集合的概念難題匯編(附答案)

1、2013年9月犀利哥的高中數(shù)學(xué)組卷一選擇題（共11小題）1（2011廣東）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a，bS有abS，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，TV=Z，且a，b，cT，有abcT；x，y，zV，有xyzV，則下列結(jié)論恒成立的是（）AT，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的BT，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的CT，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的DT，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的2（2007湖北）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合PQ=x|xP，且xQ，如果，Q=x|x2|1，那么PQ等于（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x2Dx|2x33（2010延慶縣一模）

2、將正偶數(shù)集合2，4，6，從小到大按第n組有2n個偶數(shù)進(jìn)行分組如下：則2010位于（）A第7組B第8組C第9組D第10組4（2009閘北區(qū)一模）設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果k1A且k+1A，那么k是A的一個“孤立元”，給定A=1，2，3，4，5，則A的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合共有（）A10個B11個C12個D13個5用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=，若A=1，2，B=x|x2+ax+1|=1，且A*B=1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，那么C（S）等于（）A4B3C2D16（2013寧波模擬）設(shè)集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A=a1

3、，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1a2a3，a3a26，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為（）A78B76C84D837下列命題正確的有（）（1）很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；（2）集合y|y=x21與集合（x，y）|y=x21是同一個集合；（3）這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集A0個B1個C2個D3個8若xA則A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M=1，0，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A15B16C28D259定義AB=z|z=xy+，xA，yB設(shè)集合A=0，2，B=1，2，C=1則集合（AB）C的所

4、有元素之和為（）A3B9C18D2710已知元素為實(shí)數(shù)的集合A滿足條件：若aA，則，那么集合A中所有元素的乘積為（）A1B1C0D±111設(shè)集合P=x|x=2k1，kZ，集合Q=y|y=2n，nZ，若x0P，y0Q，a=x0+y0，b=x0y0，則（）AaP，bQBaQ，bPCaP，bPDaQ，bQ二填空題（共14小題）12（2004虹口區(qū)一模）定義集合A，B的一種運(yùn)算“*”，A*B=p|p=x+y，xA，yB若A=1，2，3，B=1，2，則集合A*B中所有元素的和_13（2011上海模擬）已知集合，且2A，3A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_14集合S=1，2，3，4，5，6，A是S的一個

5、子集，當(dāng)xA時，若x1A，x+1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，那么S中無“孤立元素”的4元子集的個數(shù)是_15（2006四川）非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對任意的a，bG，都有abG，（2）存在eG，都有ae=ea=a，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：G=非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法G=偶數(shù)，為整數(shù)的乘法G=平面向量，為平面向量的加法G=二次三項(xiàng)式，為多項(xiàng)式的加法G=虛數(shù)，為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是_（寫出所有“融洽集”的序號）16（2012安徽模擬）給定集合A，若對于任意a，bA，有a+bA，則稱集合A為閉集合，給出如下五個結(jié)論：集合A=4，2，0，2，4為閉集

6、合；正整數(shù)集是閉集合；集合A=n|n=3k，kZ是閉集合；若集合A1，A2為閉集合，則A1A2為閉集合；若集合A1，A2為閉集合，且A1R，A2R，則存在cR，使得c（A1A2）其中正確的結(jié)論的序號是_17（2011綿陽三模）設(shè)集合AR，對任意a、b、cA，運(yùn)算“具有如下性質(zhì)：（1）abA； （2）aa=0； （3）（ab）c=ac+bc+c給出下列命題：0A若1A，則（11）1=0；若aA，且a0=a，則a=0；若a、b、cA，且a0=a，ab=cb，則a=c其中正確命題的序號是_ （把你認(rèn)為正確的命題的序號都填上）18已知集合A=a1，a2，an，nN*且n2，令TA=x|x=ai+aj，

7、aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合TA中元素的個數(shù)若A=2，4，8，16，則card（TA）=_；若ai+1ai=c（ 1in1，c為非零常數(shù)），則card（TA）=_19設(shè)集合M=1，2，3，4，5，6，S1，S2，Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si=ai，bi，Sj=aj，bj（ij，i、j1，2，3，k），都有（minx，y表示兩個數(shù)x，y中的較小者），則k的最大值是_20設(shè)集合A=，B=，函數(shù)f（x）=若x0A，且ff（x0）A，則x0的取值范圍是_21（文）設(shè)集合AR，如果x0R滿足：對任意a0，都存在xA，使得0|xx0|a，那么稱x0為集合A的聚點(diǎn)

8、則在下列集合中：（1）Z+Z（2）R+R（3）（4）以0為聚點(diǎn)的集合有_（寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號）22用描述法表示圖中的陰影部分（包括邊界） _23設(shè)，則AB用列舉法可表示為_24如果具有下述性質(zhì)的x都是集合M中的元素，即，其中a，bQ則下列元素：；其中是集合M的元素是_（填序號）25用列舉法表示集合：=_三解答題（共5小題）26（2007北京）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S=（a，b）|aA，bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n若對于任意的a

9、A，總有aA，則稱集合A具有性質(zhì)P（I）檢驗(yàn)集合0，1，2，3與1，2，3是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；（II）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；（III）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論27對于集合A=x|x=m2n2，mZ，nZ，因?yàn)?6=5232，所以16A，研究下列問題：（1） 1，2，3，4，5，6六個數(shù)中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？（2） 討論集合B=2，4，6，8，2n，中有哪些元素屬于A，試給出一個一般的結(jié)論，不必證明28已知集合A=x|x=m+n，m，nZ（1）設(shè)x1=，x2=，x3=（13）2，試判斷x1，x2，x3與集合A之間的

10、關(guān)系；（2）任取x1，x2A，試判斷x1+x2，x1x2與A之間的關(guān)系29已知集合A的全體元素為實(shí)數(shù)，且滿足若aA，則A（1）若a=2，求出A中的所有元素；（2）0是否為A中的元素？請?jiān)倥e例一個實(shí)數(shù)，求出A中的所有元素；（3）根據(jù)（1）、（2），你能得出什么結(jié)論？30設(shè)非空集合S具有如下性質(zhì)：元素都是正整數(shù)；若xS，則10xS（1）請你寫出符合條件，且分別含有一個、二個、三個元素的集合S各一個；（2）是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由；（3）由（1）、（2）的解答過程啟發(fā)我們，可以得出哪些關(guān)于集合S的一般性結(jié)論（要求至少寫出兩個結(jié)論）？2013年9月犀

11、利哥的高中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一選擇題（共11小題）1（2011廣東）設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果a，bS有abS，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，TV=Z，且a，b，cT，有abcT；x，y，zV，有xyzV，則下列結(jié)論恒成立的是（）AT，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的BT，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的CT，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的DT，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：壓軸題；閱讀型；新定義分析：本題從正面解比較困難，可運(yùn)用排除法進(jìn)行作答考慮把整數(shù)集Z拆分成兩個互不相交的非空子集T，V的并集，如T為奇

12、數(shù)集，V為偶數(shù)集，或T為負(fù)整數(shù)集，V為非負(fù)整數(shù)集進(jìn)行分析排除即可解答：解：若T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時T與V關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C；若T為負(fù)整數(shù)集，V為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時只有V關(guān)于乘法是封閉的，排除D；從而可得T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的，A正確故選A點(diǎn)評：此題考查學(xué)生理解新定義的能力，會判斷元素與集合的關(guān)系，是一道比較難的題型2（2007湖北）設(shè)P和Q是兩個集合，定義集合PQ=x|xP，且xQ，如果，Q=x|x2|1，那么PQ等于（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x2Dx|2x3考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷；絕對值不等式的解法715936 專題：計(jì)算題分析

13、：首先分別對P，Q兩個集合進(jìn)行化簡，然后按照PQ=x|xP，且xQ，求出PQ即可解答：解：化簡得：P=x|0x2而Q=x|x2|1化簡得：Q=x|1x3定義集合PQ=x|xP，且xQ，PQ=x|0x1故選B點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，以及絕對值不等式的解法，考查對集合知識的熟練掌握，屬于基礎(chǔ)題3（2010延慶縣一模）將正偶數(shù)集合2，4，6，從小到大按第n組有2n個偶數(shù)進(jìn)行分組如下：則2010位于（）A第7組B第8組C第9組D第10組考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷；集合的表示法；等差數(shù)列；等比數(shù)列715936 專題：計(jì)算題分析：首先將正偶數(shù)集合按大小順序排列是一個等差數(shù)列，先求出2010是此

14、數(shù)列中的第幾項(xiàng)，然后按第n組有2n個偶數(shù)進(jìn)行分組，每組中集合元素的個數(shù)正好是等比數(shù)列，求出解答：解：正偶數(shù)集按從小到大的順序排列組成數(shù)列2，4，62n2n=2010，n=1005由第一組2，4的元素是2個第二組6，8，10，12的元素是4個第三組14，16，18，20，22，24，26，28的元素是8個第m組的元素是2n個2+4+8+2n=2m+122m+121005，解得2m503.5mz，28=256，29=512，256503.5512所以，m=9，故選C點(diǎn)評：此題表面是一個集合題，實(shí)際上考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列求和公式，但過程中一定要思路清晰，否則容易出錯4（2009閘北區(qū)一模

15、）設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果k1A且k+1A，那么k是A的一個“孤立元”，給定A=1，2，3，4，5，則A的所有子集中，只有一個“孤立元”的集合共有（）A10個B11個C12個D13個考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：綜合題；壓軸題分析：本題考查的是新定義和集合知識聯(lián)合的問題在解答時首先要明確集合A的所有子集是什么，然后嚴(yán)格按照題目當(dāng)中對“孤立元”的定義逐一驗(yàn)證即可當(dāng)然，如果按照“孤立元”出現(xiàn)的情況逐一排查亦可解答：解：“孤立元”是1的集合：1；1，3，4；1，4，5；1，3，4，5；“孤立元”是2的集合：2；2，4，5；“孤立元”是3的集合：3；“孤立元”是4的集

16、合：4；1，2，4；“孤立元”是5的集合：5；1，2，5；2，3，5；1，2，3，5點(diǎn)評：本題考查的是集合知識和新定義的問題在解答過程當(dāng)中應(yīng)充分體會新定義問題概念的確定性，與集合子集個數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律此題綜合性強(qiáng)，值得同學(xué)們認(rèn)真總結(jié)和歸納5用C（A）表示非空集合A中的元素個數(shù)，定義A*B=，若A=1，2，B=x|x2+ax+1|=1，且A*B=1，由a的所有可能值構(gòu)成的集合是S，那么C（S）等于（）A4B3C2D1考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題；壓軸題；新定義；分類討論分析：根據(jù)A=1，2，B=x|x2+ax+1|=1，且A*B=1，可知集合B要么是單元素集合，要么是三

17、元素集合，然后對方程|x2+ax+1|=1的根的個數(shù)進(jìn)行討論，即可求得a的所有可能值，進(jìn)而可求C（S）解答：解：|x2+ax+1|=1x2+ax+1=1 或x2+ax+1=1，即x2+ax=0 或x2+ax+2=0 ，A=1，2，且A*B=1，集合B要么是單元素集合，要么是三元素集合，1°集合B是單元素集合，則方程有兩相等實(shí)根，無實(shí)數(shù)根，a=0；2°集合B是三元素集合，則方程有兩不相等實(shí)根，有兩個相等且異于的實(shí)數(shù)根，即，解得a=±2，綜上所述a=0或a=±2，C（S）=3故選B點(diǎn)評：此題是中檔題考查元素與集合關(guān)系的判斷，以及學(xué)生的閱讀能力和對新定義的理解

18、與應(yīng)用6（2013寧波模擬）設(shè)集合S=1，2，3，4，5，6，7，8，9，集合A=a1，a2，a3是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1a2a3，a3a26，那么滿足條件的集合A的個數(shù)為（）A78B76C84D83考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題分析：從集合S中任選3個元素組成集合A，一個能組成C93個，再把不符合條件的去掉，就得到滿足條件的集合A的個數(shù)解答：解：從集合S中任選3個元素組成集合A，一個能組成C93個，其中A=1，2，9不合條件，其它的都符合條件，所以滿足條件的集合A的個數(shù)C931=83故選D點(diǎn)評：本題考查元素與集合的關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)思考，認(rèn)真解答

19、7下列命題正確的有（）（1）很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；（2）集合y|y=x21與集合（x，y）|y=x21是同一個集合；（3）這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集A0個B1個C2個D3個考點(diǎn)：集合的含義715936 專題：計(jì)算題分析：（1）（3）中由集合元素的性質(zhì)：確定性、互異性可知錯誤；（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0或y=0的情況解答：解：（1）中很小的實(shí)數(shù)沒有確定的標(biāo)準(zhǔn)，不滿足集合元素的確定性；（2）中集合y|y=x21的元素為實(shí)數(shù)，而集合（x，y）|y=x21的元素是點(diǎn)；（3）有集合元素的互異性這些數(shù)組成的集合有3

20、個元素；（4）集合（x，y）|xy0，x，yR中還包括實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)故選A點(diǎn)評：本題考查集合元素的性質(zhì)和集合的表示，屬基本概念的考查8若xA則A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M=1，0，1，2，3，4的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個數(shù)為（）A15B16C28D25考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：綜合題；壓軸題；新定義分析：先找出具有伙伴關(guān)系的元素：1，1，、2，、3共四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關(guān)系集合，利用組合知識求解即可解答：解：具有伙伴關(guān)系的元素組有1，1，、2，、3共四組，它們中任一組、二組、三組、四組均可組成非空伙伴關(guān)系集合，個數(shù)為C41+C

21、42+C43+C44=15故選A點(diǎn)評：本題考查集合的子集問題、排列組合等知識，考查學(xué)生利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力9定義AB=z|z=xy+，xA，yB設(shè)集合A=0，2，B=1，2，C=1則集合（AB）C的所有元素之和為（）A3B9C18D27考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：新定義分析：首先根據(jù)題意，求出AB中的元素，然后求出（AB）C中所含的元素，最后求和即可解答：解：由題意可求（AB）中所含的元素有0，4，5，則（AB）C中所含的元素有0，8，10，故所有元素之和為18故選C點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，通過集合間的關(guān)系直接判斷最后求和即可，屬于基礎(chǔ)題10已知元

22、素為實(shí)數(shù)的集合A滿足條件：若aA，則，那么集合A中所有元素的乘積為（）A1B1C0D±1考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題；新定義分析：根據(jù)若aA，則，依據(jù)定義令a=代入進(jìn)行求解，依次進(jìn)行賦值代入進(jìn)行化簡，把集合A中元素所有的形式全部求出，再求出它們的乘積解答：解：由題意知，若aA，則，令a=，代入=；令a=代入=，令a=，代入=a，A=a，則所有元素的乘積為1，故選B點(diǎn)評：本題主要考查集合的應(yīng)用，題目比較新穎，以及閱讀題意的能力，有一定的難度，主要對集合元素的理解11設(shè)集合P=x|x=2k1，kZ，集合Q=y|y=2n，nZ，若x0P，y0Q，a=x0+y0，b=

23、x0y0，則（）AaP，bQBaQ，bPCaP，bPDaQ，bQ考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題分析：據(jù)集合中元素具有集合中元素的屬性設(shè)出x0，y0，求出x0+y0，x0y0并將其化簡，判斷其具有Q，P中哪一個集合的公共屬性解答：解：x0P，y0Q，設(shè)x0=2k1，y0=2n，n，kZ，則x0+y0=2k1+2n=2（n+k）1P，x0y0=（2k1）（2n）=2（2nkn），故x0y0Q故aP，bQ，故選A點(diǎn)評：本題考查集合中的元素具有集合的公共屬性、元素與集合關(guān)系的判斷、等基礎(chǔ)知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎(chǔ)題二填空題（共14小題）12（2004虹口區(qū)一模）定義集合A，

24、B的一種運(yùn)算“*”，A*B=p|p=x+y，xA，yB若A=1，2，3，B=1，2，則集合A*B中所有元素的和14考點(diǎn)：集合的含義715936 專題：新定義分析：由A*B=p|p=x+y，xA，yB，A=1，2，3，B=1，2，知A*B=2，3，4，5，由此能求出集合A*B中所有元素的和解答：解：A*B=p|p=x+y，xA，yBA=1，2，3，B=1，2，A*B=2，3，4，5，2+3+4+5=14故答案為：14點(diǎn)評：本題考查集合的概念，解題時要認(rèn)真審題，注意新定義的靈活運(yùn)用13（2011上海模擬）已知集合，且2A，3A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算

25、題；轉(zhuǎn)化思想分析：根據(jù)集合，且2A，3A，知道2滿足不等式，3不滿足該不等式，即，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍解答：解：，且2A，3A，解得：故答案為點(diǎn)評：此題是個中檔題考查了元素與集合之間的關(guān)系，以及分式不等式的求解，對題意的正確理解和轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵14集合S=1，2，3，4，5，6，A是S的一個子集，當(dāng)xA時，若x1A，x+1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，那么S中無“孤立元素”的4元子集的個數(shù)是6考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題；壓軸題分析：由S=1，2，3，4，5，6，結(jié)合xA時，若有x1A，且x+1A，則稱x為A的一個“孤立元素”，我們用列舉法列出

26、滿足條件的所有集合，即可得到答案解答：解：S=1，2，3，4，5，6，其中不含“孤立元”的集合4個元素必須是：共有1，2，3，6，1，3，4，6，1，4，5，6，1，2，3，4，1，2，4，5，2，3，4，5共6個那么S中無“孤立元素”的4個元素的子集A的個數(shù)是6個故答案為6點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是元素與集合關(guān)系的判斷，我們要根據(jù)定義列出滿足條件列出所有不含“孤立元”的集合，及所有三元集的個數(shù)，進(jìn)而求出不含“孤立元”的集合個數(shù)15（2006四川）非空集合G關(guān)于運(yùn)算滿足：（1）對任意的a，bG，都有abG，（2）存在eG，都有ae=ea=a，則稱G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：G=非

27、負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法G=偶數(shù)，為整數(shù)的乘法G=平面向量，為平面向量的加法G=二次三項(xiàng)式，為多項(xiàng)式的加法G=虛數(shù)，為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的是（寫出所有“融洽集”的序號）考點(diǎn)：集合的含義715936 專題：壓軸題；新定義；對應(yīng)思想分析：根據(jù)題意對給出的集合和運(yùn)算對兩個條件：運(yùn)算的封閉性和單位量e進(jìn)行驗(yàn)證，分別用加法、乘法和平面向量的線性運(yùn)算的法則判斷，只有都滿足時才是G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”解答：解：G=非負(fù)整數(shù)，為整數(shù)的加法，滿足任意a，bG，都有abG，且令e=0，有a0=0a=a，符合要求；G=偶數(shù)，為整數(shù)的乘法，若存在ae=a×e=a，則e=1，矛盾，不符合要求；G

28、=平面向量，為平面向量的加法，兩個向量相加結(jié)果仍為向量；取，滿足要求，符合要求；G=二次三項(xiàng)式，為多項(xiàng)式的加法，兩個二次三項(xiàng)式相加得到的可能不是二次三項(xiàng)式，不符合要求；G=虛數(shù)，為復(fù)數(shù)的乘法，兩個虛數(shù)相乘得到的可能是實(shí)數(shù)，不符合要求，這樣G關(guān)于運(yùn)算為“融洽集”的有故答案為：點(diǎn)評：本題考查了學(xué)生對新定義的理解和運(yùn)用能力，可結(jié)合學(xué)過的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行類比理解，比如：第一條是運(yùn)算的封閉性，第二條如加法中的“0”或乘法中的“1”16（2012安徽模擬）給定集合A，若對于任意a，bA，有a+bA，則稱集合A為閉集合，給出如下五個結(jié)論：集合A=4，2，0，2，4為閉集合；正整數(shù)集是閉集合；集合A=n|n=3k

29、，kZ是閉集合；若集合A1，A2為閉集合，則A1A2為閉集合；若集合A1，A2為閉集合，且A1R，A2R，則存在cR，使得c（A1A2）其中正確的結(jié)論的序號是考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題分析：明確閉集合的定義，然后嚴(yán)格按照題目當(dāng)中對“閉集合”的定義逐一驗(yàn)證即可解答：解：對于：集合A=4，2，0，2，4；例如4+（2）=6A，故不是閉集合，故不正確；對于：任意a，bA，有a+bA，所以正整數(shù)集是閉集合，正確對于：由于任意兩個3的倍數(shù)，它們的和、差仍是3 的倍數(shù)，故是閉集合，故正確；對于：假設(shè)A1=n|n=3k，kZ，A2=n|n=5k，kZ，3A1，5A2，但是，3+5A

30、1A2，則A1A2不是閉集合，故錯對于：設(shè)集合A1=n|n=3k，kZ，A2=n|n=2k，kZ都為閉集合，但5（A1A2）故正確正確結(jié)論的序號是故答案為：點(diǎn)評：本題考查的是集合知識和新定義的問題充分體會新定義問題概念的確定性，與集合子集個數(shù)、子集構(gòu)成的規(guī)律此題綜合性強(qiáng)，值得總結(jié)和歸納17（2011綿陽三模）設(shè)集合AR，對任意a、b、cA，運(yùn)算“具有如下性質(zhì)：（1）abA； （2）aa=0； （3）（ab）c=ac+bc+c給出下列命題：0A若1A，則（11）1=0；若aA，且a0=a，則a=0；若a、b、cA，且a0=a，ab=cb，則a=c其中正確命題的序號是 （把你認(rèn)為正確的命題的序號都

31、填上）考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：壓軸題；新定義；綜合法分析：根據(jù)定義中所給的規(guī)則（1）abA； （2）aa=0； （3）（ab）c=ac+bc+c，對四個命題逐一進(jìn)行驗(yàn)證，得出正確命題解答：解：由（1）abA； （2）aa=0，0A，故正確；由（2）aa=0； （3）（ab）c=ac+bc+c知1A，則（11）1=1，故不正確；當(dāng)a=0時，若aA，且a0=a，則a=0顯然成立，當(dāng)a0時，若若aA，且a0=a，則在（3）中令c=0，發(fā)現(xiàn)此時（ab）c=ac+bc+c無意義，故a=0，正確；a0=a或得a=0，又ab=cb，故有a=c=0，所以正確；綜上正確故答案為點(diǎn)評：本題考

32、查元素與集合關(guān)系的判斷，正確解答本題，關(guān)鍵是掌握并理解新定義中所給的規(guī)則，以及靈活選用規(guī)則判斷命題是否正確本題比較抽象，應(yīng)好好總結(jié)做題規(guī)律18已知集合A=a1，a2，an，nN*且n2，令TA=x|x=ai+aj，aiA，ajA，1ijn，card（TA）表示集合TA中元素的個數(shù)若A=2，4，8，16，則card（TA）=10；若ai+1ai=c（ 1in1，c為非零常數(shù)），則card（TA）=2n3考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題；新定義分析：對于若A=2，4，8，16，直接計(jì)算出TA=6，10，18，12，20，24，即可得出答案；若ai+1ai=c（ 1in1，c為非

33、零常數(shù)），說明數(shù)列a1，a2，an，構(gòu)成等差數(shù)列，利用特殊化思想，取特殊的等差數(shù)列進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合類比推理可得card（TA）=2n3解答：解：若A=2，4，8，16，則TA=6，10，18，12，20，24，4，8，16，32，card（TA）=10；若ai+1ai=c（ 1in1，c為非零常數(shù)），說明數(shù)列a1，a2，an，構(gòu)成等差數(shù)列，取特殊的等差數(shù)列進(jìn)行計(jì)算，取A=1，2，3，n，則TA=3，4，5，2n1，由于（2n1）3+1=2n3，TA中共2n3個元素，利用類比推理可得若ai+1ai=c（ 1in1，c為非零常數(shù)），則card（TA）=2n3故答案為：10；2n3點(diǎn)評：本題考查集合與

34、元素的位置關(guān)系和數(shù)列的綜合應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，解題時注意特殊化思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，避免錯誤，屬基礎(chǔ)題19設(shè)集合M=1，2，3，4，5，6，S1，S2，Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si=ai，bi，Sj=aj，bj（ij，i、j1，2，3，k），都有（minx，y表示兩個數(shù)x，y中的較小者），則k的最大值是11考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題分析：含2個元素的子集有15個，但1，2、2，4、3，6只能取一個；1，3、2，6只能取一個；2，3、4，6只能取一個，由此能求出滿足條件的兩個元素的集合的個數(shù)解答：解：含2個元素的子集有15

35、個，但1，2、2，4、3，6只能取一個；1，3、2，6只能取一個；2，3、4，6只能取一個，故滿足條件的兩個元素的集合有11個故答案為：11點(diǎn)評：本題考查元素與集合的關(guān)系的判斷，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答20設(shè)集合A=，B=，函數(shù)f（x）=若x0A，且ff（x0）A，則x0的取值范圍是考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：計(jì)算題分析：這是一個分段函數(shù)，從x0A入手，依次表達(dá)出里層的解析式，最后得到12x0A，解不等式得到結(jié)果解答：解：x0A，即，所以，即，即f（x0）B，所以ff（x0）=21f（x0）=12x0A，即，解得：，又由，所以故答案為：（，）點(diǎn)評：本題考查元素與集合間的關(guān)系

36、，考查分段函數(shù)，解題的關(guān)鍵是看清自變量的范圍，代入適合的代數(shù)式21（文）設(shè)集合AR，如果x0R滿足：對任意a0，都存在xA，使得0|xx0|a，那么稱x0為集合A的聚點(diǎn)則在下列集合中：（1）Z+Z（2）R+R（3）（4）以0為聚點(diǎn)的集合有（2）（4）（寫出所有你認(rèn)為正確結(jié)論的序號）考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：閱讀型；新定義分析：根據(jù)集合聚點(diǎn)的新定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，進(jìn)而得到答案解答：解：（1）對于某個a1，比如a=0.5，此時對任意的xZ+Z，都有|x0|=0或者|x0|1，也就是說不可能0|x0|0.5，從而0不是Z+Z的聚點(diǎn)

37、；（2）集合x|xR，x0，對任意的a，都存在x=（實(shí)際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0|x|=a0是集合x|xR，x0的聚點(diǎn)；（3）中，集合中的元素是極限為1的數(shù)列，除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大 ，在a的時候，不存在滿足得0|x|a的x，0不是集合的聚點(diǎn)；（4）集合中的元素是極限為0的數(shù)列，對于任意的a0，存在n，使0|x|=a0是集合 的聚點(diǎn)故答案為（2）（4）點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，主要考查的知識點(diǎn)是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義集合的聚點(diǎn)的含義，是解答本題的關(guān)鍵22用描述法表示圖中的陰影部分（包括邊界） （x,y)|xy0,且考點(diǎn)：集合的表示法715936 專題：

38、計(jì)算題分析：利用圖中的陰影部分的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件即為集合的元素的公共屬性解答：解：圖中的陰影部分的點(diǎn)設(shè)為（x，y）則x，y）|1x0，或0，0y1=（x，y）|xy0且1故答案為：（x，y）|xy0，且點(diǎn)評：本題考查用集合表示平面圖形，注意代表元素是數(shù)對23設(shè)，則AB用列舉法可表示為（1，1），（0，1），（0，1）考點(diǎn)：集合的表示法715936 專題：計(jì)算題分析：欲求出AB中的元素，只須求解方程組的解將方程組的解用列舉法寫出來即得答案解答：解：求解方程組的解，或或由此可知集合AB用列舉法可表示為（1，1），（0，1），（0，1）故答案為（1，1），（0，1），（0，1）點(diǎn)評：本題考查集合的

39、表示法、集合的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意不重復(fù)、不遺漏24如果具有下述性質(zhì)的x都是集合M中的元素，即，其中a，bQ則下列元素：；其中是集合M的元素是（填序號）考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：新定義分析：通過a，b取值直接判斷，是否正確，通過化簡，確定a，b的值判斷是否滿足題意解答：解：對于，顯然a=0，b=1，滿足題意；對于；顯然a=3，b=，是無理數(shù)，所以不滿足題意；對于=3+2，所以a=3，b=2滿足題意；對于=4，a=4，b=0，滿足題意是集合M的元素是故答案為：點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，考查計(jì)算能力，邏輯推理能力25用列舉法表示集合：=11，6，3，2，0，1，4

40、，9考點(diǎn)：集合的表示法715936 專題：計(jì)算題分析：首先根據(jù)，對m值進(jìn)行分析，當(dāng)為整數(shù)時記錄m的值，最后綜合m的值構(gòu)成集合M解答：解：；m=11時，；m=6時，=2；m=3時，=5；m=2時，=10；m=0時，=10；m=1時，=5；m=4時，=2；m=9時，=1；M=11，6，3，2，0，1，4，9故答案為：11，6，3，2，0，1，4，9點(diǎn)評：本題考查集合的表示方法，根據(jù)已知題意進(jìn)行分析，通過對m值的分析為解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題三解答題（共5小題）26（2007北京）已知集合A=a1，a2，ak（k2），其中aiZ（i=1，2，k），由A中的元素構(gòu)成兩個相應(yīng)的集合：S=（a，b）|aA，

41、bA，a+bA，T=（a，b）|aA，bA，abA其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n若對于任意的aA，總有aA，則稱集合A具有性質(zhì)P（I）檢驗(yàn)集合0，1，2，3與1，2，3是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；（II）對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；（III）判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷；集合的含義715936 專題：綜合題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想分析：（I）利用性質(zhì)P的定義判斷出具有性質(zhì)P的集合，利用集合S，T的定義寫出S，T（II）據(jù)具有性質(zhì)P的集合滿足aA，總有aA，得到0A得到（ai，ai）T；當(dāng)

42、（ai，aj）T時，（aj，ai）T，求出T中的元素個數(shù)（III）對應(yīng)S中的元素?fù)?jù)S，T的定義得到也是T中的元素，反之對于T中的元素也是s中的元素，得到兩個集合中的元素相同解答：（I）解：集合0，1，2，3不具有性質(zhì)P集合1，2，3具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是S=（1，3），（3，1），T=（2，1），（2，3）（II）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對（ai，aj）共有k2個因?yàn)?A，所以（ai，ai）T（i=1，2，k）；又因?yàn)楫?dāng)aA時，aA時，aA，所以當(dāng)（ai，aj）T時，（aj，ai）T（i，j=1，2，k）從而，集合T中元素的個數(shù)最多為，即（III）解：m=n，證明如下：（1

43、）對于（a，b）S，根據(jù)定義，aA，bA，且a+bA，從而（a+b，b）T如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，從而a+b=c+d與b=d中也至少有一個不成立故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素可見，S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即mn，（2）對于（a，b）T，根據(jù)定義，aA，bA，且abA，從而（ab，b）S如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a=c與b=d中至少有一個不成立，從而ab=cd與b=d中也不至少有一個不成立，故（ab，b）與（cd，d）也是S的不同元素可見，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即nm，由（1）

44、（2）可知，m=n點(diǎn)評：本題考查利用題中的新定義解題；新定義題是近幾年?？嫉念}型，要重視27對于集合A=x|x=m2n2，mZ，nZ，因?yàn)?6=5232，所以16A，研究下列問題：（1） 1，2，3，4，5，6六個數(shù)中，哪些屬于A，哪些不屬于A，為什么？（2） 討論集合B=2，4，6，8，2n，中有哪些元素屬于A，試給出一個一般的結(jié)論，不必證明考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷715936 專題：探究型分析：（1）根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)證明1，3，4，5A，對于2和6用反證法進(jìn)行證明，證明過程注意根據(jù)整數(shù)是奇（偶）進(jìn)行分類說明；（2）根據(jù)集合A的元素的性質(zhì)，在偶數(shù)中找出是集合A的元素和一些不是的A的元

45、素，由這些數(shù)的特征進(jìn)行歸納得出結(jié)論解答：解：（1）1=1202；3=2212；5=3222；4=2202；1，3，4，5A，且2，6A；（5分）設(shè)2A，得存在m，nZ，使2=m2n2成立（mn）（m+n）=2當(dāng)m，n同奇或同偶時，mn，m+n均為偶數(shù)（mn）（m+n）為4的倍數(shù)，與2不是4倍數(shù)矛盾當(dāng)m，n同分別為奇，偶數(shù)時，mn，m+n均為奇數(shù)（mn）（m+n）為奇數(shù)，與2是偶數(shù)矛盾2A同理6A（8分）（2）4=2202；8=3212；12=4222；2，6，10，14，A，結(jié)論：是4的倍數(shù)的數(shù)屬于A（12分）點(diǎn)評：本題考查了元素與集合的關(guān)系，只要根據(jù)集合元素滿足的性質(zhì)進(jìn)行判斷，利用歸納推理思想方法進(jìn)行歸納出集合元素的性質(zhì)的結(jié)論，考查了分析和解