高中物理必修二《萬有引力與航天》知識提綱

1、word 第 1 頁 共 8 頁第六章萬有引力與航天知識提綱一、知識網(wǎng)絡(luò)托勒密：地心說人類對行哥白尼：日心說星運(yùn)動規(guī)開普勒第一定律軌道定律行星第二定律面積定律律的認(rèn)識第三定律周期定律運(yùn)動定律萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的內(nèi)容萬有引力定律 FG221rmm引力常數(shù)的測定萬有引力定律稱量地球質(zhì)量M GgR2萬有引力的理論成就 M2324GTr與航天計算天體質(zhì)量 rR,M=2324GTR M=GgR2人造地球衛(wèi)星 M=2324GTr宇宙航行 G2rMm= mrv2 mr2 ma word 第 2 頁 共 8 頁二、重點(diǎn)內(nèi)容講解1、計算重力加速度1在地球外表附近的重力加速度，在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，

2、可用萬有引力定律來計算。F引=G2RM=6.67*1110*2324)10*6730(10*98.5=9.8(m/2s2s。這一結(jié)果明確，在重力作用下，物體加速度大小與物體質(zhì)量無關(guān)。2即算地球上空距地面h 處的重力加速度g 。有萬有引力定律可得：g2)(hRGM又 g2RGM，gg22)(hRR， g2)(hRRg 3計算任意天體外表的重力加速度g 。有萬有引力定律得：g2RGMM 為星球質(zhì)量，R衛(wèi)星球的半徑 ，又 g2RGM，gg2)(RRMM?。注意：在地球外表物體受到地球施與的萬有引力與其重力是合力與分力的關(guān)系，萬有引力的另一個分量給物體提供其與地球一起自轉(zhuǎn)所需要的向心力。由于這個向心力

3、很少，我們可以忽略，所以在地球外表的物體F引=G 2、天體運(yùn)行的根本公式在宇宙空間， 行星和衛(wèi)星運(yùn)行所需的向心力，均來自于中心天體的萬有引力。因此萬有引力即為行星或衛(wèi)星作圓周運(yùn)動的向心力。因此可的以下幾個根本公式。1向心力的六個根本公式，設(shè)中心天體的質(zhì)量為M ，行星或衛(wèi)星的圓軌道半徑為r ，如此向心力可以表示為：F引=F向，nFG2rMmma mrv2=mr2=mr2)2(T=mr2)2(f=mv。2五個比例關(guān)系： r 為行星的軌道半徑向心力：nFG2rMm，F(xiàn)21r；向心加速度：a=G2rM, a21r； G2rMmmrv2；得 vrGM，vr1；G2rMm m r2；得3rGM，31r；G

4、2rMm mr2)2(T；得 T 2GMr3，T3r；3v 與的關(guān)系。在r 一定時， v=r,v ; 在 r 變化時，如衛(wèi)星繞一螺旋軌道遠(yuǎn)離或word 第 3 頁 共 8 頁靠近中心天體時，r 不斷變化， v、也隨之變化。 根據(jù)，vr1和31r，這時 v 與為非線性關(guān)系，而不是正比關(guān)系。3、引力常量的意義根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律可得：G2rMmmr2)2(TkGMTr2234.這實際上是開普勒第三定律。它明確kTr23是一個與行星無關(guān)的物理量，它僅僅取決于中心天體的質(zhì)量。 在實際做題時， 它具有重要的物理意義和廣泛的應(yīng)用。它同樣適用于人造衛(wèi)星的運(yùn)動，在處理人造衛(wèi)星問題時，只要圍繞同一星球

5、運(yùn)轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，均可使用該公式。4、估算中心天體的質(zhì)量和密度1中心天體的質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和向心力表達(dá)式可得：G2rMmmr2)2(T，M 2324GTr2中心天體的密度方法一：中心天體的密度表達(dá)式VM，V343RR 為中心天體的半徑 ，根據(jù)前面 M 的表達(dá)式可得：3233RGTr。當(dāng)r R 即行星或衛(wèi)星沿中心天體外表運(yùn)行時，23GT。此時外表只要用一個計時工具，測出行星或衛(wèi)星繞中心天體外表附近運(yùn)行一周的時間，周期T，就可簡捷的估算出中心天體的平均密度。方法二：由g=2RGM,M=GgR2進(jìn)展估算，VM，RGg435、穩(wěn)定運(yùn)行與變軌運(yùn)行1穩(wěn)定運(yùn)行：某天體 m圍繞某中心天體M穩(wěn)定做圓周運(yùn)動時，始

6、終滿足F引=F向，即：22GMmmvrr所以 vrGM，故 r 越大時， v 越??； r 越小時， v 越大；2變軌運(yùn)行：某天體 m最初沿某軌道1 穩(wěn)定做圓周運(yùn)動滿足22GMmmvrr，由于某原因其v 變大，此時其所需要的向心力2nmvFr變大，萬有引力2GMmFr引不足以提供向心力時，m就做離心運(yùn)動， 運(yùn)動到較高軌道2 做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動，此時 v 比原軌道 1 處的 v ?。环粗?，假如在軌word 第 4 頁 共 8 頁道 1 處 v 突然變小時，將會到較低軌道3 穩(wěn)定運(yùn)行，此時v 比原軌道1 要大；三、?？寄Ｐ鸵?guī)律示例總結(jié)1. 對萬有引力定律的理解1萬有引力定律：自然界中任何兩個物體都是相

7、互吸引的，引力的大小跟這兩個物體的質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比，兩物體間引力的方向沿著二者的連線。2公式表示：F=221rmGm。3引力常量G：適用于任何兩物體。意義： 它在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是1kg 的物體 可看成質(zhì)點(diǎn) 相距 1m時的相互作用力。G的通常取值為G=6。 6710-11Nm2/kg2。 是英國物理學(xué)家卡文迪許用實驗測得。4適用條件：萬有引力定律只適用于質(zhì)點(diǎn)間引力大小的計算。當(dāng)兩物體間的距離遠(yuǎn)大于每個物體的尺寸時，物體可看成質(zhì)點(diǎn)，直接使用萬有引力定律計算。當(dāng)兩物體是質(zhì)量均勻分布的球體時，它們間的引力也可以直接用公式計算，但式中的r是指兩球心間的距離。當(dāng)所研究物體不

8、能看成質(zhì)點(diǎn)時，可以把物體假想分割成無數(shù)個質(zhì)點(diǎn)，求出兩個物體上每個質(zhì)點(diǎn)與另一物體上所有質(zhì)點(diǎn)的萬有引力，然后求合力。此方法僅給學(xué)生提供一種思路5萬有引力具有以下三個特性：普遍性： 萬有引力是普遍存在于宇宙中的任何有質(zhì)量的物體大到天體小到微觀粒子間的相互吸引力，它是自然界的物體間的根本相互作用之一。相互性：兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，符合牛頓第三定律。宏觀性： 通常情況下， 萬有引力非常小，只在質(zhì)量巨大的天體間或天體與物體間它的存在才有宏觀的物理意義，在微觀世界中， 粒子的質(zhì)量都非常小，粒子間的萬有引力可以忽略不計。例 1設(shè)地球的質(zhì)量為M ，地球的半徑為R ，物體的質(zhì)量為m ，關(guān)于

9、物體與地球間的萬有引力的說法，正確的答案是：A、地球?qū)ξ矬w的引力大于物體對地球的引力。A、 物體距地面的高度為h 時，物體與地球間的萬有引力為F=2hGMm。B、 物體放在地心處，因r=0 ，所受引力無窮大。D、物體離地面的高度為R時，如此引力為F=24RGMm答案 D 總結(jié) 1矯揉造作配地球之間的吸引是相互的，由牛頓第三定律，物體對地球與地球?qū)ξ矬w的引力大小相等。2F= 221rmGm。中的 r 是兩相互作用的物體質(zhì)心間的距離，不能誤認(rèn)為是兩物體外表間的距離。3F= 221rmGm適用于兩個質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，如果把物體放在地心處，顯然地球已不能word 第 5 頁 共 8 頁看為質(zhì)點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)選

10、項C的推理是錯誤的。變式訓(xùn)練1對于萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式F=221rmGm，如下說法正確的答案是：A、公式中G為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的。B、r 趨近于零時，萬有引力趨于無窮大。C、m1、m2之間的引力總是大小相等，與m1、m2的質(zhì)量是否相等無關(guān)。D、m1、m2之間的萬有引力總是大小相等，方向相反，是一對平衡力。答案 C 2. 計算中心天體的質(zhì)量解決天體運(yùn)動問題，通常把一個天體繞另一個天體的運(yùn)動看作勻速圓周運(yùn)動，處在圓心的天體稱作中心天體，繞中心天體運(yùn)動的天體稱作運(yùn)動天體，運(yùn)動天體做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由中心天體對運(yùn)動天體的萬有引力來提供。maTmrmrrmvrGMm2222)2(式中 M

11、為中心天體的質(zhì)量,Sm為運(yùn)動天體的質(zhì)量 ,a 為運(yùn)動天體的向心加速度, 為運(yùn)動天體的角速度,T 為運(yùn)動天體的周期,r為運(yùn)動天體的軌道半徑 . (1) 天體質(zhì)量的估算通過測量天體或衛(wèi)星運(yùn)行的周期T 與軌道半徑r, 把天體或衛(wèi)星的運(yùn)動看作勻速圓周運(yùn)動. 根據(jù)萬有引力提供向心力, 有22)2(TmrrGMm, 得2324GTrM注意 : 用萬有引力定律計算求得的質(zhì)量M 是位于圓心的天體質(zhì)量( 一般是質(zhì)量相對較大的天體 ), 而不是繞它做圓周運(yùn)動的行星或衛(wèi)星的m,二者不能混淆. 用上述方法求得了天體的質(zhì)量M 后 , 如果知道天體的半徑R, 利用天體的體積334RV, 進(jìn)而還可求得天體的密度.3233R

12、GTrVM如果衛(wèi)星在天體外表運(yùn)行, 如此r=R, 如此上式可簡化為23GT規(guī)律總結(jié) : 掌握測天體質(zhì)量的原理, 行星 ( 或衛(wèi)星 ) 繞天體做勻速圓周運(yùn)動的向心力是由萬有引力來提供的 . 物體在天體外表受到的重力也等于萬有引力. 注意挖掘題中的隱含條件:飛船靠近星球外表運(yùn)行, 運(yùn)行半徑等于星球半徑. (2) 行星運(yùn)行的速度、周期隨軌道半徑的變化規(guī)律研究行星或衛(wèi)星運(yùn)動的一般方法為：把行星或衛(wèi)星運(yùn)動當(dāng)做勻速圓周運(yùn)動，向心力來源于萬有引力，即：2222)2(TmrmrrmvrGMm根據(jù)問題的實際情況選用恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)展計算，必要時還須考慮物體在天體外表所受的萬有引力等于重力，即mgRGMm2word

13、第 6 頁 共 8 頁3利用萬有引力定律發(fā)現(xiàn)海王星和冥王星例 2 月球繞地球運(yùn)動周期T 和軌道半徑r ，地球半徑為R求 1地球的質(zhì)量？2地球的平均密度？思路分析（1）設(shè)月球質(zhì)量為m ，月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動，如此：22)2(TmrrGMm，2324GTrM2地球平均密度為3233334RGTrRM答案：2324GTrM；3233RGTr總結(jié) ：運(yùn)動天體周期T 和軌道半徑r ，利用萬有引力定律求中心天體的質(zhì)量。求中心天體的密度時，求體積應(yīng)用中心天體的半徑R來計算。變式訓(xùn)練2 人類發(fā)射的空間探測器進(jìn)入某行星的引力X圍后，繞該行星做勻速圓周運(yùn)動，該行星的半徑為R，探測器運(yùn)行軌道在其外表上空高為h

14、處，運(yùn)行周期為T。1該行星的質(zhì)量和平均密度？2探測器靠近行星外表飛行時，測得運(yùn)行周期為T1，如此行星平均密度為多少？答案： 1232)(4GThRM；323)(3RGThR2213GT3. 地球的同步衛(wèi)星通訊衛(wèi)星同步衛(wèi)星：相對地球靜止，跟地球自轉(zhuǎn)同步的衛(wèi)星叫做同步衛(wèi)星，周期T=24h，同步衛(wèi)星又叫做通訊衛(wèi)星。同步衛(wèi)星必定點(diǎn)于赤道正上方，且離地高度h，運(yùn)行速率v 是唯一確定的。設(shè)地球質(zhì)量為m，地球的半徑為6R=6.410 m，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，根據(jù)牛頓第二定律22m m2G=m R+hTR+h設(shè)地球外表的重力加速度2g=9.8m s，如此2Gm =R g以上兩式聯(lián)立解得：22622332276.4

15、 102436009.8R T gR+h=m443.14=4.210 m同步衛(wèi)星距離地面的高度為word 第 7 頁 共 8 頁767h= 4.2106.410m=3.5610 m同步衛(wèi)星的運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向一樣注意：赤道上隨地球做圓周運(yùn)動的物體與繞地球外表做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星的區(qū)別在有的問題中， 涉與到地球外表赤道上的物體和地球衛(wèi)星的比擬，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運(yùn)動的圓心與近地衛(wèi)星的圓心都在地心，而且兩者做勻速圓周運(yùn)動的半徑均可看作為地球的R，因此，有些同學(xué)就把兩者混為一談，實際上兩者有著非常顯著的區(qū)別。地球上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動所需的向心力由萬有引力提供，但由于地球自轉(zhuǎn)

16、角速度不大， 萬有引力并沒有全部充當(dāng)向心力，向心力只占萬有引力的一小局部，萬有引力的另一分力是我們通常所說的物體所受的重力請同學(xué)們思考： 假如地球自轉(zhuǎn)角速度逐漸變大， 將會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？而圍繞地球外表做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，萬有引力全部充當(dāng)向心力。赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動時由于與地球保持相對靜止，因此它做圓周運(yùn)動的周期應(yīng)與地球自轉(zhuǎn)的周期一樣，即24 小時，其向心加速度224Ra=T20.034m s；而繞地球外表運(yùn)行的近地衛(wèi)星，其線速度即我們所說的第一宇宙速度，它的周期可以由下式求出：222Mm4G=mRRT求得3RT=2GM，代入地球的半徑R 與質(zhì)量，可求出地球近地衛(wèi)星繞地球的運(yùn)行

17、周期T 約為84min，此值遠(yuǎn)小于地球自轉(zhuǎn)周期，而向心加速度22GMa=9.8m sR遠(yuǎn)大于自轉(zhuǎn)時向心加速度。 例 3 地球的半徑為R=6400km ，地球外表附近的重力加速度2g=9.8m s，假如發(fā)射一顆地球的同步衛(wèi)星，使它在赤道上空運(yùn)轉(zhuǎn)，其高度和速度應(yīng)為多大？ 思路分析 ：設(shè)同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m ，離地面的高度的高度為h，速度為 v，周期為 T，地球的質(zhì)量為M 。同步衛(wèi)星的周期等于地球自轉(zhuǎn)的周期。2MmG=mgR22Mm2G=m R+hTR+h由兩式得223223332276400 102436009.8R T gh=-Rm640010 m443.143.56 10 mword 第 8 頁 共 8 頁又因為22MmvG=mR+hR+h由兩式得2323376400109.8R gv=m s3.1 10 m sR+h6400103.56 10 答案 ：