2019版-創(chuàng)新設(shè)計(jì)-高考總復(fù)習(xí)-數(shù)學(xué)-人教A版-理科-第十一章-第1節(jié)

1、第第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理最新考綱1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.會用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法.那么完成這件事共有N_種不同的方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N_種不同的方法.知知 識識 梳梳 理理mnmn3.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相

2、互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對“分步”問題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.切實(shí)理解“完成一件事”的含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.2.分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步.1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事.()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的.()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，

3、其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事.()診診 斷斷 自自 測測解析分類加法計(jì)數(shù)原理，每類方案中的方法都是不同的，每一種方法都能完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理，每步的方法都是不同的，每步的方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)(2)(3)(4)2.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會，則不同的選法種數(shù)為()A.6 B.5C.3 D.2解析5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法.答案B3.(選修23P28B2改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A.24種 B.30種C.36

4、種 D.48種解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最后給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有432248(種).答案D4.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法有_種(用數(shù)字作答).解析每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，因此，可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總的報(bào)名方法共2222232(種).答案325.(2018西安月考)已知某公園有5個(gè)門，從任一門進(jìn)，另一門出，則不同的走法的種數(shù)為_(用數(shù)字作答).解析分兩步，第一步選一個(gè)門進(jìn)有5種方法，第二步再選一個(gè)門出有4種方法，所以共有5420種走

5、法.答案20考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例1】 (1)滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(a，b)的個(gè)數(shù)為_.(2)在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_.解析(1)當(dāng)a0時(shí)，b的值可以是1，0，1，2，故(a，b)的個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a0時(shí)，要使方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解，需使44ab0，即ab1.若a1，則b的值可以是1，0，1，2，(a，b)的個(gè)數(shù)為4；若a1，則b的值可以是1，0，1，(a，b)的個(gè)數(shù)為3；若a2，則b的值可以是1，0，(a，b)的個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)的個(gè)數(shù)為4432

6、13.(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，十位數(shù)字為1，共1個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為3時(shí)，十位數(shù)字為1，2，共2個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，十位數(shù)字為1，2，3，共3個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為9時(shí)，十位數(shù)字為1，2，3，4，7，8，共8個(gè)；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知滿足條件的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為123836.答案(1)13(2)36規(guī)律方法分類標(biāo)準(zhǔn)是運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)根據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù).(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(1)中易漏a

7、0這一類.【訓(xùn)練1】 (1)從集合1，2，3，10中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A.3 B.4 C.6 D.8 (2)如圖，從A到O有_種不同的走法(不重復(fù)過一點(diǎn)).解析(1)以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，所求的數(shù)列共有2(211)8個(gè).(2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過一個(gè)點(diǎn)，有ABO和ACO共2種不同的走法；第三類，中間過兩個(gè)點(diǎn)，有ABCO和ACBO共2種不同的走法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有

8、1225種不同的走法.答案(1)D(2)5考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【例2】 (1)(2018石家莊模擬)教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個(gè)樓梯，由一層到五層的走法有()A.10種 B.25種 C.52種 D.24種(2)(2016全國卷)如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A.24 B.18 C.12 D.9解析(1)每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法.(2)分兩步，第一步，從EF，有6條可以選擇的最短路徑；第二步，從FG，

9、有3條可以選擇的最短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6318條可以選擇的最短路徑.故選B.答案(1)D(2)B規(guī)律方法(1)在第(1)題中，易誤認(rèn)為分5步完成，錯(cuò)選B.(2)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的；各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.【訓(xùn)練2】 (1)用0，1，2，3，4，5可組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為_.(2)(2018合肥質(zhì)檢)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不同的報(bào)名方法的種數(shù)為_.五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍(冠軍不并列)，則獲得冠軍的可能性有_種.解析(1)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第

10、一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)的個(gè)數(shù)為554100.(2)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐個(gè)學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不同的報(bào)名方法.五名學(xué)生爭奪四項(xiàng)比賽的冠軍，可對4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種獲得的可能性，共有54種獲得冠軍的可能性.答案(1)100(2)4554考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(多維探究多維探究)命題角度命題角度1組數(shù)、組點(diǎn)、組線、組對及抽取問題組數(shù)、組點(diǎn)、組線、組對及抽取問題【例31】 如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成

11、一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是()A.48 B.18 C.24 D.36解析在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共構(gòu)成24個(gè)“正交線面對”；而正方體的六個(gè)對角面中，每個(gè)對角面有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成12個(gè)“正交線面對”，所以共有36個(gè)“正交線面對”.答案D命題角度命題角度2涂色、種植問題涂色、種植問題【例32】 (一題多解)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù).法二以S，A，B，C，D順序分步染色.第一步：S點(diǎn)染色，有

12、5種方法；第二步：A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不同色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不同色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不同的染色方法共有543(1322)420(種).規(guī)律方法(1)注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理解決問題時(shí)，一般是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.注意對于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、

13、直觀化.(2)解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.例題中，相鄰頂點(diǎn)不同色，要按A，C和B，D是否同色分類處理.【訓(xùn)練3】 (1)(一題多解)(2018大同質(zhì)檢)如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()A.72種 B.48種C.24種 D.12種(2)如圖所示，在連結(jié)正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有_個(gè)(用數(shù)字作答).解析(1)法一首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有432372種涂法.法二按要求涂色至少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A