1 ） EFG的邊長是 _（用含有 x

2、的代數(shù)式表示），當(dāng)x 2 時，點(diǎn)G 的位置在_；（ 2）若 EFG與 梯形 ABCD重疊部分面積是 y，求當(dāng) 0 x 2 時 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng) 2 x 6 時， y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；探求中得到的函數(shù)y 在 x 取含何值時，存在最大值，并求出最大值.ADGBEFC圖 1分析 (1) 由題意可知EF 的長為 E 點(diǎn)移動距離為x, 由此可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)x 2 時，點(diǎn) G的位置在 D 點(diǎn)。 (2) 當(dāng) 0 x2時， EFG在梯形 ABCD內(nèi)部 , 重疊部分為 EFG。當(dāng) 2 x3 時，如圖2，點(diǎn) E、點(diǎn) F 在線段 BC上， EFG與梯形 ABCD重疊部分為四邊形EFNM。當(dāng) 3x

3、6時，如圖3，點(diǎn) E 在線段 BC上，點(diǎn) F 在射線 CH上 , 與梯形 ABCD重疊部分為EFGECP。 (3) 在三個取值范圍內(nèi), 分別求出其最大值 , 再進(jìn)行比較 , 確定出最大值 .解 x ， D點(diǎn)；當(dāng) 0x2時，在梯形 ABCD內(nèi)部，所以y3 x2；EFG4分兩種情況： . 當(dāng) 2 x 3 時，如圖 2，點(diǎn) E、點(diǎn) F 在線段 BC上， EFG與 梯形 ABCD重疊部分為四邊形 EFNM，因?yàn)?FNC FCN30° , 所以 FN FC 6 2x. 所以 GN3x 6.1 / 7由于在 Rt NMG中， G 60°，所以，此時3 x23x 6） 27 329 39

4、3y8（3xx.4822 . 當(dāng) 3x6 時，如圖 3，點(diǎn) E 在線段 BC上，點(diǎn) F 在射線 CH上，EFG與梯形 ABCD重疊部分為 ECP，因?yàn)?EC 6 x,所以 y 3 （6 x） 23 x23 3 x9 3 .8822當(dāng) 0 x2 時，因?yàn)?y3 x2 在 x 0 時， y 隨 x 增大而增大，4所以 x 2 時， y 最大 3 ；當(dāng) 2 x 3 時，因?yàn)?y73x293x9 3 在 x 18 時， y 最大 93 ；82277當(dāng) 3x6 時，因?yàn)?y3x233x93 在 x 6 時， y 隨 x 增大而減小，822所以 x 3 時， y 最大 9 3 .8綜上所述：當(dāng) x 18

5、時， y 最大 93 .77GADMNBEFC圖 2GADPBECFH圖 3點(diǎn)評 本題主要考查圖形的平移、多邊形面積的計算、二次函數(shù)等知識, 同時考查函數(shù)、分類討論等數(shù)學(xué)思想和運(yùn)動的觀念 , 以及綜合運(yùn)用知識解決問題的能力 . 具有明顯的區(qū)分度 . 具有很強(qiáng)的選拔功能2 / 72 雙動點(diǎn)牽出等腰三角形例 2 如圖 4，已知直角梯形 ABCD中， AD BC， AB BC ， AD 2， AB 8， CD 10(1) 求梯形 ABCD的周長；(2) 動點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā)，以1cm/s 的速度沿B A DC 方向向點(diǎn)C 運(yùn)動；動點(diǎn)Q 從點(diǎn) C 出發(fā)，以 1cm/s 的速度沿C DA 方向向點(diǎn)A

6、 運(yùn)動；過點(diǎn)Q作 QF BC于點(diǎn) F若 P、 Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時整個運(yùn)動隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動時間為t 秒問：當(dāng)點(diǎn) P 在 B A 上運(yùn)動時，是否存在這樣的t ，使得直線PQ將梯形 ABCD的周長平分？若存在，請求出t 的值；若不存在，請說明理由.在運(yùn)動過程中，是否存在這樣的t ，使得以P、 D、 Q 為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的t 的值；若不存在，請說明理由圖 4分析 (1) 容易想到作直角梯形底邊上的高,應(yīng)用勾股定理間接計算底邊BC 長從而得到梯形周長。 (2)兩點(diǎn)運(yùn)動t 秒,BP=CQ=t, 得方程 t+t+8= 梯形周長的一半,

7、 計算出 t 值。分點(diǎn) P 在 AB,AD,DC上三種情況分別討論.解（1）梯形 ABCD的周長 = 28提示：如圖5 過點(diǎn) D 作 DE BC于點(diǎn) E（ 2） 當(dāng) t=3 時， PQ平分梯形ABCD的周長 .（過程略）（ i ）當(dāng) 0 t 8 時，過點(diǎn)Q作 QG AB于點(diǎn) G AP=8-t ， DQ=10-t ， AD=2， sinC= 4 ， cosC= 355 CF=3 t， QF=4 tt4 t1t， QG=8-3 t55，PG=5=55PD 2AP2AD 2 =（ 8-t）2+22=t 2 +16t+68 ，2223t）21t）2=2t24864PQ=QG+PG=（ 8-5+（55t

8、5若 DQ=PD，則（ 10-t ） 2= t2+16t+68 ，解得： t=8 ；圖 5若 DQ=PQ，則（ 10-t ） 2= 2t 248t64 ，55解得： t 1= 262 34，t 2=26234 8（舍去），此時t= 26 2 34 ；333（ ii ）當(dāng) 8 t 10 時， PD=DQ=10-t，此時以 DQ為一腰的等腰 DPQ恒成立；而當(dāng) t=10 時，點(diǎn) P、 D、Q三點(diǎn)重合，無法構(gòu)成三角形；（ iii ）當(dāng) 10t 12 時， PD=DQ= t-10 ，3 / 7此時以DQ為一腰的等腰 DPQ恒成立；點(diǎn)評 試卷以動點(diǎn)作為命題的出發(fā)點(diǎn),題目呈開放式.由于設(shè)置了雙動點(diǎn),加大了

9、試卷的復(fù)雜性,對學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)的力度也相應(yīng)提高 .解決此類問題關(guān)鍵要有聯(lián)系、遷移、發(fā)散的動態(tài)觀念，整體地分析，把握題中的條件，并能進(jìn)行合理地聯(lián)想、歸納、小結(jié)，能在動中尋找不變的結(jié)論，做到“不變應(yīng)萬變”，使問題在原有的知識基礎(chǔ)上得到解決.3 雙動點(diǎn)牽出定角例 3 如圖，直角梯形OABC 的直角頂點(diǎn) O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，邊 OA ， OC 分別在 x 軸、 y 軸的正半軸上， OA BC ，D 是 BC 上一點(diǎn)， BD= 1OA=2 ， AB=3 ， OAB=45 °， E、 F4分別是線段OA 、 AB上的兩動點(diǎn)，且始終保持DEF=45 °（ 1）直接寫出 D 點(diǎn)的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)

10、 OE=x， AF=y ，試確定 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系；（ 3）當(dāng) AEF 是等腰三角形時，將 AEF 沿 EF 折疊，得到 A EF ，求 A EF 與五邊形 OEFBC 重疊部分的面積圖 6解讀 (1)分別過點(diǎn)B、 D 作 B OA 于 G， DM OA 于 M ，又因?yàn)镺A BC，所以四邊形是矩形，所以，2 在 Rt 中，sin 450323 2，22所以2 232 32 ，22332 ) 所以 D 點(diǎn)的坐標(biāo)是 (2,22（）連結(jié)，易證BAO=45°，所以梯形DOAB是等腰梯形，所以 OD=AB=3再證 ODE AEF，從而對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，得到關(guān)于、的關(guān)系式（）當(dāng) AE

11、F為等腰三角形時，因?yàn)槟臈l邊做底不確定，所以要分情況討論。存在EF=AF或 EF=AE或 AF=AE共 3 種情況 . 根據(jù)不同情況畫出相應(yīng)的圖形，進(jìn)行計算解：（ 1） D 點(diǎn)的坐標(biāo)是33( 2,2 ) .22（ 2） y 與 x 的解讀式為： y1 x 2 42 x334 / 7（ 3）當(dāng) AEF為等腰三角形時，存在 EF=AF或 EF=AE或 AF=AE共 3 種情況 .當(dāng) EF=AF時，如圖7（ 1） . FAE=FEA= DEF=45° ,所以 AEF為等腰直角三角形.D 在 A E上（ A E OA） ,B 在 A F 上（ A F EF）所以 A EF 與五邊形OEFBC

12、重疊的面積為四邊形EFBD的面積 .圖 7（1）因?yàn)?AEOAOE OACD4 2325222所以 AFAEsin 45 05225，S AEF1 EFAF1(5)2252222228所以 S梯形 AEDB1 (BDAE)DE1( 252)322122224所以 S四邊形 BDEFS梯形 AEDB-S AEF21- 2517 （也可用 S陰影S A'EF - S A'BD ）488圖 7（2）當(dāng) EF=AE時，如圖7（ 2），此時 A EF 與五邊形OEFBC重疊部分面積為A EF 面積 . DEF= EFA=45°， DE AB ， 又 DB EA所以四邊形DEAB

13、是平行四邊形，所以AE=DB= 2所以 S A'EFS AEF1AE EF2S A/EF1( 2)212圖 7（3）當(dāng) AF=AE時，如圖7（ 3），四邊形AEA F 為菱形且 A EF 在五邊形OEFBC內(nèi) .所以此時 A EF 與五邊形OEFBC重疊部分面積為A EF 面積 .由（ 2）知 ODE AEF, 則 OD=OE=3，所以 AE=AF=OA-OE=4 23232過 F 作 FH AE于 H,則 FHAF sin 454 2 34225 / 7所以 S A'EF S AEF1AE FH14 2-34-3 2412 -482224綜上所述， A EF與五邊形 OEFB

14、C重疊部分的面積為17或 1或412-4884。點(diǎn)評 本題是代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的綜合題.綜合了二次函數(shù)、坐標(biāo)，平行四邊形、矩形、菱形、相似三角形、等腰梯形、軸對稱圖形等知識；考查分析問題、解決問題的數(shù)學(xué)能力，對數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想的思想、分類的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行了考查 .解題時，必須考慮到各種情況，進(jìn)行分類解讀，解題時稍有不慎就會誤入歧途.4 雙動點(diǎn)牽出平行線例4如圖，直角梯形ABCD中，ABDC，DAB90， AD2DC4，AB6 動點(diǎn) M 以每秒 1 個單位長的速度，從點(diǎn)A 沿線段 AB 向點(diǎn) B 運(yùn)動；同時點(diǎn)P 以相同的速度，從點(diǎn)C 沿折線C-D - A 向點(diǎn)A 運(yùn)動

15、當(dāng)點(diǎn)M 到達(dá)點(diǎn)B 時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動過點(diǎn)M 作直線 l AD，與線段CD 的交點(diǎn)為E，與折線A-C-B 的交點(diǎn)為Q點(diǎn) M 運(yùn)動的時間為t（秒）（1）當(dāng) t0.5 時，求線段 QM 的長；（ 2）當(dāng) 0 t 2 時，如果以C、P、Q 為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，求t 的值；（ 3）當(dāng) t 2 時，連接 PQ 交線段 AC 于點(diǎn) R請?zhí)骄?CQ 是否為定值，若是，試求這RQ個定值；若不是，請說明理由EP CDQAlMB圖 8分析 （ 1）當(dāng) t 0.5 時， AM0.5 ，要求線段 QM 的長，可過點(diǎn)C作CFAB 于 F，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)來求；（2）當(dāng)0 t 2 時，以 C、

16、P、Q 為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形要分CPQ90 、 PQC90兩種情況討論；（ 3）當(dāng) t 2 時，畫出圖形，觀察、分析線段CQ、 RQ 與已知線段有沒有關(guān)系，是否存在相似三角形解（ 1） QM=1( 提示：過點(diǎn)C 作 CFAB 于 F)（ 2）因?yàn)镈CA 為銳角，故有兩種情況：當(dāng)CPQ90 時，點(diǎn) P 與點(diǎn) E 重合此時 DECPCD ，即 tt2 ，所以 t1當(dāng)PQC90 時，如圖 8（ 1），lDPECQAMB圖 8（1）此時 Rt PEQ RtQMA ，所以 EQMA 由（ 1）知， EQEMQM42t ，PEQM而 PEPCCE PC(DC DE)t (2t )2t2 ，DC所以

17、42t1 所以 t5綜上所述， t1或5 5PRQ2t22333AFMB圖 8（2）6 / 7（ 3） CQ 為定值RQ當(dāng) 2時，如圖8（ 2），PADADPt4( 2)6 t 由（ 1）得， BFABAF4所以 CFBF 所以CBF45所以 QMMB6 t 所 以 QMPA所以四邊形AMQP為矩形所以PQ AB所以 CRQ CAB所以CQBCCF 2BF 24 222RQABAB63點(diǎn)評 此題是一道動態(tài)幾何問題，考查了相似三角形的判定、矩形的判定、梯形的常用輔助線等知識點(diǎn)，體現(xiàn)了分類討論的思想，第（1）問是“靜態(tài)”問題，要認(rèn)真冷靜，后兩問是“動態(tài)”問題，要分類討論小結(jié) 以上幾例融幾何，代數(shù)知識與一體，數(shù)形結(jié)合，動靜結(jié)合，較好地考查了學(xué)生分類討論，數(shù)形