必修二第三章直線與方程知識點總結(jié)與練習(xí)復(fù)習(xí)資料

1、必修二第三章 直線及方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向及直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線及x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線及軸的傾斜程度。當(dāng)直線l及x軸平行或重合時, =0°, k = tan0°=0;當(dāng)直線l及x軸垂直時, = 90°, k 不存在.當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，不存在。過兩點的直線的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,

2、y2),x1x2）注意下面四點：(1)當(dāng)時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k及P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程點斜式：直線斜率k，且過點注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：（）直線兩點，截矩式：其中直線及軸交于點,及軸交于點,

3、即及軸、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）； （6）兩直線平行及垂直當(dāng)，時，注意：利用斜率判斷直線的平行及垂直時，要注意斜率的存在及否。（7）兩條直線的交點相交交點坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數(shù)解及重合（8）兩點間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點，則（9）點到直線距離公式：一點到直線的距離（10）兩平行直線距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則及的距離為直線的方程1. 設(shè)a，b，c是互不相等的三個實數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c

4、3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明 A、B、C三點共線，kAB=kAC，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.2.若實數(shù)x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（ ）A. B.C. D.答案D3.求經(jīng)過點A（-5，2）且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；解 當(dāng)直線l在x、y軸上的截距都為零時，設(shè)所求的直線方程為y=kx,將（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此時，直線方程為y=-x,即2x+5y=0.當(dāng)橫截距、縱截距都不是零時，設(shè)所求直線方程為=1

5、，將（-5，2）代入所設(shè)方程，解得a=-，此時，直線方程為x+2y+1=0.綜上所述，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.4.直線l經(jīng)過點P（3，2）且及x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OAB的面積為12，求直線l的方程.解 方法一 設(shè)直線l的方程為（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直線方程為=1,即2x+3y-12=0.方法二 設(shè)直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l在y軸上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直線方程為y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知線段P

6、Q兩端點的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0及線段PQ有交點，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點.kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時直線x+my+m=0及線段PQ有交點，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.兩直線方程例1 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l(xiāng)1及l(fā)2是否平行；（2）l1l2時，求a的值.解 （1）方法一 當(dāng)a=1時，l1:

7、x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a1且a0時，兩直線可化為l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時，l1l2，否則l1及l(fā)2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-1×60,l1l2a=-1,故當(dāng)a=-1時，l1l2，否則l1及l(fā)2不平行.（2）方法一 當(dāng)a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1及l(fā)2不垂直，故a=1不成立.當(dāng)a1時，l1:y=-x-3,l2

8、:y=-(a+1),由·=-1a=.方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.例3 已知直線l過點P（3，1）且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的方程.解 方法一 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3,此時及l(fā)1,l2的交點分別是A（3，-4），B（3，-9），截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.若直線l的斜率存在時，則設(shè)直線l的方程為y=k(x-3)+1,分別及直線l1,l2的方程聯(lián)立，由,解得A.8分由,解得B, 由兩點間的距離公式，得+=25，解得k=0,即所求直線方程為y=1. 綜上可知，

9、直線l的方程為x=3或y=1. 方法二 設(shè)直線l及l(fā)1,l2分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,兩式相減，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 6分又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25聯(lián)立可得或, 10分由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，故所求的直線方程為x=3或y=1.例4 求直線l1:y=2x+3關(guān)于直線l:y=x+1對稱的直線l2的方程.解 方法一 由知直線l1及l(fā)的交點坐標(biāo)為（-2，-1），設(shè)直線l2的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線l上任取一點（1，2），由題設(shè)知點（1

10、，2）到直線l1、l2的距離相等，由點到直線的距離公式得解得k=(k=2舍去)，直線l2的方程為x-2y=0.方法二 設(shè)所求直線上一點P（x,y）,則在直線l1上必存在一點P1（x0,y0）及點P關(guān)于直線l對稱.由題設(shè)：直線PP1及直線l垂直，且線段PP1的中點P2在直線l上.，變形得,代入直線l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直線方程為x-2y=0.直線及方程1.設(shè)直線l及x軸的交點是P，且傾斜角為,若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線的傾斜角為+45°，則（ ）A.0°180°B.0&

11、#176;135°C.0°135°D.0°135°答案 D2.曲線y=x3-2x+4在點（1，3）處的切線的傾斜角為（ ）A.30°B.45°C.60°D.120°答案 B3.過點M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則m的值為( )A.1B.4C.1或3D.1或4答案 A4.過點P（-1，2）且方向向量為a=（-1，2）的直線方程為（ ）A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案 A5.一條直線經(jīng)過點A（-2，2），并且及兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則

12、此直線的方程為.答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三點A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點在同一條直線上.證明A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=2,kBC=2，kAB=kBC，A、B、C三點共線.例2已知實數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2 (-1x1).試求：的最大值及最小值.解 由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P（-2，-3）及曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值為8，最小值為.例3 求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點P（3，2），且在兩

13、坐標(biāo)軸上的截距相等；（2）經(jīng)過點A（-1，-3），傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.解 （1）方法一 設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點（0，0）和（3，2），l的方程為y=x，即2x-3y=0.若a0，則設(shè)l的方程為，l過點（3，2），a=5，l的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直線l的方程為：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x

14、-3y=0.（2）由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2. tan=3,tan2=-.又直線經(jīng)過點A（-1，-3），、因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例4（12分）過點P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，求使：（1）AOB面積最小時l的方程；（2）|PA|·|PB|最小時l的方程.解 方法一 設(shè)直線的方程為 (a2,b1),由已知可得（1）2=1，ab8.SAOB=ab4. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=4,b=2時，SAOB取最小值4，此時直線l的方程為=1,即x+2y-4=0. 6分（2） 由+=1,得ab-a-2b=0,變形

15、得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=·=.當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時，|PA|·|PB|取最小值4.此時直線l的方程為x+y-3=0.方法二 設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0),則l及x軸、y軸正半軸分別交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）=×（4+4）=4.當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-,即k=-時取最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.6分·（2）|PA|·|PB|=4,當(dāng)且僅當(dāng)=4k2,即k=-1時取得最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-

16、2),即x+y-3=0. 一、選擇題1.過點（1，3）作直線l，若經(jīng)過點（a，0）和（0，b），且aN*，bN*，則可作出的l的條數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案B2.經(jīng)過點P（1，4）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案B3.若點A（2，-3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點，則相異兩點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是（ ）A.2x-3y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0答案A二

17、、填空題4.已知a0,若平面內(nèi)三點A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共線，則a=.答案 1+5.已知兩點A（-1，-5），B（3，-2），若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是.答案 三、解答題6.已知線段PQ兩端點的坐標(biāo)分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0及線段PQ有交點，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點.kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時直線x+my+m=0及線段PQ有交點，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0

18、,整理，得x=-.由已知-1-2, 解得-m.7.已知直線l及兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：（1）過定點A（-3，4）；（2）斜率為.解 （1）設(shè)直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是-3，3k+4，由已知，得（3k+4）（+3）=±6，解得k1=-或k2=-.直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.（2）設(shè)直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b,由已知，得|-6b·b|=6，b=±1.直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.8.已知兩點A（-1，2），B（m，3）.（1）求直線AB的方程；（2）已知實數(shù)m，求直線AB的傾斜角的取值范圍.解 （1）當(dāng)m=-1時，直線AB的方程為x=-1,當(dāng)m-1時，直線AB的方程為y-2=(x+1).（2）當(dāng)m=-1時，=;當(dāng)m-1時，m+1，k=（-，-，.