高中數(shù)學(xué)專題講解之拋物線(共13頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學(xué)專題講解之拋物線考點(diǎn)1 拋物線的定義：平面上與一個(gè)定點(diǎn)F和一條直線（F不在上）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。拋物線的定義中條件“F不在上”不可遺漏，否則，如果F在上，則軌跡為過F且與垂直的直線。題型： 利用定義,實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1、（1）已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為 （2）拋物線y=4上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是( ) A. B. C. D. 0例2、求平面內(nèi)到原點(diǎn)與直線距離相等的點(diǎn)的軌跡

2、方程，并指出軌跡所表示的曲線。例3、求到點(diǎn)A的距離比到直線的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程。鞏固練習(xí)：1.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，在拋物線上，且、成等差數(shù)列， 則有 （）A B C D. 2. 已知點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn),M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)最小時(shí), M點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )A. B. C. D. 3.已知方程的拋物線上有一點(diǎn)M，點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為5，求m的值。4、在正方體的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)到直線與直線的距離相等,則動(dòng)點(diǎn) 所在的曲線的形狀為( ) A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)考點(diǎn)2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例4、求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

3、程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1)過點(diǎn)(-3,2) (2)焦點(diǎn)在直線上鞏固練習(xí)：1、若拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)重合,則的值 2、 對于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號(hào)）3、 若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn),且，求此拋物線的方程考點(diǎn)3 拋物線的幾何性質(zhì)拋物線的幾何性質(zhì) ()：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn) （0，0）題型：

4、拋物線中的最值問題：例5、求拋物線上的點(diǎn)P到直線的距離的最小值，并求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。例6、給定拋物線，設(shè)A，P是拋物線上的一點(diǎn)，且，求的最小值。例7、長度等于3的線段的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，求AB的中點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離的最小值。題型：拋物線與直線的位置關(guān)系問題：例8、設(shè)A、B是拋物線上的點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)。例9、已知正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B在拋物線上，另兩個(gè)頂點(diǎn)C、D在直線上，如圖，求此正方形的邊長。例10、已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，設(shè)A、B是拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（AB不垂直于x軸）但，線段AB的垂直平分線經(jīng)過定點(diǎn)Q，求拋

5、物線的方程。例11、設(shè)點(diǎn)O為拋物線的頂點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)且PQ為過焦點(diǎn)的弦，若，求的面積。例12、 如圖所示，拋物線y2=4x的頂點(diǎn)為O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點(diǎn)O或點(diǎn)A)且交拋物線于M、N兩點(diǎn)，求AMN面積最大時(shí)直線l的方程，并求AMN的最大面積.例13、已知拋物線y2=2px(p0),過動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范圍.(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積的最大值.解：(1)設(shè)直線l的方程為：y=xa,代入拋物線方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a

6、2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,則有x=p.線段AB的垂直平分線的方程為yp=(xap),從而N點(diǎn)坐標(biāo)為(a+2p,0）點(diǎn)N到AB的距離為從而SNAB=當(dāng)a有最大值時(shí)，S有最大值為p2.基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.過拋物線的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于，則這樣的直線（ ）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.1條或2條 D.不存在2.在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

7、為（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63.兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是，一個(gè)等比中項(xiàng)是，且則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A B C D4. 如果，是拋物線上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，若成等差數(shù)列且，則=（ ）A5 B6 C 7 D9 5、拋物線準(zhǔn)線為l，l與x軸相交于點(diǎn)E，過F且傾斜角等于60°的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，ABl，垂足為B，則四邊形ABEF的面積等于（ ）A B C D6、設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的一點(diǎn)，與軸正向的夾角為，則為 題型、焦點(diǎn)弦問題例14、已知拋物線，過焦點(diǎn)F的弦AB的直線傾斜角為，求AB的弦長。例15、若

8、AB是拋物線的焦點(diǎn)弦（過焦點(diǎn)的弦），且，則：，。例16、已知直線AB是過拋物線焦點(diǎn)F，求證：為定值。例17、已知AB是拋物線的過焦點(diǎn)F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切。BAMNQPyxOF(2)分別過A、B做準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。與準(zhǔn)線l相切例18、若拋物線方程為，過（，0）的直線與之交于A、B兩點(diǎn)，則OAOB。鞏固練習(xí)：1、若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 2、過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為,則 ( ) A. B. C. D. 題型、中點(diǎn)弦問題：例19、過點(diǎn)A，作直線交拋物線于B、C兩點(diǎn)，

9、求BC中點(diǎn)P的軌跡方程。例20、若拋物線上存在兩點(diǎn)PQ關(guān)于直線對稱，求m的取值范圍。鞏固練習(xí)：1、在拋物線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線的距離為最短，求該點(diǎn)的坐標(biāo)2、已知拋物線（為非零常數(shù)）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與拋物線相切的直線記為（1）求的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)在何處時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最??？3、設(shè)拋物線（）的焦點(diǎn)為 F，經(jīng)過點(diǎn) F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)點(diǎn) C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCX軸證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O4、橢圓上有一點(diǎn)M（-4，）在拋物線（p>0）的準(zhǔn)線l上，拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若點(diǎn)N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|

10、NQ|的最小值.5、已知拋物線C的一個(gè)焦點(diǎn)為F（，0），對應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為x=-.（1）寫出拋物線C的方程；（2）過F點(diǎn)的直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB重心G的軌跡方程；（3）點(diǎn)P是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓（x-3）2+y2=2的切線，切點(diǎn)分別是M，N.當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.課后作業(yè)：一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1如果拋物線y 2=ax的準(zhǔn)線是直線x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圓心在拋物線y 2=2x上，且與x軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓

11、的方程是（ ）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03拋物線上一點(diǎn)到直線的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時(shí)，水面寬4m，若水面下降1m，則水面寬為（ ）AmB 2mC4.5mD9m5平面內(nèi)過點(diǎn)A（-2，0），且與直線x=2相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上點(diǎn)（-5，m）到焦點(diǎn)距離是6，則拋物線的方程是（ ）A y 2=

12、-2xB y 2=-4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7過拋物線y 2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)兩點(diǎn)，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D48把與拋物線y 2=4x關(guān)于原點(diǎn)對稱的曲線按向量a平移，所得的曲線的方程是（ ）ABCD 9過點(diǎn)M（2，4）作與拋物線y 2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l有（ ）A0條B1條C2條D3條10過拋物線y =ax2(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則等于（ ）A2aB C4a D 二、填空題（本大題共4小題，每小題6

13、分，共24分）11拋物線y 2=4x的弦AB垂直于x軸，若AB的長為4，則焦點(diǎn)到AB的距離為 12拋物線y =2x2的一組斜率為k 的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是 13P是拋物線y 2=4x上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓，則這個(gè)圓一定經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是 14拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程為 三、解答題（本大題共6小題，共76分）15已知?jiǎng)訄AM與直線y =2相切，且與定圓C：外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程(12分)16已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M（3，m）到焦點(diǎn)的距離等于5，求拋物線的方程和m的值（12分）17動(dòng)直線y =a，與

14、拋物線相交于A點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B的坐標(biāo)是，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡的方程(12分)18河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5米時(shí)，水面寬為8米，一小船寬4米，高2米，載貨后船露出水面上的部分高0.75米，問水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí)，小船開始不能通航？(12分)19如圖，直線l1和l2相交于點(diǎn)M，l1l2，點(diǎn)Nl1以A、B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)N的距離相等若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程(14分)20已知拋物線過動(dòng)點(diǎn)M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，（）求的取值范圍；（）若線段AB的垂直平

15、分線交軸于點(diǎn)N，求面積的最大值(14分)參考答案一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）題號(hào)12345678910答案ADABCBACCC二填空題（本大題共4小題，每小題6分，共24分）112 12 13（1，0） 14 三、解答題（本大題共6題，共76分）15（12分）解析：設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為r，則由題意可得M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義可知：動(dòng)圓圓心的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，以y=3為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為16 (12分)解析：設(shè)拋物線方程為，則焦點(diǎn)F（），由題意可得 ，解之得或， 故所求的拋物線方程為，17（12分）解析

16、：設(shè)M的坐標(biāo)為（x，y），A（，），又B得 消去，得軌跡方程為，即18（12分）解析：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橋拱拋物線方程為，由題意可知，B（4，-5）在拋物線上，所以，得， 當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為AA，則A（），由得，又知船面露出水面上部分高為075米，所以=2米19(14分) 解析：如圖建立坐標(biāo)系，以l1為x軸，MN的垂直平分線為y軸，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)由題意可知：曲線C是以點(diǎn)N為焦點(diǎn)，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段，其中A、B分別為C的端點(diǎn)設(shè)曲線段C的方程為， 其中分別為A、B的橫坐標(biāo)， 所以， 由，得 聯(lián)立解得將其代入式并由p>0解得，或因?yàn)锳MN為銳角三角

17、形，所以，故舍去 p=4，由點(diǎn)B在曲線段C上，得綜上得曲線段C的方程為20(14分) 解析：（）直線的方程為，將，得 設(shè)直線與拋物線兩個(gè)不同交點(diǎn)的坐標(biāo)為、，則 又， ， 解得 （）設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)Q，令坐標(biāo)為，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得， 又 為等腰直角三角形， ， 即面積最大值為1、拋物線的準(zhǔn)線方程是 。2、已知是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)軌跡方程是 。3拋物線關(guān)于直線對稱的拋物線方程是 。4、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以軸為對稱軸且經(jīng)過點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_ 5、25、如圖是一種加熱水和食物的太陽灶，上面裝有可旋轉(zhuǎn)的拋物面形的反光鏡，鏡的軸截面是拋物線的一部分，盛水和食物的容器

18、放在拋物線的焦點(diǎn)處，容器由若干根等長的鐵筋焊接在一起的架子支撐。已知鏡口圓的直徑為12米,鏡深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作點(diǎn)，則每根鐵筋的長度為_米. 6.5米 6、設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若則|FA|+|FB|+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 37、已知點(diǎn)及拋物線，若拋物線上點(diǎn)滿足，則的最大值為（ ）（A） （B） （C） （D）8已知：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線40的距離小2，若記點(diǎn)P的軌跡為曲線C。（1）求曲線C的方程。（2）若直線L與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且OAOB。求證：直線L過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。解：（1）解法（A）：點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離比它到直線40的距離小2，所以點(diǎn)P與點(diǎn)F（2，0）的距離與它到直線20的距離相等。 -由拋物線定義得：點(diǎn)在以為焦點(diǎn)直線20為準(zhǔn)線的拋物線上， 拋物線方程為。 -) 解法（B）：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則。當(dāng)時(shí)，化簡得：，顯然，而，此時(shí)曲線不存在。當(dāng)時(shí)，化簡得：。（2）， -(1分)，即， -分)直線為，所以 -(分) -(分)由（a）（b）得：直線恒過定點(diǎn)。9、已知拋物線,橢圓經(jīng)過點(diǎn)，它們在軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓的對稱軸是坐標(biāo)軸。（1）求橢圓的方程；（2