高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪――概念-方法-題型-易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)五-平面向量（精編版）

1、高考數(shù)學(xué)必勝秘訣在哪概念- 方法- 題型- 易誤點及應(yīng)試技巧總結(jié)五 - 平面向量lt23興寧市龍?zhí)镏袑W(xué)謝勝青當(dāng)前第 12 頁共 12頁d 在bc 邊上，且cd2 db， cdr abs ac ，則 rs 的值是 （答： 0）4、實數(shù)與向量的積 ：實數(shù)與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下：1aa , 2當(dāng) >0 時，a 的方向與 a 的方向相同，當(dāng) <0 時， a 的方向與 a的方向相反， 當(dāng) 0 時，a0 ，注意： a 0。5、平面向量的數(shù)量積 ：（1） 兩個向量的夾角 ：對于非零向量 a ，b ，作oaa, obb ， aob20稱為向量 a ， b 的夾

2、角，當(dāng)0 時， a ， b同向，當(dāng) 時， a ， b 反向，當(dāng)時， a ， b 垂直。（2） 平面向量的數(shù)量積 ：如果兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量 | a | b | cos叫做a 與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積） ，記作： a ? b ，即a ? b a b cos。規(guī)定： 零向量與任一向量的數(shù)量積是 0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量。如（ 1） abc中，| ab |3 ，| ac |4 ， | bc |5 ，則 abbc （ 答 ： 9 ）；（ 2 ） 已 知11a(1,),b(0,), cakb, dab ， c 與d 的夾角為，則 k 等22于 （答：1）

3、；（3）已知 a2, b5,a b43 ，則 ab 等于 （答： 23 ）；（ 4）已知 a,b 是兩個非零向量，且 abab ，則a與ab的夾角為 （答： 30 ）（3）b 在a 上的投影 為| b| cos，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知| a |3 ，| b |5 ，且 a b12 ，）5則向量 a 在向量 b 上的投影為 （答： 12（4）a ? b 的幾何意義 ：數(shù)量積 a ? b 等于a 的模| a |與b 在a 上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì) ：設(shè)兩個非零向量 a ， b ，其夾角為，則： aba ?b0 ；當(dāng)a ， b 同向時，a ? b a b，特別地，222aa

4、 ? aa, aa；當(dāng)a 與b 反向時， a ? b a b ；當(dāng)為銳角時， a ? b 0，且 a、b 不同向， a b0 是 為銳角的必要非充分條件；當(dāng) 為鈍角時， a ? b 0，且a、b 不反向，a b0 是 為鈍角的必要非充分條件；非零向量 a ，b 夾角 的計算公式： cosa ? b ；a b | a ? b | | a | b |。如（1）已知a(,2) ， b(3,2) ，如果 a與b 的夾角為銳角，則 的取值范圍是 （答：334 或0 且1 ）；（ 2）已知 ofq 的面積為 s ，且offq1 ，若 1s3 ，則of , fq 夾角 的取值范圍是22 （ 答 ： ( 4

5、, 3 )）； （ 3） 已 知a(cos x,sinx),b(cos y,siny),a與b之 間 有 關(guān) 系 式kab3 akb, 其中k0，用 k 表示 a b ；求 ab 的最小值 ， 并 求 此時 a 與 b 的 夾 角的大 ?。?答： a bk 21 (k4k0) ；最小值為1 ，60 ）26、向量的運算 ：（1） 幾何運算 ：向量加法： 利用“平行四邊形法則” 進行， 但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量， 如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè) aba, bcb ，那么向量ac 叫做 a 與 b 的和，即ababbcac ； 向量的減法： 用 “ 三角形 法則 ”：

6、設(shè)aba, acb, 那么ababacca ，由減向量的終點指向被減向量的終點。 注意：此處減向量與被減向量的起點相同。如（ 1） 化簡： abbccd ； abaddc ； ( abcd)( acbd ) （答： ad ； cb ； 0 ）；（2）若正方形 abcd 的邊長為1， aba, bcb, acc ，則| abc | （答： 22 ）；（ 3） 若 o是 abc 所在平面內(nèi)一點，且滿足obocoboc2oa ，則 abc 的形狀為 （答：直角三角形）；（4）若d 為 abc 的邊 bc 的中點，abc 所在平面內(nèi)有一點p ，滿足pabpcp0 ，設(shè) | ap |，| pd |則 的

7、值為 （答： 2）；（ 5） 若點 o 是 abc 的外心，且oaobco0 ，則abc的內(nèi)角 c 為 （ 答：120 ）；（2） 坐標(biāo)運算 ：設(shè) a(x1, y1 ),b( x2 , y2 ) ，則：向量的加減法運算 ： ab( x1x2 ， y1y2 ) 。如（ 1）已知點a(2,3), b(5,4)，c (7,10) ，若apabac(r) ，則當(dāng) 時，點p 在第一、三象限的角平分線2上（答： 1）；（ 2）已知a(2,3), b(1,4), 且 1 ab2(sin x,cos y) ，x, y(,) ，則xy（答：或）；（3）已2262知作用在點a(1,1)的三個力 f1(3,4),

8、f2(2,5), f3(3,1) ，則合力ff1f2f3的終點坐標(biāo)是（答：（ 9,1）實數(shù)與向量的積 ：ax1 , y1x1 ,y1。若 a( x1 , y1 ), b( x2 , y2 )，則abx2x1, y2y1，即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。 如設(shè)a(2,3), b(1,5) ，且 ac1 ab，3ad3ab ，則 c、d 的坐標(biāo)分別是11 （答：3(1,),(7,9) ）；平面向量數(shù)量積 ：a? bx1x2y1 y2 。如已知向量a （ sinx，cosx）,b （ sinx，sinx）,c （21， 0）。（1）若 x 3 ，求向量 a 、c 的

9、夾角；（2）若 x 3, ，函數(shù)f ( x)a b 的最大值為1 ， 求 的84值（答：(1)150 ;(2)1 或21 ）；2向量的模 ：| a |x2y2 , a2| a |2x2y2 。如已知a, b均為單位向量，它們的夾角為60 ，那么 | a （答： 13 ）；3b | 兩點間的距離 ：若a x1, y1, b x2 , y2，則| ab |2x2x1y2y12 。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xoy 中，xoy60 ，平面上任一點 p 關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若opxe1ye2，其中e1, e2 分別為與 x 軸、y 軸同方向的單位向量，則p 點斜坐標(biāo)為 ( x,y) 。（1）

10、若點 p 的斜坐標(biāo)為（2， 2），求 p 到 o 的距離 po；（2）求以o 為圓心，1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系xoy 中的方程。（答：（ 1）2；（2） x2y2xy10 ）；7、向量的運算律 ：（ 1）交換律：abba，aa，a ? bb? a；(2)結(jié)合律：abcabc, abcabc， a?ba ? ba ?b；（3）分配律：aaa,abab ， ab? ca ? cb ? c 。如下列命題中：a ( bc)a bac ；a ( b c )(a b)c ； (ab )2| a |22；2 | a | | b | b |2 ； 若a b0 ，則a0或b0 ；若a bc b,2222則 ac

11、； aa； a bb2； ( a b)ab22aa2 (ab)a2abb。其中正確的是 （答：）提醒：（ 1）向量運算和實數(shù)運算有類似的地 方也有區(qū)別：對于一個向量等式，可以移項，兩 邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模， 兩邊同乘以一個向量， 但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除( 相約) ；（2）向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(b ?c)(a ? b)c ，為什么？8 、 向 量 平 行 (共 線 )的 充 要 條 件 ：a / bab(ab) 2(| a | b |)2x1 y2y1 x2 0 。 如 (1)若向量a( x,1),b(4, x) ，當(dāng)

12、 x 時a 與b 共線且方向相同（答： 2）；（2） 已知a(1,1),b(4, x) ， ua2b ， v2ab ，且 u / v， 則x （ 答 ： 4 ）；（ 3 ） 設(shè)pa( k,12), pb(4,5), pc(10, k) ，則 k 時，a,b,c共線（答： 2 或 11）9 、向量垂直的充要條件：aba b0| ab | | ab |x1x2y1 y20.特別地( abac )(abac) 。如(1) 已知 oa(1,2), ob(3,m) ，若abacabacoaob ，則m（答：3 ）；（2）以原點o 和2a(4,2) 為兩個頂點作等腰直角三角形oab ，b90，則點 b 的

13、坐標(biāo)是 （答： (1,3)或（ 3， 1） ；（ 3）已知 n( a,b),向量 nm ，且 nm ，則m 的坐標(biāo)是 （答： (b,10. 線段的定比分點 ：a) 或(b, a) ）（1） 定比分點的概念 ：設(shè)點 p 是直線p1 p 2上異于p1 、p2 的任意一點，若存在一個實數(shù)，使 p1ppp2 ，則 叫做點p 分有向線段p1p2所成的比，p 點叫做有向線段p1p2的以定比為的定比分點；（2） 的符號與分點 p 的位置之間的關(guān)系 ： 當(dāng) p點在線段p1 p 2 上時>0；當(dāng) p 點在線段 p1 p 2 的延長線上時<1；當(dāng) p點在線段 p 2 p1 的延長線上時10 ；若點 p

14、 分有向線段p1p2 所成的比為，則點 p 分有向線段p p 所成的比為 1 。2 1如若點 p 分ab 所成的比為 34，則 a 分bp 所成的比為3 （答：7 ）（3） 線段的定比分點公式 ： 設(shè)p1( x1 , y1 ) 、p2 (x2 , y2 ) ，p( x, y) 分有向線段xx1x21yp1p2 所成的比為，則y，特y121別地，當(dāng)1 時，就得到線段p1 p2 的中點公式x x1x2 2y y1y2 2。在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確( x, y) ， ( x1, y1 ) 、(x2 , y2 ) 的意義，即分別為分點，起點，3終點的坐標(biāo)。 在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地

15、確定起點， 分點和終點， 并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比。如（ 1） 若 m （ -3， -2）， n（6，2-1），且 mp1 mn，則點 p 的坐標(biāo)為 （答：(6,7 ) ）；（ 2）已知a( a,0), b(3,2a) ，直線 y1 ax 與線段 ab3交于 m ，且 am）2mb ，則 a 等于 （答：或11. 平移公式 ：如果點p( x, y) 按向量ah, k平移至p( x , y) ，則 xxhyyk；曲線f ( x, y)0 按向量ah, k平移得曲線 f ( xh, yk )0 .注意：（ 1）函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？（2） 向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！

16、如（ 1）按向量 a 把(2,3) 平移到 (1, 2) ，則按向量a 把點 (7,2) 平移到點 （答：（，）；（2）函數(shù) ysin 2x 的圖象 按 向 量 a 平 移 后， 所 得 函 數(shù) 的 解 析 式是ycos 2x1，則 a （答： (4 ,1) ）12、向量中一些常用的結(jié)論：（1） 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；（2） ） | a |b | | ab | | a | b| ，特別地，當(dāng)a、b 同向或有 0| ab | | a | b | a | b | | ab |；當(dāng)a、b反向或有0| ab | | a | b | a | b | | ab |； 當(dāng) a 、 b不 共 線| a | b | | ab | | a | b |( 這些和實數(shù)比較類似 ).（3） 在 abc 中，若ax1 , y1, bx2 , y2,cx3 , y3，則其重心的坐標(biāo)為gx1x2x3 , y1y2y3。如若 abc的33三邊的中點分別為 （2，1）、（-3 ，4）、（-1 ，-1 ），則 abc 的重心的坐標(biāo)為 （答：）；24(,)33 pg1 ( papbpc )3g 為 abc 的重心，特別地papbpc0p 為 abc 的重心； pa pbpbpcpcpap 為 abc 的垂心；向量(abac)(0) 所在直線過abc 的內(nèi)心| ab | ac |( 是