數學系常微分方程期末試卷A及答案10頁

1、 數計學院 系 級 班 姓名 _ 學號 _ 任課教師 審題人 密封線 （A） 試卷份數 考試 本科 考試科目 常微分方程 題 號一二三四五六七總 分分 數閱卷人試卷說明：1、該門考試課程的考試方式：閉卷； 2、考試所用時間：120分鐘。 3、考試班級：數計學院數11級一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1方程所有常數解是 2方程的基本解組是 3方程滿足解的存在唯一性定理條件的區(qū)域是 4線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 條件是它們的朗斯基行列式 5一個不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間二、單項選擇題（每小題3分，本題共15分）6方程滿足初值問題解存在且唯一定理條件的區(qū)域是（ ）（A）上半

2、平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面 7. 方程（ ）奇解（A）有一個 （B）有兩個 （C）無 （D）有無數個 8階線性齊次微分方程基本解組中解的個數恰好是（ ）個（A） （B）-1 （C）+1 （D）+2 第 1 頁（共 5頁）密封線 年 月 日 9、 微分方程的通解 （ ） A、 B、 C、 D、10階線性非齊次微分方程的所有解（ ） （A）構成一個線性空間 （B）構成一個維線性空間 （C）構成一個維線性空間 （D）不能構成一個線性空間三、簡答題（每小題6分，本題共30分）11. 解方程12. 解方程第2頁（共 5 頁）密封線 年 月 日13. 解方程 14. 解

3、方程15試求的奇點類型及穩(wěn)定性第 3 頁（共 5 頁） 年 月 日密封線四、計算題（每小題10分，本題共20分）16求方程的通解17求下列方程組的通解 第4頁（共 5 頁）密封線 年 月 日五、綜合能力與創(chuàng)新能力測試題（每小題10分，本題共20分）18在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴格單調函數19在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切 12-13-2學期期末考試常微分方程A參考答案及評分標準（數學與計算機科學學院） 制卷 審核 一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1 23平面4充分必要 5開二、單項選擇題（每

4、小題3分，本題共15分）6D 7C 8A 9D 10D三、簡答題（每小題6分，本題共30分）11解 分離變量得 （3分）等式兩端積分得通積分 （6分）12解 方程化為 (2分) 令，則，代入上式，得 (4分) 分量變量，積分，通解為 (5分) 原方程通解為 (6分)13解 對應齊次方程的通解為 （2分） 令非齊次方程的特解為 （3分）代入原方程，確定出 （4分）再求初等積分得 （5分） 因此原方程的通解為 + （6分）14解： 由于，所以原方程是全微分方程 （2分） 取，原方程的通積分為 （4分） 即 （6分）15解： 令，則： 2分因為，又由得解之得為兩相異實根，且均為負 4分故奇點為穩(wěn)定結

5、點，對應的零解是漸近穩(wěn)定的。 6分四、計算題（每小題10分，本題共20分）16解：對應的齊次方程的特征方程為： （1分）特征根為： （2分）故齊次方程的通解為： （4分） 因為是單特征根所以，設非齊次方程的特解為 （6分）代入原方程，有 ， （7分）可解出 （8分）故原方程的通解為 （10分）17解： 特征方程為 即 特征根為 ， （2分） 對應特征向量應滿足 可確定出 （5分） 同樣可算出對應的特征向量為 （8分）所以，原方程組的通解為 （10分）五、綜合能力與創(chuàng)新能力測試題（每小題10分，本題共20分）18證明 設，是方程的基本解組，則對任意，它們朗斯基行列式在上有定義，且又由劉維爾公式 ， （5分） 由于，于是對一切，有 或 故 是上的嚴格單調函數 （10分）19證明： 由已知條件可知，該方程滿足解的存在惟一及解的延展定理條件，且任一解的存在區(qū)間都是 （2分） 顯然，該方程有零解 （5分）假設該方程的任一非零解