現(xiàn)代控制工程題目及解答

1、1.簡述現(xiàn)代控制理論和經(jīng)典控制理論的區(qū)別.答：經(jīng)典控制理論是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種控制理論，控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計是建立在某種近似的和試探的基礎(chǔ)上，控制對象一般是單輸入單輸出、線性定常系統(tǒng)；對多輸入多輸出系統(tǒng)、時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)等則無能為力。主要的分析方法有頻率特性分析法、根軌跡分析法、描述函數(shù)法、相平面法、波波夫法等。控制策略僅限于反饋控制、PID控制等。這種控制不能實現(xiàn)最優(yōu)控制。 現(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間上的一種分析方法，它的數(shù)學(xué)模型主要是狀態(tài)方程，控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計是精確的?？刂茖ο罂梢允菃屋斎雴屋敵隹刂葡到y(tǒng)也可以是多輸入多輸出控制系統(tǒng)，可以是線性定常控制系統(tǒng)也可以是非線性時變控制

2、系統(tǒng)，可以是連續(xù)控制系統(tǒng)也可以是離散和數(shù)字控制系統(tǒng)。主要的控制策略有極點配置、狀態(tài)反饋、輸出反饋等?，F(xiàn)代控制可以得到最優(yōu)控制。2.簡述用經(jīng)典控制理論方法分析與設(shè)計控制系統(tǒng)的方法,并說明每一種方法的主要思想。答：1：建立數(shù)學(xué)模型2：寫出傳遞函數(shù)3：用時域分析和頻域分析的方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。以及對其進行系統(tǒng)的校正和反饋。頻域響應(yīng)法、根軌跡法根軌跡法的主要思想為：通過使開環(huán)傳函數(shù)等于-1的s值必須滿足系統(tǒng)的特征方程來控制開環(huán)零點和極點的變化，使系統(tǒng)的響應(yīng)滿足系統(tǒng)的性能指標(biāo)。頻域響應(yīng)法的主要思想為：通過計算相位裕量、增益裕量、諧振峰值、增益交界頻率、諧振頻率、帶寬和靜態(tài)誤差常數(shù)來描述瞬態(tài)響應(yīng)特性

3、，首先調(diào)整開環(huán)增益，以滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求；然后畫出開環(huán)系統(tǒng)的幅值曲線和相角曲線。如果相位裕量和增益裕量提出的性能指標(biāo)不能滿足，則改變開環(huán)傳遞函數(shù)的適當(dāng)?shù)男Ｕb置便可以確定下來。最后還需要滿足其他要求，則在彼此不產(chǎn)生矛盾的條件下應(yīng)力圖滿足這些要求。3. 什么是傳遞函數(shù)？什么是狀態(tài)方程答：傳遞函數(shù)：在零起始條件下，線型定常系統(tǒng)輸出象函數(shù)X0（s）與輸入象函數(shù)Xi（s）之比。描述系統(tǒng)狀態(tài)變量間或狀態(tài)變量與輸入變量間關(guān)系的一個一階微分方程組（連續(xù)系統(tǒng)）或一階差分方程組（離散系統(tǒng)）稱為狀態(tài)方程。4.什么是狀態(tài)變量？答：構(gòu)成控制系統(tǒng)狀態(tài)的變量。5. 如何從傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程？答：首先選定狀態(tài)變量，然后

4、把系統(tǒng)的tf轉(zhuǎn)化的微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，寫出輸入、輸出、狀態(tài)變量之間的關(guān)系。具體如下：傳遞函數(shù)為Y（s）/U（s）=G(S) 狀態(tài)方程為:=Ax+Bu y=Cx+Du 將傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程進行拉普拉斯變換為sX(s)-x(0)=A X(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s),又因為傳遞函數(shù)為在零初始條件下定義的,故sX(s)=A X(s)+BU(s)即G(S)=C(sI-A)-1B+D 這樣就通過狀態(tài)方程和傳遞函數(shù)聯(lián)系了起來。6系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式經(jīng)非奇異線性變換后，系統(tǒng)有哪些特性保持不變？答：對系統(tǒng)進行線型非奇異變換并不會改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)如行列式相同、秩相同、特征多項式

5、相同、特征值相同，傳遞函數(shù)、可控性、可觀性不變能對該系統(tǒng)的時域行為表達同樣的信息。7.什么是可控性的概念？可控標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣形式是什么？系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的充要條件是什么？答：如果在一個有限的時間隔內(nèi)施加一個無約束的控制向量，使得系統(tǒng)由初始狀態(tài)x(to)轉(zhuǎn)移到任一狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)在時刻to是能控的。如果系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，那么給定任一初始狀態(tài)x(0)，都應(yīng)滿足式。這就要求n×n維矩陣的秩為n。由此分析，可將狀態(tài)能控性的代數(shù)判據(jù)歸納為：當(dāng)且僅當(dāng)n×n維矩陣Q滿秩，即時，由式考慮線性連續(xù)時間系統(tǒng)：其中，（單輸入），且初始條件為。確定的系統(tǒng)才是狀態(tài)能控的。 下列狀態(tài)空間表達式為能控標(biāo)準(zhǔn)

6、形：8.什么是可觀測性的概念？寫出可觀測標(biāo)準(zhǔn)型矩陣形式。答：顯然，如果系統(tǒng)是能觀測的，那么在0tt1時間間隔內(nèi)，給定輸出y(t)，就可由式唯一地確定出x(0)?？梢宰C明，這就要求nm×n維能觀測性矩陣的秩為n。 由上述分析，我們可將能觀測的充要條件表述為：由式考慮零輸入時的狀態(tài)空間表達式式中，。所描述的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)n×nm維能觀測性矩陣的秩為n，即時，該系統(tǒng)才是能觀測的。如果系統(tǒng)的狀態(tài)x(to)在有限的時間間隔內(nèi)可由輸出的觀測值確定，那么稱系統(tǒng)在時刻to是能觀測的。下列狀態(tài)空間表達式為能觀測標(biāo)準(zhǔn)形：注意，式（1.5）給出的狀態(tài)方程中n×n維系統(tǒng)矩陣是式（

7、1.3）所給出的相應(yīng)矩陣的轉(zhuǎn)置。9. 控制系統(tǒng)狀態(tài)可觀測條件是什么？答：系統(tǒng)能觀測的充要條件為：（1） J中沒有兩個Jordan塊與同一特征值有關(guān)；（2）與每個Jordan塊的第一行相對應(yīng)的矩陣CS列中，沒有一列元素全為零；（3）與相異特征值對應(yīng)的矩陣CS列中，沒有一列包含的元素全為零。10.極點配置的主要思想是什么？極點配置的算法1的主要設(shè)計步驟。答：首先假定期望閉環(huán)極點為s =1，s =2,，s =n。我們將證明，如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能控的，則可通過選取一個合適的狀態(tài)反饋增益矩陣K，利用狀態(tài)反饋方法，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到任意的期望位置。第1步：考察系統(tǒng)的能控性條件。如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的

8、，則可按下列步驟繼續(xù)。 第2步：利用系統(tǒng)矩陣A的特征多項式確定出的值。第3步：確定將系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為能控標(biāo)準(zhǔn)形的變換矩陣P。若給定的狀態(tài)方程已是能控標(biāo)準(zhǔn)形，那么P = I。此時無需再寫出系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程。非奇異線性變換矩陣P可由式給出，即式中Q、W由(4.5)(4.6)式中為如下特征多項式的系數(shù)。定義。 第4步：利用給定的期望閉環(huán)極點，可寫出期望的特征多項式為并確定出的值。 第5步：此時的狀態(tài)反饋增益矩陣K為11. 單輸入-單輸出系統(tǒng)能否通過輸出反饋實現(xiàn)極點的任意配置？為什么？答：能。因為單輸入單輸出系統(tǒng)rB=1,完全可控。12.什么是愛克曼公式？答：對任一正整數(shù)n，有其中為用于確定

9、狀態(tài)反饋增益矩陣K的愛克曼方程。13.控制系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的作用是什么？極點配置方法時，曾假設(shè)所有的狀態(tài)變量均可有效地用于反饋。但在實際情況中，并非所有的狀態(tài)度變量都可用于反饋。這時需要估計不可量測的狀態(tài)變量。需特別強調(diào)，應(yīng)避免將一個狀態(tài)變量微分產(chǎn)生另一個狀態(tài)變量，因為噪聲通常比控制信號變化更迅速，所以信號的微分總是減小了信噪比。有時一個純微分環(huán)節(jié)可使信噪比減小數(shù)倍。迄今已有多種無需使用微分來估計不能量測狀態(tài)的方法。對不能量測狀態(tài)變量的估計通常稱為觀測。估計或者觀測狀態(tài)變量的動態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測器，或簡稱觀測器。估計或者觀測狀態(tài)變量的動態(tài)系統(tǒng)稱為狀態(tài)觀測器，或簡稱觀測器。14. 什么是全階狀態(tài)觀

10、測器？全階狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法。如果狀態(tài)觀測器能觀測到系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量，不管其是否能直接量測，這種狀態(tài)觀測器均稱為全維狀態(tài)觀測器。15。什么是最小階狀態(tài)觀測器？最小狀態(tài)觀測器的設(shè)計方法。估計小于n個狀態(tài)變量（n為狀態(tài)向量的維數(shù)）的觀測器稱為降維狀態(tài)觀測器，或簡稱降價觀測器。如果降維狀態(tài)觀測器的階數(shù)是最小的，則稱該觀測器為最小階狀態(tài)觀測器或最小階觀測器。本節(jié)將討論全維狀態(tài)觀測器和最小階狀態(tài)觀測器。16.什么是調(diào)節(jié)器系統(tǒng)？什么是伺服系統(tǒng)？采用極點配置的狀態(tài)反饋方法來設(shè)計控制器的系統(tǒng)為調(diào)節(jié)器系統(tǒng)。在給定的初始條件e（0）設(shè)計一個漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得e（t）趨于0的系統(tǒng)為伺服系統(tǒng)17. I型伺

11、服系統(tǒng)如何設(shè)計？零型伺服系統(tǒng)如何設(shè)計？I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的設(shè)計轉(zhuǎn)化為：對于給定的任意初始條件e(0),設(shè)計一個漸近穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，使得e(t）趨于零。如果由確定的系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則對矩陣A-BK，通過指定的期望特征值1，2，,n，可由極點配置方法來確定線性反饋增益矩陣K。x(t)和u(t)的穩(wěn)態(tài)值求法為：在穩(wěn)態(tài)（）時，由式可得 由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩陣A-BK的逆存在。從而，x()可確定為 同樣，u()可求得為如果被控系統(tǒng)中沒有積分器（0型被控系統(tǒng)），則設(shè)計I型閉環(huán)伺服系統(tǒng)的基本原則是在誤差比較器和系統(tǒng)間的前饋通道中插入一個積分器。18 什么是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)？考

12、慮如下非線性系統(tǒng)(5.1)式中x為n維狀態(tài)向量，是變量x1,x2,xn和t的n維向量函數(shù)。假設(shè)在給定的初始條件下，式(5.1）有唯一解。當(dāng)t =to時，。于是 在式(5.1）的系統(tǒng)中，總存在, 對所有t(5.2)則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點。19. 什么是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定？設(shè)系統(tǒng)，之平衡狀態(tài)的H鄰域為其中，為向量的2范數(shù)或歐幾里德范數(shù)，即 類似地，也可以相應(yīng)定義球域S(e）和S(d）。在H鄰域內(nèi)，若對于任意給定的，均有如果對應(yīng)于每一個S(e），存在一個S(d），使得當(dāng)t趨于無窮時，始于S(d)的軌跡不脫離S(e），則式系統(tǒng)之平衡狀態(tài)稱為在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的。20，什么是漸進穩(wěn)

13、定和大范圍漸進穩(wěn)定？如果平衡狀態(tài)，在Lyapunov意義下是穩(wěn)定的，并且始于域S(d）的任一條軌跡，當(dāng)時間t 趨于無窮時，都不脫離S(e），且收斂于，則稱式(5.1）系統(tǒng)之平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的，其中球域S(d）被稱為平衡狀態(tài)的吸引域。對所有的狀態(tài)（狀態(tài)空間中的所有點），如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，則平衡狀態(tài)稱為大范圍漸近穩(wěn)定?；蛘哒f，如果式(5.1）系統(tǒng)之平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的吸引域為整個狀態(tài)空間，則稱此時系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為大范圍漸近穩(wěn)定的。顯然，大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡狀態(tài)。21。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理1，定理2，定理3。定理5.1 (Lyapunov,

14、皮爾希德斯基，巴巴辛，克拉索夫斯基) 考慮如下非線性系統(tǒng)式中, 對所有 如果存在一個具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件： 1、正定； 2、負(fù)定則在原點處的平衡狀態(tài)是（一致）漸近穩(wěn)定的。 進一步地，若，則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。定理 5.2 (克拉索夫斯基，巴巴辛) 考慮如下非線性系統(tǒng)式中, 對所有 若存在具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的純量函數(shù)，且滿足以下條件： 1、是正定的； 2、是負(fù)半定的； 3、對于任意和任意，在時，不恒等于零，其中的表示在時從出發(fā)的軌跡或解。則在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。定理5.3 (Lyapunov) 考慮如下非線性系統(tǒng)式中, 對所有 若

15、存在一個純量函數(shù)，具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足下列條件： 1、在原點附近的某一鄰域內(nèi)是正定的； 2、在同樣的鄰域內(nèi)是正定的。則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。22.用李雅普諾夫第二法解決參數(shù)優(yōu)化的主要思想方法是什么？答案：對系統(tǒng)：式中，A的所有特征值均具有負(fù)實部，即原點是漸近穩(wěn)定的（稱矩陣A為穩(wěn)定矩陣）。假設(shè)矩陣A包括一個（或幾個）可調(diào)參數(shù)。要求下列性能指標(biāo)達到極小，式中Q為正定（或正半定）Hermite或?qū)崒ΨQ矩陣。因而該問題變?yōu)榇_定幾個可調(diào)參數(shù)值，使得性能指標(biāo)達到極小。假設(shè) 因此可得 根據(jù)Lyapunov第二法可知，如果A是穩(wěn)定矩陣，則對給定的Q，必存在一個P，使得 可由該方程確定P的各元素。

16、23、23. Write 什么是黎卡提方程，如何推導(dǎo)利卡提方程？答案：黎卡提方程：主要推導(dǎo)步驟：取于是 比較上式兩端，并注意到方程對任意x均應(yīng)成立，這就要求令則上式也可寫為求J對K的極小值，即求下式對K的極小值由于上面的表達式不為負(fù)值，所以只有當(dāng)其為零，即當(dāng)退化方程24二次型最優(yōu)化設(shè)計的步驟。答案： 1、求解退化矩陣?yán)杩ㄌ崾?，以求出矩陣P。如果存在正定矩陣P（某些系統(tǒng)可能沒有正定矩陣P），那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即矩陣是穩(wěn)定矩陣。2、將矩陣P代入式，求得的矩陣K就是最優(yōu)矩陣。25已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)，導(dǎo)出其狀態(tài)空間方程的可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。能控標(biāo)準(zhǔn)形為：能觀測標(biāo)準(zhǔn)形為： 26. 已知控制系統(tǒng)，寫出

17、其狀態(tài)方程的對角標(biāo)準(zhǔn)型。為對角標(biāo)準(zhǔn)其對角標(biāo)準(zhǔn)型為27. 已知受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）設(shè)計一個全維觀測器重構(gòu)狀態(tài)，使觀測器極點為-8和-8。（2）采用狀態(tài)反饋，使閉環(huán)極點配置在-6和-8解：(1) 由傳遞函數(shù)知，系統(tǒng)能控且能觀，因而存在狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器，可以根據(jù)分離性原理進行分別設(shè)計。由傳遞函數(shù)，寫出能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為(2) 求全維觀測器 令G=g1 g2T 閉環(huán)特征多項式為與期望特征多項式 比較得 全維觀測器方程為(3) 求狀態(tài)反饋陣K。直接寫出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型實現(xiàn)為。令K=k1 k2,得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣閉環(huán)特征多項式為與期望特征多項式 比較得 K=-10 -228. 判斷下列二次函數(shù)的定

18、號性：(a) (b) (a) A= 因此（a）函數(shù)的符號不能確定（b）B= -B =所以-B正定，因此B負(fù)定29. 已知非線性控制系統(tǒng)試判斷在原點處平衡的穩(wěn)定性。解：由系統(tǒng)平衡狀態(tài)方程-x1+x2+x1(x12+x22)=0-x1-x2-x2(x12+x22)=0解出唯一的平衡狀態(tài)xe=0,即狀態(tài)空間原點是其唯一平衡狀態(tài)。如果定義一個正定純量函數(shù)將系統(tǒng)狀態(tài)方程代入上式并整理得：因此當(dāng)x12+x22-1<=0時，在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的當(dāng)x12+x22-1>0時, 在系統(tǒng)原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的30 Try to find the Liapunov function of the following system, and determine its stability at the origina