等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題的快速解法

1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值問題的快速解法等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式是s”+,+嚀少+"分“5,記住拋物線對稱軸方程二d一廳 1 a亠二= 嗎最值一定在離對稱軸最近的整數(shù)中取到.2啟 2 cl2圖像是過原點(diǎn)的拋物線上的一些離散點(diǎn)，由于二次函數(shù)圖像的對稱性，一旦給出關(guān)系式s腫s“,則馬上知道拋物線的對稱軸方程為%=學(xué) 半！關(guān)于s”的最值問題可以轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解。其實(shí)，它還有一個零點(diǎn)式方程，設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則拋物線的兩個零點(diǎn)為0和2兀°,則可設(shè)(圖像中x軸對應(yīng)n軸，y軸對應(yīng)s”軸，等差s”最值問題要立刻想到這2個圖像！)例1等差數(shù)列陽中，a=25, s7=s9,問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最

2、大？并 求此最大值。速解：s門=sgn拋物線對稱軸方程為斤=12土2 = 13,則可設(shè)sn = pn(n-26), 由 s = q = pxlx(1 26) = 25 n p = -1一 =13時，(5)max=513 =-1x13x(13-26) = 169例2在等差數(shù)列”中，已知 =20,前兄項(xiàng)和為s”，nsi()=s5,求當(dāng)料取 何值時，s”有最大值，并求它的最大值。解：s0 = s15 =拋物線對稱軸方程為 =12.5 ,則可設(shè)sn = pn（n_ 25）由s=a、= pxlx（l-25） = 20=> p = ,則 =-nn-25） 6o所以 n二 12 或 13 時，（s“）

3、= sf =rx12x（12-25） = 130o例3等差數(shù)列%屮，qvo, s9 = s12,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最??？9 + 1791解 .s9=s|2, »的圖像所在的拋物線的對稱軸為n = = ,又 2 2nwn* , <0, :. atl的前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小。變式：等差數(shù)列中，q>0, s3 = s10 ,該數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？解：53 = 510 =>拋物線的對稱軸為二上巴= 6.5, 乂nw n,所以n=6 or 7例4設(shè)等差數(shù)列%的前n項(xiàng)和為s”,已知=12,512 >0,513 <0（1）求公差d的取值范圍（2）指出sps2,.

4、,s12中哪一個值最大,并說明理由.解：（1） $ = 12 => a+ 2d = 12 => q| = 12 2dg c 12x11 -.24s -> > 0 => 12q hd > 0 d >1212713x112&3 <0=>123q+ d<0=>d<-3（24的取值范圍是-蘭3j 7>（2）由（1）知d0,拋物線開口向下，設(shè)拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為兀，則拋物線的兩個零點(diǎn)為0和2兀，因s12>0,s13<0,則2勺丘（12,13）=如丘（6,6.5）,故s&的值最人.例5設(shè)等差數(shù)列%的前

5、n項(xiàng)和為s”，且s尸s、,s產(chǎn)s"則k二8解：拋物線對稱軸n - 士til = 7 + " => e = 8例6 設(shè)等差數(shù)列色的前n項(xiàng)和為s”,且s/s”,求兀+“的值解：拋物線對稱軸方程為%）= 也則拋物線兩個零點(diǎn)為0和2n（） =m + n,所以 s卄二0例6已知等差數(shù)列an的通項(xiàng)為an=ll-2n,g tv*,則使得sn最大的n的值是?a = 7 2x1 = 1 5*"（d就是一次項(xiàng)n的系數(shù)！ why?）,拋物線d = -2開口向下，有最大值，由拋物線對稱軸方程= 8,故答案為&2 d 2 -2例7設(shè)等差數(shù)列匕滿足3禺二5知，月申0,則前n項(xiàng)和s”中最大的是（）'iobsh解:a393as =5°|3 = 3（d| +7）= 5（® +12）=> =-d<2q0拋物線開口向下,由對稱軸= 20, /.520最大，選擇c例8（ 2010福建理科3 ）設(shè)等差數(shù)列色的前n項(xiàng)和為s”，若4 =-11,偽+。6 =-6，則當(dāng)s”取最小值時,n等于（）a. 6b.