量子力學(xué)變換幺正變換

1、 和一個(gè)矢量可在不同坐標(biāo)系中表示相似，同一個(gè)量子 態(tài)或者同一個(gè)算符也可以在不同表象中表示。在高等數(shù)學(xué)中，這些不同坐標(biāo)系的表示可通過(guò)同一個(gè)坐標(biāo)變換把它們聯(lián)系起來(lái)。在量子力學(xué)中，這些態(tài)或算符的不同表示也可以用表象變換把它們聯(lián)系起來(lái)。而且，物理規(guī)律應(yīng)當(dāng)具有協(xié)變性：即物理規(guī)律與所選擇的用以描述它們的坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。同樣，在量子力學(xué)中算符的本征值也應(yīng)與所選用的表象無(wú)關(guān)，因?yàn)楸菊髦稻褪窃谙鄳?yīng)的本征態(tài)中觀測(cè)算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量時(shí)的觀測(cè)值，是實(shí)驗(yàn)測(cè)量所得到的值。 設(shè)算符 的正交歸一本征函數(shù)系為 ，算符 的正交歸一本征函數(shù)系為 ，則算符 在 表象中的矩陣元為：A12( ),( ),xxB11( ),( ),xxFA*

2、( )( )mnmnFx Fx dx（4.4.1）（4.4.2）在 表象中的矩陣元為：B*( )( )Fx Fx dx （4.4.4）（4.4.3）為找出 表象和 表象之間的關(guān)系，將 表象中的本征函數(shù) 及 按 表象的本征函數(shù)系展開(kāi)ABBA( )( )nnnxSx*( )( )mmmxx S( )x*( )x（4.4.5）其中*( )( )nnSxx dx*( )( )mmSxx dx（4.4.6）（4.4.8） 1112121222*12*12*12( ),( ),( ),( ),( ),( ),nnnnnnnnxxxSSSSSSxxxSSS （4.4.7） 1121111122222212(

3、 )( )( )( )( )( )nnnnnnnnSSSxtSSSxtxSSSt 寫(xiě)成矩陣形式（4.4.10）（4.4.9）或簡(jiǎn)寫(xiě)為SS 以 為矩陣元的矩陣 稱為變換矩陣。這個(gè)矩陣把 表象的基矢 變換為 表象的基矢 。nSSnnAB（4.4.11） 下面我們討論變換矩陣 一個(gè)基本性質(zhì)：S = = =*( )( )( )( )()mmnnnmmnmnnmmmmxx dxx Sx SdxSSSSS S 是單位矩陣。（4.4.12）或?qū)懗蒘 SII =*( )( )( )( )nmnmnmS SS Sxx dxxx dx由（4.4.13）( )( )mmxCx（4.4.14）再將 按 展開(kāi)( )mx

4、( )x將（4.4.14）式代入（4.4.13）式得= = = *( )( )( )( )( )( )( )( )nmnmnmnmnmSSxx dxCxx dxxx dxCxx dx即SSI（4.4.15）（4.4.16）滿足上式得矩陣稱為幺正矩陣。由幺正矩陣所表示的變換稱為幺正變換。所以，從一個(gè)表象到另一個(gè)表象的變換為幺正變換.利用（4.4.12） 和（4.4.16），我們得出結(jié)論：兩個(gè)表象之間的變換矩陣 滿足S1SS（4.4.17）現(xiàn)在我們討論幺正變換下算符、波函數(shù)和本征值的變化。 算符的變換 在 表象中，算符 的矩陣元是 ，在 表象中，算符 的矩陣元是 ，它們兩者之間的關(guān)系是AFFBFm

5、nF（4.4.18） = =*mmnnmnmmnnmnmmnnmmnnmnmnFFdxSFSdxSFdxSSF SSF S 1FS FSS FS 上式寫(xiě)成矩陣形式是或1FSF S（4.4.19）（4.4.20） 波函數(shù)的變換（4.4.21） 考察波函數(shù) 從 表象到 表象的變化。將 分別按 表象和 表象的本征函數(shù)系 及 展開(kāi)：( , )x tAB( , )x tAB( )nx( )nx( , )( )( )nnnx ta tx( , )( )( )nx tb tx（4.4.22） 在 表象和 表象的表示分別為兩個(gè)列矩陣：( , )x tAB b= 1122( )( )( )( )( )( )nn

6、a tb ta tb taa tb t（4.4.23）（4.4.24）m = =*( )( )( , )( )( , )( )mmmmmmmmb txx t dxx Sx t dxSatSa利用（4.4.4）、 （4.4.21） 、 （4.4.22）和本征函數(shù)系 的正交歸一性，得( )x1bS aS aaSb上式寫(xiě)成矩陣形式或（4.4.25）（4.4.26） 幺正變換不改變算符的本征值 設(shè) 在 表象中的本征值方程為FAFaa（4.4.27） 為相應(yīng)的本征值。作表象變換，使得從 表象經(jīng)過(guò)一個(gè)幺正變換 換到 表象，由于 ， 因此在 表象中，算符 相應(yīng)的矩陣 滿足ASB1F bS FS 1bS aB

7、FF1111()F bS FS S aS FaS ab （4.4.28）所以，表象變換不改變算符 的本征值。F 利用這個(gè)性質(zhì)，又找到了另一個(gè)求算符本征值的方法。前面曾證實(shí)，算符在自身表象中對(duì)應(yīng)對(duì)角矩陣，而且對(duì)角線上的元素就是它的本征值?，F(xiàn)在又證明了表象變換不改變算符的本征值。因此如果通過(guò)表象變換，使算符變回到自身表象，或者說(shuō)，通過(guò)一個(gè)幺正變換 ，使得并不對(duì)角化的 矩陣，變成對(duì)角化的 矩陣，則 矩陣對(duì)角線上的元素，就是相應(yīng)的本征值。于是，求本征值的問(wèn)題就歸結(jié)為使矩陣對(duì)角化的問(wèn)題。SFF1FS FS 為此，必須探討一下要使 對(duì)角化的幺正變換 倒底如何選?。繛槭?對(duì)角化，必須FSF1()()klkl

8、klkklFS FSS FS （4.4.29）或?qū)懽鱧mmnnlkklmnSF S （4.4.30）在方程（4.4.30） 式的兩邊同時(shí)乘上 后，在對(duì) 求和得mkSk()mkkmmnnlkmkkllmlmnkkSSF SSS （4.4.31）利用 的幺正性 ，即 ，代入上式，得S1SSmkkmmmkSSmnnllmlnF SS（4.4.32） 111112212222lllllSSFFFFSS其矩陣形式為（4.4.33）（4.4.33）表明， 矩陣的第 列正是算符 對(duì)應(yīng)于本征值為 的本征函數(shù)。因此，一般說(shuō)來(lái)，要使算符 對(duì)應(yīng)的矩陣對(duì)角化，就要求出 對(duì)應(yīng)得的本征函數(shù)系，然后把對(duì)應(yīng)于不同本征值的本征函數(shù)按列排好以構(gòu)成幺正矩陣 ，則 必為對(duì)角陣。SlFlFFS1S FS例：設(shè)算符 在某一表象 中的矩陣為FA00iieFe其中 為常數(shù)，求：（1） 的本征值和在 表象中的正交歸一本征函數(shù)；（2）求使矩陣 對(duì)角化的幺正變換 。FAFS上式有非平庸解的條件是210iiee 解：（1） 在 表象中的本征方程為FA112200iiaaeaae120iiaeae即或?qū)懽?21200iiae aeaa（1）解得 -1 1 利用歸一化條件 得： 將 代入方程（1）可得：1 12iae a同理，當(dāng) 時(shí)，